关于善恶的对话

A：什么是善行？
B：善行就是令人满意的行为
A：令我满意的行为就是善行？
B：那不一定，你满意别人未必满意
A：那令谁满意的行为才是善行？
B：令多数人满意的行为才是善行
A：如果令我满意的行为恰恰是多数人不满意的怎么办？
B：那么你就应该服从多数人
A：既然多数人反对我，我为什么不能反对多数人？
B：……你斗不过多数人
A：那么令我满意且不会挨斗或反对者斗不过我的行为就是善行？
B：……良心上也得过得去
A：什么是良心？
B：良心就是能够判断善恶的心
A：刚刚说的不就是如何判断善恶么？
B：……

November 30th, 2010 | 荒唐 | Categories: 人生, 哲学 | Comments: No Comments

n-Sphere & n-Ball

Wiki: n-Sphere
S_{n}是V_{n+1}的表面。以下讨论中n-Sphere和n-Ball的半径都是1，半径为R的情况乘以R^{n}即可。

n-Ball的体积公式：

    \[\displaystyle V_n = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} = \frac{\pi^\frac{n}{2}}{\Pi(\frac{n}{2})}\]

偶数维体积公式：

    \[\displaystyle V_{2n} = \frac{\pi^n}{n!}\]

奇数维体积公式：

    \[\displaystyle V_{2n+1} = \frac{2^{n+1} \pi^n}{\left(2n+1\right)!!} = \frac{2^{2n+1} n! \pi^n}{\left(2n+1\right)!}\]

n-Sphere的面积公式：

    \[\displaystyle S_n = \frac{d\left(V_{n+1} R^{n+1}\right)}{dR} = (n+1)V_{n+1} = {2\pi^{(n+1)/2}\over\Gamma(\frac{n+1}{2})} = {2\pi^{(n+1)/2}\over\Pi(\frac{n-1}{2})}\]

偶数维面积公式：

    \[\displaystyle S_{2n} = \frac{2^{n+1} \pi^n}{\left(2n-1\right)!!} = \frac{2^{2n+1} n! \pi^n}{\left(2n\right)!}\]

奇数维面积公式：

    \[\displaystyle S_{2n+1} = \frac{2\pi^{n+1}}{n!}\]

递推公式：

    \[\displaystyle S_{n+1}= \frac{2 \pi}{n} S_{n-1}; \; S_0 = 2, S_1 = 2 \pi\]

    \[\displaystyle V_{n} = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}; \; V_0 = 1, V_1 = 2\]

    \[S_{n+1} = \sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} S_{n} = \sqrt{\pi}\frac{\Pi(\frac{n-1}{2})}{\Pi(\frac{n}{2})} S_{n};\]

    \[S_{2n+1} = \pi \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} S_{2n}, \;\; S_{2n} = \frac{2^n (n-1)!}{(2n-1)!!} S_{2n-1}\]

    \[V_{n} = \sqrt{\pi}\frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{\Gamma(\frac{n}{2} + 1)} V_{n-1} = \sqrt{\pi}\frac{\Pi(\frac{n-1}{2})}{\Pi(\frac{n}{2})} V_{n-1};\]

    \[V_{2n} = \pi \frac{(2n-1)!!}{2^n n!} V_{2n-1}, \;\; V_{2n-1} = \frac{2^n (n-1)!}{(2n-1)!!} V_{2n-2}\]

递推公式的推导（思路是将单位n-Ball分成无数个同轴薄圆柱面，每个圆柱面半径为r，厚度为dr，母线是(n-2)-Ball，该(n-2)-Ball的半径为\sqrt{1-r^2}）：

    \[\begin{array}{ll} V_n &\displaystyle = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} V_{n-2}\left(\sqrt{1-r^2}\right)^{n-2} \, r \, d\theta \, dr \\ &\displaystyle = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2\pi} V_{n-2} (1-r^2)^{\tfrac{n}{2}-1}\, r \, d\theta \, dr \\ &\displaystyle = 2 \pi V_{n-2} \int_{0}^{1} (1-r^2)^{n/2-1}\, r \, dr \\ &\displaystyle = 2 \pi V_{n-2} \left[ -\frac{1}{n}(1-r^2)^{n/2} \right]^{r=1}_{r=0} \\ &\displaystyle = 2 \pi V_{n-2} \frac{1}{n} = \frac{2 \pi}{n} V_{n-2}. \end{array}\]

关系：

    \[\displaystyle V_n/S_{n-1} = 1/n\]

    \[\displaystyle S_{n+1}/V_n = 2\pi\]

一个很有趣的现象是，当n趋于无穷大的时候，单位n-Ball的体积数值随着n增大趋于0：

    \[\displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty} V_n = 0\]

这件事有点反直觉，因为感觉上单位n-Ball里面应该总是能够塞进去一个单位n-Cube，但事实上这只是我们在低维空间中总结出来的错误规律。单位n-Ball的直径永远是2，而单位n-Cube的对角线长却是\sqrt{n}。n<4时单位n-Cube对角线长小于n-Ball直径，n=4时单位n-Cube对角线长等于n-Ball直径，n>4时单位n-Cube对角线长大于n-Ball直径，而且随着n增大会大得越来越多。也就是说在足够高维的空间中，单位n-Ball里面根本就无法塞入一个单位n-Cube。当然，一个单位nCube里面也不可能完全塞入一个n-Sphere，毕竟单位n-Cube两个相对表面之间的最小距离只有1，而单位n-Sphere直径却是2。

\Gamma函数的性质：

    \[\Gamma(z) \equiv \int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt, \;\;\;\; \Pi(z) \equiv \int_{0}^{\infty} t^{z} e^{-t} dt\]

    \[\overline{\Gamma(z)} = \Gamma(\overline{z}) \; \Rightarrow \; \Gamma(z)\Gamma(\overline{z}) \in \mathbf{R}\]

    \[\Gamma(z+1) = z \Gamma(z); \;\; \Gamma(n+1) = n \Gamma(n) = n!\]

    \[\Pi(z) = z \Pi(z-1); \;\; \Pi(n) = n \Pi(n-1) = n!\]

    \[\Gamma\left(n+\tfrac{1}{2}\right) = \Gamma\left(\frac{2n+1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi}; \;\; \Gamma\left(\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]

    \[\Pi\left(n-\tfrac{1}{2}\right) = \Pi\left(\frac{2n-1}{2}\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\pi}; \;\; \Pi\left(\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}\]

    \[\Gamma(z) \Gamma\left(z + \tfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)\]

    \[\Pi\left(z-\tfrac{1}{2}\right) \Pi(z) = 2^{-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Pi(2z)\]

    \[\Gamma(1-z)\Gamma(z) = \frac{\pi}{\sin{\pi z}}\]

    \[\Pi(-z)\Pi(z-1) = \frac{\pi}{\sin{\pi z}}, \;\;\;\; \Pi(1-z)\Pi(z) = \frac{-\pi}{\sin{\pi z}}\]

    \[\prod_{k=0}^{m-1}\Gamma\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{1/2 - mz} \; \Gamma(mz)\]

    \[\prod_{k=0}^{m-1}\Pi\left(z + \frac{k}{m}\right) = (2 \pi)^{\frac{m-1}{2}} \; m^{-(mz+1/2)} \; \Pi(mz)\]

November 27th, 2010 | 荒唐 | Categories: 数学 | Comments: No Comments

Notes on Einstein Field Equation

Metric tensor:

    \[g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}\]

    \[g^{\mu\sigma} g_{\nu\sigma} = \delta^\mu_\nu\]

    \[g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = \delta^\mu_\mu = D\]

(D: dimension of the spacetime)

Christoffel symbol:

    \[\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}(\partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu})\]

Riemann tensor:

    \[{R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}\]

Ricci tensor:

    \[R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}\]

Ricci scalar (curvature scalar):

    \[R = {R^\mu}_\mu = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}\]

Trace of energy-momentum tensor:

    \[T = {T^\mu}_\mu = g^{\mu\nu} T_{\mu\nu}\]

Einstein field equation:

    \[R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}\]

or

    \[R_{\mu\nu} = 8 \pi \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu\nu} \right)\]

Torsion tensor (have nothing to do with energy-momentum tensor T_{\mu\nu}):

    \[{T^\lambda}_{\mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\mu} = 2 \Gamma^\lambda_{[\mu\nu]}\]

Properties of the Riemann tensor (R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\lambda} {R^{\lambda}}_{\sigma\mu\nu}):

    \[R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\rho\mu\nu}\]

(antisymmetric in first two indices)

    \[R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\rho\sigma\nu\mu}\]

(antisymmetric in last two indices)

    \[R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma}\]

(invariant under interchange of the first and last pair of indices)

    \[R_{\rho\sigma\mu\nu} + R_{\rho\mu\nu\sigma} + R_{\rho\nu\sigma\mu} = 0\]

or

    \[R_{\rho[\sigma\mu\nu]} = 0\]

    \[R_{[\rho\sigma\mu\nu]} = 0\]

Properties of the Ricci tensor:

    \[R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}\]

Relation between R and T:

    \[R = -8 \pi T\]

Einstein tensor:

    \[G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}\]

so Einstein field equation can be rewritten as:

    \[G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}\]

Geodesic equation:

    \[\frac{d^2 x^\mu}{{d\lambda}^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{d x^\rho}{d \lambda} \frac{d x^\sigma}{d \lambda} = 0\]

Covariant derivative:

    \[\nabla_\sigma V^\mu = \partial_\sigma V^\mu + {\Gamma_\sigma}^\mu_\lambda V^\lambda\]

    \[\nabla_\sigma W_\nu = \partial_\sigma W_\nu + {\Gamma_\sigma}^\lambda_\nu W_\lambda\]

    \[\nabla_\sigma {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} = \partial_\sigma {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k}\\ ~~~~ + {\Gamma_\sigma}^{\mu_1}_{\lambda} {T^{\lambda \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} + {\Gamma_\sigma}^{\mu_2}_{\lambda} {T^{\mu_1 \lambda \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} + \ldots\\ ~~~~ - {\Gamma_\sigma}^{\lambda}_{\nu_1} {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\lambda \nu_2 \ldots \nu_k} - {\Gamma_\sigma}^{\lambda}_{\nu_2} {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \lambda \ldots \nu_k} - \ldots\]

Energy-momentum tensor:

    \[\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0\]

November 24th, 2010 | 荒唐 | Categories: 数学, 物理 | Comments: No Comments

价值观之争

任何价值观都只不过是复杂程度不同的偏好，关于偏好的争论在逻辑上就不可能有结果。

任何单纯的价值观争论都必然无果，原因就在于任何主张『所有人都应该认可×××』的价值观都杯具地对所有人做出『要求』，只要是『要求』，就绝不是『经验假设』。只有『经验假设』才可能被验证，而对于任何形式的『要求』，只能谈论它能否被一个特定的人所接受，根本不能谈论对一种『要求』的验证。凡是不能被验证的东西，自然就不能谈论什么对错（更准确的词汇是『有效性』）。

另一方面，价值观可以被分析，分析的方法就是追溯其更基本的需求，也就是不断询问『你采取某种价值观是为了得到什么』、『你反对某种价值观是为了得到什么』。通过这种追溯过程可以发现个体之间需求的相似性。但千万注意不要进入下一个误区：两个个体需求相似，根本不意味着双方的利益是一致的。比方说我和你都需要同一块土地，那么我们之间需求的相似性恰恰是利益冲突，这种情况下接下来的问题是双方的博弈。

1.你所主张的未必你的基本偏好，只是你达成更基本的偏好目标所采取的手段。
2.只要你的某个主张是为了达成某些目标，那么这个主张就不是基本偏好，因为那些目标显然更基本。
3.是否存在不同的手段能够更好的达成某个目标，显然是经验科学问题；你认为好的事情，别人是否也认为好，显然也是经验科学问题。
4.对于经验科学问题，如果经验科学方法尚不能给出有效判断，那么任何非经验科学的方法（包括信仰和想当然）也不能。如果试图给出有效判断，价值观争辩毫无帮助。

人都有偏好，要么认为这东西好，要么认为那东西好。但所有的『××主义者』都不同，他们不但认为某些西好，还进一步认为『所有人都应该认可这些好东西』。无论从什么样的逻辑推理规则或者经验科学事实出发，任何形如『所有人都应该×××』的语句都只能从形如『所有人都应该×××』的语句推出，这种句子甚至不能从形如『我个人应该×××』或『我个人认为所有人都应该×××』的句子推出，也就是说所有能给出『所有人都应该×××』这种判断的理论，其最基本前提必须包括形如『所有人都应该×××』的句子。而无论采用什么样的经验科学事实或个人价值观作为前提，一个理论都不可能导出形如『所有人都应该×××』的结论。换言之，凡是这样的价值观理论，从一开头就必须是法西斯式的。遗憾的是，这种从一开头就法西斯式的理论，折腾出来的结论看上去往往都很吸引人，甚至好像是反法西斯的，比方说共产主义、民族主义、社会达尔文主义、动物保护主义、绿色和平主义、普世价值、客观道德、天赋人权、人人生而平等、众生平等（上述词汇之间既不是并列关系也不是因果关系也不是主从关系也不是顺序关系……随便你认为它们之间是什么关系）……

即便是形如『我认为人人都应该×××』这样的前提，无论结合什么样的逻辑推理或经验科学事实，所能导出的也只能是『我认为人人都应该×××』，不可能导出『人人都应该×××』。

不知道大家是否看过赵南元关于宣传型理论和自用型理论的文章。我做个自爆：在我的自用理论之中，我绝不是任何上述意义上的『××主义者』，而且任何真心把上述意义上的某种『××主义』当作自用型理论的人在我看来全是傻逼。当然，通常很难从一个人的公开表现判断出他到底是装傻逼还是真傻逼。我当然有我自己的偏好，但至少我的自用型理论绝不主张『人人都应该×××』或者『人人都应该反对『人人都应该×××』的主张』，因为这些主张对于任何人的行为决策在逻辑上就不可能提供任何帮助，只能提供心理安慰，同时降低他对经验事实的判断能力，而这恰恰是我根本不想要的。另一方面，我也有可能在某种情况下为了自己的私利而对别人假装成某种『××主义者』，也就是说我的『宣传型理论』也未必直接反映我的动机。因为宣传型理论本来就是利用自用型理论所构造出来的达成自己目标的工具和手段。

由于我自爆了关于我自己的实话，今后想要因为一己私利而装傻逼就会面临更高的壁垒，不过我个人倒是真心希望在这个社会中我不需要总是装傻逼才能得到我想要的东西，因为这既不是我擅长的也不是我爱好的。

November 22nd, 2010 | 荒唐 | Categories: 哲学 | Comments: No Comments

评：物理学的逻辑和霍金的答案

物理学的逻辑和霍金的答案
http://www.geekonomics10000.com/546
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评：

把科学当信仰去信奉的人试图反驳一个以信仰为生的牧师当然是徒劳的，当然这种人所信奉的东西也并不是科学，而这种信奉的做法也不是科学的精神。

关于上帝有无穷多互不相容的逻辑自洽的理论。比方说上帝创造各种年龄的化石和自然现象给人看，那他可以在100亿年前创造，也可以在昨天创造，甚至可以在明天创造世界，然后把时间倒着拨……只要这些理论无法在经验活动中得以区分，那么就都可以是真的，也都可以是假的，偏爱其中任何一种都是盲目的，而任何一种宗教恰恰仅仅是其中一种。而经验科学必须给出可以通过经验区分的结论，凡是跟经验毫无逻辑关系的概念在经验科学中都是多余的。

搞科学的人经常拿奥卡姆剃刀剔除这些概念，但对于一个信徒来说他可能恰恰认为某些关键的概念恰恰是无法被经验验证的，所以他会认为奥卡姆剃刀恰恰把最关键的东西给剔除了，因此他们会拒绝使用奥卡姆剃刀。但事实上根本没有必要把奥卡姆剃刀上升到基本的地位，奥卡姆剃刀剔除不掉的东西，总会有无穷多种互不相容的选择，随便你选择其中的哪一种去坚信，你的所坚信选择都仅仅是随意的盲信。

PS：

有人说：物理学的假设只很少几个，而关于万能上帝的假设太多了。假设少的更可信。

是否假设越少越可信，上述观点教徒未必认同。关键是无法检验的假设有无限的可能，无法检验自然无法有证据，既然这些假设都没有证据，那么认为其中某一个特定的可能比其他的可能更可信就是随意的。教徒愿意随意盲信当然没问题，但他如果敢为了传教而宣称这些东西是可靠有根据的，就是撒谎，而判断他是否在随意的信仰上撒谎，标准是明确可操作的。

November 2nd, 2010 | 荒唐 | Categories: 哲学 | Comments: No Comments