【量子力学科普】转两圈才还原——从Bloch球面的旋转操作理解自旋1/2

一个qubit的状态可以表达为Bloch球面上一个点。不失一般性,可以选择\Hat{z}方向上的本征态\vert+\rangle,\vert-\rangle将整个Bloch球面上所有的态表达为二者的叠加:\vert\lambda\rangle = \alpha \vert+\rangle + \beta \vert-\rangle = e^{i\gamma}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}\vert+\rangle + e^{i\psi} \sin{\frac{\theta}{2}} \vert-\rangle\right),由于全局相位不可观察,所以全局相位角\gamma就没有被表达在Bloch球面上。

(注意,这个\frac{\theta}{2}中的因子\frac{1}{2}并不神秘,因为\theta是Bloch球面上一点在球面坐标中的天顶角,该点对应的量子态在\vert+\rangle,\vert-\rangle两个分量上的归一化系数的绝对值必须是\cos{\frac{\theta}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}},这一点在Bloch球面上稍加分析就可知道。)

旋转算子R_{\Hat{n}}\left(\phi\right)相当于将整个Bloch球面绕\Hat{n}轴旋转\phi角。简化问题并且不失一般性,我们考虑z表象下绕z轴的旋转算子:R_{\Hat{z}}\left(\phi\right)=\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\phi}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\phi}{2}} \end{pmatrix}。这里面的因子\frac{1}{2}看上去有些诡异,也正是因为这个因子导致了『转两圈才还原』这种事情。

但事实上这并不奇怪,显然,这个矩阵将\vert+\rangle的相位反向转动了\frac{\phi}{2},而将\vert-\rangle的相位正向转动了\frac{\phi}{2}。这样,二者的相位差就会增大\phi,在Bloch球面上R_{\Hat{z}}\left(\phi\right)\vert\lambda\rangle对应的点刚好是\vert\lambda\rangle所对应的点绕z轴正向旋转\phi的点。也就是说,旋转操作R_{\Hat{n}}\left(\phi\right)的作用表现在Bloch球面上,就是对Bloch球面的普通旋转操作,没有任何神秘之处。

但『转两圈才还原』到底是怎么回事呢?因为这里还有一个被抛弃的全局相因子\frac{\phi}{2},这个相因子由于对单个qubit是不可观察的,所以在Bloch球面上就被扔掉了。

当我们实施旋转操作R_{\Hat{z}}\left(2\pi\right)的时候,全局相因子转动了\pi,只有转动两整圈R_{\Hat{z}}\left(4\pi\right)的时候,全局相因子才转动了一整圈2\pi对于单个qubit,这个全局相因子是完全不可观察的,因此对于单个qubit,我们根本不必关心『转两圈才还原』这回事,无论是把粒子旋转一圈还是把仪器旋转一圈,都不会发现任何可观察的差别。

但是,对于多个自旋1/2的粒子构成的体系,我们只对其中一个进行旋转操作,那么这种操作就会引起不同粒子之间的相位差的变化,这时候『转两圈才还原』这种事情才能出现可观察的效应。

以前我看Feynman或者Dirac所演示的那种『转两圈才还原』的演示实验,觉得非常不理解,因为所有这些演示都要把被旋转的东西连接到一个固定的东西上,而我们通常的旋转没有必要这样做。但现在想想这些演示是恰当的。因为如果仅仅是一个单一的qubit,旋转操作跟普通的旋转没有差别。只有当一个qubit跟某些作为背景的系统关联的时候,转动操作才会引发qubit相对于背景系统的相位差的变化,因此他们的演示应该说是非常恰当的。

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