自然数的Peano公理系统

下面是不引入集合概念的Peano公理系统。由于不引入集合概念,所以归纳公理必须使用二阶逻辑,对任意属性谓词进行量化。

先引入相等关系(同一关系)的定义:
eq0.\forall a. a=a 自反性(reflexive)
eq1.\forall a,b. a=b \Rightarrow b=a 对称性(symmetric)
eq2.\forall a,b,c. a=b \wedge b=c \Rightarrow a=c 传递性(transitive)
eq3.\forall P,a,b. a=b \Rightarrow (P(a)\Rightarrow P(b)) 相等则具有相同属性。

利用上述相等关系定义,这里给出不依赖于集合论只基于二阶逻辑的自然数Peano公理:
n0.N(0) 0是自然数
n1.\forall a. N(a) \Rightarrow N(S(a)) 自然数的后继也是自然数
n2.\forall a,b. N(a) \wedge N(b) \Rightarrow (S(a)=S(b) \Rightarrow a=b) 仅当两自然数相等后继才可能相等
n3.\forall a. N(a) \Rightarrow \sim 0=S(a) 0不是任何自然数的后继
n4.\forall P,a. P(0) \wedge (N(a) \Rightarrow (P(a) \Rightarrow P(S(a))) \Rightarrow (\forall b. N(b) \Rightarrow P(b)) 归纳公理的二阶逻辑版本。对于任意属性P和任意自然数a,如果【a)0具有属性P,b)只要a具有属性P则a的后继也具有属性P】,那么任意自然数都具有属性P。如果引入集合概念就可以只用一阶逻辑。

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