逻辑引擎

【转】不同寻常的数

（转载者）【逻辑引擎】简序：虽然关于超限数的一些理论（特别是大基数）遭到某些直觉主义者或构造主义者的诟病，但对我个人而言，如果非要让我在我所有的知识中挑选出唯一一种美到令我窒息的东西，那就是超限数。这是疯子数学天才康托尔（Georg Cantor）开启的通往无穷地狱的神奇窗口。对我而言，超限数比任何疯狂的幻想小说都更加疯狂。你一旦进入了这个浩瀚的世界，就会发现自己所知道的一切，甚至是自己最为疯狂的幻想，都是无限微不足道的。相比于原则上不受任何限制可随意创造甚至连逻辑含混不清自相矛盾都可容忍的幻想小说设定，超限数却是在绝对严格地遵守最苛刻规则的同时，又绝对无限地突破任意强大的智力能够触及的极限。即便是强大到能创造整个宇宙的造物主，拥有对人类而言真正无穷大的计算能力，在超限数的层级上充其量可以比我们多走一点点。而在超限数这个浩瀚的世界中，多走这一点点只不过是无限微不足道的进展。仅凭这一点，我就愿意用一生去欣赏它。

虽然本文是一篇很不错的科普，但真的想要通过本文体会到超限数的美妙之处，还是需要读者对此多少有所了解，否则可能会对超限数这种奇异的数学结构感到莫名其妙。

如果读者居然能硬着头皮把文章看完，哪怕最终像文中阿基里斯一样不省人事，你也已经欣赏到了超限数的华丽皮毛。如果你居然像文中的乌龟女士一样对此乐此不疲，愿意花更多精力去了解和研究，说明你跟我一样，病的不轻药不能停，你一定会对我前面所说的话产生强烈的共鸣。

在此，“超限”感谢若干年前将法文原著翻译成中文的·异调·，这篇文章连英文版我都没找到过，没有·异调·的贡献，中文读者不知道何时才能接触到这篇如此华丽的数学基础科普故事。虽然我在看到这篇文章之前就已经对超限数的美丽感到窒息，但这篇文章让我从窒息跌入了窒息的窒息次方、窒息的窒息的窒息次方次方……的无底深渊 ;-)

最后，一切荣耀归于原作者David Madore…………Mad-ore？疯子矿？！！Cantor是个疯子，这位居然是疯子矿，难道超限数的震撼真的只有真正的疯子才能领略么？好吧，能欣赏到如此绝美的东西，我也宁愿当个疯子。

——原来在BBS上发表的译文不支持TeX公式，许多符号只好用字符替代，我此次转载将这些符号全部替换成了TeX公式。此外，我对一些引起某些读者困惑的内容加了几条新的注释。

本文链接 http://zhblog.engic.org/20141003-015609/
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不同寻常的数[注1]
原作者 David Madore
中译者异调（原三思科学BBS网友：冷饭，留法数学博士）
法语原版

阿基里斯和乌龟正在参观一个现代艺术展览，他们欣赏着一幅除了八根水平黑色横线外一片空白的画，画的题目叫“序数8”。

序数8

阿基里斯：对你说吧，我挺喜欢绘画的。不过这，这也太过分了，这个阿列封斯·阿莱[注2]……

乌龟（好笑地）：阿列封斯·埃夫伊！绰号“阿列夫伊”。阿列封斯·阿莱是个作家，不是画家。

阿基里斯（不理睬乌龟）：……那幅一片空白的画，取名叫“序数0”，大概可以算是好创意。画张一根线的画，叫作“序数1”，也还过得去。接下去的“序数2”，也马马虎虎。可一直画到这里，我觉得真太夸张了。（阿基里斯不安地往右边望望，又忙恐惧地转过头来。）我说他以这为主题创作的作品可真不少哪。

乌龟：你要求太高了，阿基。这是他青年时期的作品。要是你乐意，我们往前面走走：他在往后的生涯中画了更有意思的作品。

（乌龟开始以一个令阿基里斯吃惊的速度朝前走——他几乎跟不上她的脚步。）

阿基里斯：我说，他这青年时期的作品有那么多啊，能让你走得这么快。

乌龟：当然喽。事实上有无限幅。

阿基里斯：无限幅？那我们就永远走不到头啦！

乌龟（非常好笑）：我还以为听见芝诺在说话呢。你知道的，就是那个以为你永远赶不上我的哲学家。讲的自然都是些蠢话。（她走得越来越快。）在有限长的时间里做无限件事情并非不可能，在有限的空间里放上无限件东西也并非不可能。只有希腊人才会怕无限怕成这个样子。

阿基里斯（狠狠地瞪乌龟一眼）：我才不怕无限呢！我只是担心这么走下去有点单调……尤其是快要走完的时候。

乌龟：别担心，有多种多样的无限。嗨！我们到了。

（阿基里斯吃惊地四下张望。他有点不太明白自己是怎么走到这里来的。在他的前面是一幅新的画，题目为“序数 $\omega$ ”。画的还是水平横线。不过这次这些线越往上就排得越紧，在画的顶部，线条排得密密麻麻分不清了。）

序数 $\omega$

阿基里斯：噢，这个就好多了。横线渐渐接近，就好像是排向一条地平线。我想它们大概有无限条吧……

乌龟：当然喽，事实上正有无限条。

阿基里斯：我记得刚听你说过这玩意，这画大概就是那个“序数”系列作品的最后一幅吧。这个 $\omega$ 表示画家希望终结此主题，然后去画点别的东西的愿望[注3]，这也就是那些终结于地平线的横线所象征的。我不禁想起了歌德《浮士德》中最后的诗句：“Das Unzulangliche / Hier wird’s Ereignis.”[注4]

乌龟（嘻嘻哈哈）：你可真了不起啊，阿基！在你又要引用德日进[注5]语录之前，我建议你先往右边看看。

（阿基里斯听话地往右看，当他瞧见那幅题为“序数 $\omega+1$ ”的画时，张口结舌。这是一幅和“序数 $\omega$ ”几乎一模一样的画，差别就是在最上头多了一条线。）

序数 $\omega+1$

阿基里斯（快崩溃了）：哎呀呀呀！我早该防着这手了……要是我现在问你什么是“序数”，还不算太晚吧。

乌龟：不算晚。这并不难：一个序数，就是一架梯子。

阿基里斯：看看这些一级一级可怕的小杠杠，我早该明白这事了。就这么多？

乌龟：这是一架你可以无限地向上迈的梯子。但是有条最最基本的规矩，就是谁都不能无限地向下迈。

阿基里斯：我好像又糊涂了。

乌龟：这很简单。无论你选中梯子上的哪级横档，然后踩住它下方的某一级横档，这样就是往下迈一次，然后再这么往下迈一次，一直这样走下去……结果你总会在有限的步数里走到最底下。比方说，在我们的序数 $\omega$ 里，那些横档从下到上编号为0，1，2……等等（也就是说以自然数编号）：要是你想无限次地往下迈，你就得找到一个无限长的、严格递减的自然数序列，可这是不可能的，因为你最后总归会碰上0。相反地，你可以无限次地向上迈，比方说0，1，2，3……，或者1，2，4，8……号，或者其他别的什么横档的序列。要是你把这画头朝下挂反了，那就不是一个序数了，因为那时你可以无限地往下迈。

阿基里斯：这么听起来，好像还不算太复杂。

乌龟：别自以为是了！序数是通往数学天堂的梯子，懂得它们，就可以算是有点懂得了全部数学。我说过的那条规矩，看起来好像挺简单的，可正是它给予序数所有的力量。对于某些复杂得可怕的序数来说，意识到不能无限地往下走这点，是可以让人震惊不已的。

阿基里斯（被吓住了却还有点嘲笑的口气）：哇！数学的秘密全在一架梯子的顶上！可这些序数有什么用场呢？

乌龟：用场大得很。首先，我们可以对它们做加法：要把两个序数 $\alpha$ 和 $\beta$ 加起来，我们只需把 $\beta$ 的梯子放在 $\alpha$ 的梯子上面。我们把它写成 $\alpha+\beta$ 。

阿基里斯（洋洋得意）： $\omega+1$ 就是这么来的，我们把序数1，也就是只有一级横档的梯子，放在梯子 $\omega$ 顶上。

乌龟：就是这样。“加1”，也就是在一架梯子顶上加上一级横档这种特殊情况，我们叫它为取一个序数的“后继”。

阿基里斯：于是 $\omega+1$ 就是 $\omega$ 的后继喽。因为要是我把 $\omega+1$ 顶上的那级横档去了，就又得到 $\omega$ 。同样地， $\omega+2$ 是 $\omega+1$ 的后继……可是，哎呀你说， $\omega$ 这东西，它是什么东西的后继啊？是 $\omega-1$ 的后继？

乌龟：不是的。没有 $\omega-1$ 这种东西。 $\omega$ 不是任何序数的后继，因为你不能去掉它的最上面那一级横档：那根本就不存在。在每级横档的上面，都还有另一级，所以没有最上面的那级。那些和 $\omega$ 一样的，不是其它哪个序数的后继的序数，我们把它们叫做“划限序数”，其他的序数我们则称为“后继序数”。要注意这和有限无限没关系， $\omega+1$ 是无限的，但是它是后继序数，因为它有最顶上的那级横档；而0呢，它是没横档的梯子，是有限的，却是个划限序数，因为它一级横档都没有，就别提最顶上的那级了。

阿基里斯：我不能去掉最上面的那级横档，可我总能在其他随便什么地方去掉一级吧。比方说，最下面第一级。在 $\omega$ 里，最下面的那级横档还是有的。

乌龟：当然啦，无论什么序数都有最下面的那级横档。要是没有的话，那么任何一级横档下总会有其他横档，这样就可以无限地往下走了，但这是不被允许的。唯一的例外，就是0。另外，一架梯子上的最下面第一级横档叫0号横档，第二级叫1号横档，等等。序数的每级横档，它们本身就是序数，它们恰好就是小于整条梯子序数的那些序数。比方说， $\omega$ 的横档，恰好就是所有自然数；而 $\omega+1$ 的横档，就是所有自然数，再加上最后一级横档，也就是横档 $\omega$ ； $\omega+2$ 的横档，就是所有 $\omega+1$ 里的横档，再加上一级名叫“ $\omega+1$ ”的横档。

阿基里斯：我不知道跟没跟上你说的话。要我说，两个序数里面总有比较大的一个，这事情就已经不是那么显然了。

乌龟（不容置疑地）：这不是那么显然，可这是个事实。两个序数之间总可以比较大小。任何一个序数就是一架梯子，它上面的横档恰好由比它小的那些序数来编号[【逻辑引擎】注1]。

阿基里斯（不知所措）：你说了这些，还是没回答我原来的问题啊。要是我把 $\omega$ 最下面那级横档去掉，我就得到了一个小一点的序数……

乌龟：不对。你得到的还是一模一样的东西。从 $\omega$ 下面去掉一级横档不改变任何东西，只要把横档的编号换一下就可以了（1号横档改名为0号，2号改名为1号，如此这般）。这序数还是 $\omega$ ，它没有减小。

阿基里斯：这可真难以置信！我去掉一级横档，可剩下来的还是和原来的一样多！

乌龟：不仅仅是和原来一样多，而且它们的排列方式也和原来的一样。你要是在最下面加上一杠也是一回事。

阿基里斯：可你说过 $\omega+1$ 和 $\omega$ 不是一回事……

乌龟：这是对的。可是在最下面加一杠，那是 $1+\omega$ ，而它，却和 $\omega$ 是一回事。

阿基里斯：等等！你是说 $1+\omega=\omega$ ，而 $\omega+1>\omega$ 喽？我要是在最下面加一杠，横档还是和原来一样多；我要是在最上面加一杠，横档就变多啦！到底是你脑子有病还是我脑子有病？

乌龟：谁的脑子都没病。不过你说的不是太正确。 $1+\omega=\omega$ 而且 $\omega+1>\omega$ ，这是对的，但是这不等于说 $\omega+1$ 上的横档要比 $\omega$ 上的多。一个序数，可不是简单的一堆杠杠：这是一堆以某种形式排放的杠杠。要是你把这些杠杠搞乱了，你就丢掉了序数，剩下的只是某种叫“基数”的更含糊的东西。这种情况下， $\omega$ 和 $\omega+1$ 就没区别了，其实就算和 $\omega+1729$ 也没区别：所有这些序数里的横档的数目是一样的，也就是基数相同，大家一般叫它 $\aleph_0$ [注6]。不过这和它们作为序数时有区别这点并不矛盾。

阿基里斯（厌倦地）：好，就算你说得对吧。我建议我们继续参观作品 $\omega+2$ 、 $\omega+3$ 和它们那一伙吧，我可以想像它们都长得很象。还有啥？就完了？

乌龟：完了？想得可真荒唐。你跟着我就是了。

（在超空间中再次小小一跃后，阿基里斯和乌龟站在了一幅题为“序数 $\omega 2$ ”的画前。）

序数 $\omega 2$

阿基里斯：哈哈！这是一个 $\omega$ 叠在另一个 $\omega$ 上啊！我猜这就是为什么这个序数叫 $\omega 2$ 吧。它不就是 $\omega+\omega$ 吗？

乌龟：对极了，华生！多敏锐的观察力啊！[注7]事实正是如此，我们有 $\omega 2=\omega+\omega$ 。另外， $\omega 2$ 表示我们把序数2的（两根）横档的每一根都替换成序数 $\omega$ 的一个拷贝。

阿基里斯（被迷住了）：嗨，我说，这么多杠杠，可真有好些啊！

乌龟：噢，其实和刚才一模一样多。你看， $\omega 2$ 的横档是这么排列的：有第一个序列，就是老的那个：0、1、2、……，然后这个，就是新的那个：先是横档 $\omega$ ，然后再是 $\omega+1$ ，然后 $\omega+2$ 、……。现在，假如我把这些杠杠重新排列一下，我先放上0，然后 $\omega$ ，然后1，然后 $\omega+1$ ，然后2，然后 $\omega+2$ ，这么继续下去……那么，要是以这个顺序排列的话，我就得到了一模一样的……

阿基里斯： $\omega$ ！所以说，虽然 $\omega 2$ 是一个比 $\omega$ 大得多的序数，可是它们上面的横档的数目却是相同的。

乌龟：正是如此。它们有相同的基数。这两个都被称为是“可数的”。另外， $2\omega$ 和 $\omega$ 是同一个的序数，因为 $2\omega$ 就是把 $\omega$ 的每根横档都换成两根，这样做其实既没增加横档的级数，也没改变它们的排列方式。

阿基里斯（大吃一惊）：是啊！这后面，又有 $\omega 2+1$ ，然后 $\omega 2+2$ ，然后 $\omega 2+3$ 等等，然后在这一堆的后面，我想就该有 $\omega 3$ 了，它就是三个 $\omega$ 叠在一起。然后又是 $\omega 3+1$ 等等一直到 $\omega 4$ ，再往后就是 $\omega 5$ 、 $\omega 6$ 、……这个阿列夫伊的绘画，就是这些了吧？

乌龟：你说的很有道理。不过还不能停下来。

阿基里斯：啥？？？后面还有东西？

（乌龟（跑够了）打了个响指（乌龟做这种事，和她能跑步一样，都很让人吃惊的），她和阿基里斯正站在一幅名叫“序数 $\omega^2$ ”的画前。阿基里斯心悦诚服地陷入了沉思。）

序数 $\omega^2$

阿基里斯：我懂了！它其实先是一个 $\omega$ ，然后再在上面叠一个 $\omega$ ，然后再一个，一直这么叠上无穷次。

乌龟：一直这么叠上不多不少 $\omega$ 次。换句话说，把 $\omega$ 的每根横档都换成一整个 $\omega$ ，我们就得到了 $\omega^2=\omega\omega$ 。接着呢？

阿基里斯：接着就是 $\omega^2+1$ ， $\omega^2+2$ ，这么一直下去就到了……就到了……

乌龟：就到了 $\omega^2+\omega=\omega(\omega+1)$ ，就是在 $\omega^2$ 的顶上叠上一个 $\omega$ ，换种方法也可以是把 $\omega+1$ 的每根横档都换成一整个 $\omega$ 。

阿基里斯：我猜它和 $\omega+\omega^2$ 不一样吧？或者说和 $(\omega+1)\omega$ 不一样？

乌龟：是这样的！ $\omega+\omega^2$ 简化了其实就是 $\omega^2$ 。说到 $(\omega+1)\omega$ ，它是把 $\omega$ 的每根横档都换成一整个 $\omega+1$ ，可是这个“+1”会被它上面的那个 $\omega$ 吃掉，于是最后我们就重新回到 $\omega^2$ 上。

阿基里斯：顺便说一下，我忘了问你……我想 $\omega^2$ ，这东西，它里面的横档总比 $\omega$ 里的要多吧？

乌龟：还是不对。你可以把它里面的横档重新这么排列：先是第一个 $\omega$ 里的0号横档；然后是第二个 $\omega$ 里的0号横档，后面紧跟第一个 $\omega$ 里的1号横档；然后是第三个 $\omega$ 里的0号横档，后面紧跟第二个 $\omega$ 里的1号横档，再接上第一个 $\omega$ 里的2号横档；然后是第四个 $\omega$ 里的0号，紧跟第三个 $\omega$ 里的1号，再接上第二个 $\omega$ 里的2号，再接上第一个 $\omega$ 里的3号；然后是第五个 $\omega$ 里的0号……

阿基里斯：够啦！我啥都没听懂，不过我相信你说的，这么干就又能得到 $\omega$ 。还是重新爬我们的梯子吧…… $\omega^2+\omega$ 的后面，就是 $\omega^2+\omega+1$ ，这么下去一直到 $\omega^2+\omega 2$ ，然后就是 $\omega^2+\omega 3$ ，再下去我想就要碰上 $\omega^2 2$ 了。

乌龟：完全正确。这是两个 $\omega^2$ 叠起来的怪物。这张就是了。（她打了个响指。）

序数 $\omega^2 2$

阿基里斯：很简单嘛。重复上面的步骤，就有 $\omega^2 3$ ， $\omega^2 4$ 等等。在这后头，我想就是 $\omega^2\omega$ 了。

乌龟：你学得很快啊！我们到了。它叫 $\omega^3$ 。

序数 $\omega^3$

阿基里斯：这画布开始有点不够用了。看上去跟条形码似的。好，我可以猜到后面都有点什么了，有 $\omega^4$ 和 $\omega^5$ 。喏，序数不就是这样嘛。

乌龟：不对！所有这些以后，还有 $\omega^\omega$ 。（她带路到画前。）

序数 $\omega^\omega$

阿基里斯：哎哟，这图看了叫人脑瓜疼。我啥都看不清。

乌龟：为此展览的组织者特地为那些有耐心一直走到这里的人，准备了一幅示意图：在左半边，我们看到了 $\omega^\omega$ ，其中的每条横档都是我们在此之前看见的那些序数。然后，在右半边，我们只画出了代表0、 $\omega$ 、 $\omega 2$ 等等（也就是 $\omega$ 在某种意义上的倍数）这些序数的横档。很有趣的是，这样构成的梯子，它本身也还是一个序数，而且仍旧是 $\omega^\omega$ ，也就是说，我们把这个序数结结实实地“除以”了 $\omega$ ，结果还是得到了它本身。再后面的那些列中，是相应的 $\omega^2$ 的倍数， $\omega^3$ 的倍数的那些横档。而最后，最右边的那一列，是所有 $\omega$ 的指数，也就是说0、1、 $\omega$ 、 $\omega^2$ 等等。这一次，这样构成的梯子就不是 $\omega^\omega$ 了，而是 $\omega$ 。

$\omega^\omega$ 的结构

阿基里斯：噢，是啊，我想我开始看清楚了。不过我觉得还是有必要问问你，就是这个， $\omega^\omega$ 里的杠杠数目，要比 $\omega$ 里的多吧。

乌龟：还是错了。[【逻辑引擎】注2]我给你举一种依次罗列 $\omega^\omega$ 中横档的方法：首先我们有数列1、2、3、……然后把所有这些数作素因子分解： $1=2^0$ ， $2=2^1$ ， $3=3^1$ ， $4=2^2$ ， $5=5^1$ ， $6=2^1\times 3^1$ 等等。然后我们可以推出，对 $\omega^\omega$ 的任何一条横档：2的次数对应着最后的常数，3的次数对应着 $\omega$ 的倍数，5的次数对应着 $\omega^2$ 的倍数等等。最后，这就给定了一个次序：0、1、 $\omega$ 、2、 $\omega^2$ 、 $\omega+1$ 、 $\omega^3$ 、3、 $\omega 2$ 、 $\omega^2+1$ ……等等。按照这个方法，这个序列里有 $\omega^\omega$ 的所有横档，只不过次序全打乱了，可无论怎么说所有横档都在里面。

阿基里斯（精疲力尽）：我投降！

乌龟：我们可以在这里看见序数还有另一个有趣的性质，也就是它的共尾性。

阿基里斯：哦，这是什么东西？

乌龟：这是兔子眼里的序数。

阿基里斯：兔子？这干它们什么事？

乌龟：它们在爬梯子的时候也是蹦蹦跳跳的。所以它们可以一蹦就跃过许多横档——事实上想跃过多少就跃过多少。就象我们现在参观这个展览时做的那样。它们试着要一直蹦到梯子最上头。兔子可以在序数的每根横档上都踩一次，如果它这么做，它就得跳恰好和这个序数一样多的次数。在 $\omega$ 这种情况下，它也可以只跳在偶数号的横档上。可是无论怎么跳，它还是得跳 $\omega$ 次才能跳上梯顶。因为比 $\omega$ 少就意味着跳有限次，这意味着它只跳过了有限条横档，可是只跳过有限条横档是不能够爬到 $\omega$ 的最上头的。但是对于 $\omega+1$ （其他后继序数也一样）来说，它可以一下就跳在最后那根横档上。所有有自尊心的兔子都会这么干的，因为兔子很懒。[注8]

阿基里斯：为了爬 $\omega^\omega$ 这个梯子，懒兔子会怎么干呢？

乌龟：它会跳在1、 $\omega$ 、 $\omega^2$ 等等那些 $\omega$ 的指数上，也就是示意图右边那列表示的序数。按这个方法，它们只要按照爬一架 $\omega$ 模样的梯子，就能在 $\omega^\omega$ 这梯子上爱爬多高爬多高。因为这是最佳的爬法，我们就说 $\omega^\omega$ 有共尾性 $\omega$ 。我们前面碰到过的划界序数都有共尾性 $\omega$ （至于后继序数，我们规定它们的共尾性为1）。

阿基里斯（不再很感兴趣）：我不知道兔子还懂数学。不过要是乌龟也懂数学，为什么兔子就……哎，我说，后面还有展览吧？

乌龟：当然啦。可是图画变得越来越复杂，难以看清楚。在 $\omega^\omega$ 的后面，重复一遍我们前头一直到现在所做过的又长又讨厌的步骤，就可以得到 $\omega^\omega 2$ ，然后再重复一次就是 $\omega^\omega 3$ ，这么一直下去到 $\omega^\omega\omega$ ，这也就是 $\omega^{\omega+1}$ 。如果我们把产生出它的步骤重复下去，就到了 $\omega^{\omega+2}$ ，一直下去就得到 $\omega^{\omega+\omega}$ 也就是 $\omega^{\omega 2}$ 。把 $\omega$ 个这样的东西叠起来就是 $\omega^{\omega 2+1}$ ，这么继续下去就有 $\omega^{\omega 3}$ 。同样地可以得到 $\omega^{\omega 4}$ ，你可以这么一直重复下去。所有这些以后，就是 $\omega^{\omega^2}$ 。这么继续下去，再这么继续下去，就到了 $\omega^{\omega^3}$ 。这么做到底，就是 $\omega^{\omega^\omega}$ 。然后，你可以叠着 $\omega$ 玩：可在 $\omega$ 、 $\omega^\omega$ 、 $\omega^{\omega^\omega}$ 等等这串到了底，你不能再用 $\omega$ 这个符号了，这就得使用一个新符号：我们记它为 $\epsilon_0$ 。一般在这个层次上的想像，会使大家开始晕头转向，有人就会以为自己是三楼楼长了[注9]。所以我们不准备去看那幅画，我害怕你会发起小小的司汤达综合症[注10]来。

阿基里斯（倒吸一口冷气）：这 $\epsilon_0$ ，它绝对是巨大无比啊！

乌龟：唉，兔子们总可以很快地通过踩着 $\omega$ 、 $\omega^\omega$ 这样下去的横档跳到顶上的。所以它还是有共尾性 $\omega$ 。别看它是那个模样，它仍是可数的……我们当然有 $\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0$ 。不过我们可以考虑序列 $\epsilon_0$ 、 ${\epsilon_0}^{\epsilon_0}$ 、 ${\epsilon_0}^{{\epsilon_0}^{\epsilon_0}}$ 等等的极限。这和序列 $\epsilon_0+1$ 、 $\omega^{\epsilon_0+1}$ 、 $\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}$ 的极限是一样的。我们把它叫作 $\epsilon_1$ 。同样可以定义 $\epsilon_2$ ，还有 $\epsilon_3$ ，然后这么一直到 $\epsilon_\omega$ 。不过呢，就象你猜的那样，我们的天才画家可不只停留在这里。因为我们可以继续 $\epsilon_{\epsilon_0}$ ， $\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}$ 地下去，然后一直继续这个序列直到某一个序数，据我所知，还从来没有人命名过。可是它还是只有共尾性 $\omega$ ，而且是可数的。

阿基里斯（精疲力竭）：可是，这就永远不会完了吗？

乌龟：为什么你想让它完？为了使数学源泉枯竭，不再流淌？还有大量的可数序数……其中有一些，仅仅是由它们的存在性，就可以得出奇迹般的推论——可是我们既不能把它们写出来，也不能作计算。而所有这些，都只不过是可数序数而已，也就是说，从理论上来讲，我们都可以象我们这位天才而又疯狂的画家所做的那样，将它们画出来。可是在所有这些序数的后面，还有那些不可数的序数。最小的那个，我们叫它 $\omega_1$ ，在有些古老的文献里，它叫 $\Omega$ 。至于它的基数，则被记为 $\aleph_1$ ，读作“阿列夫一”。这个序数从本质上来说，比我直到现在提到的那些序数都要大，包括那些有 $\epsilon$ 的丑八怪。它完全是新的，因为没有兔子能够偷懒抄近路。它恰恰就是把所有阿列夫伊的画作堆积起来形成的那架梯子，也就是我们正在参观的这个展览的总长度。

阿基里斯（完全垮了）：真是噩梦啊！

乌龟：是啊。我有时会看见这样一个地狱里的景象：这是一架梯子，或者说一条阶梯，看上去就如同 $\Omega$ ：在顶端，有着奇妙的东西。可是我们要花上永恒的时间来攀登，我们可以爬升得和我带你看这个展览的速度一样快，可是总靠不近它的顶端。换句话说，如果你任意选择 $\omega_1$ 上的横档的一个序列，它总是有上界的，也就是说总会有一级横档比你选择的所有横档都要高。就如同只用有限条横档，你不能接近 $\omega$ 的顶端，只用可数无限条横档，你不能接近 $\omega_1$ 的顶端。

阿基里斯（极度沮丧）：这回，是最后一个序数了吧！求求你告诉我，不会再继续下去啦。

乌龟：画展嘛，就这样结束了。 $\omega_1$ 是画不出来的。可这并不妨碍它存在。同它一起的，是所有横档数和它一样多的序数，那些基数为 $\aleph_1$ 的序数，它们的结构要比那些可数序数（我们也称作基数为 $\aleph_0$ 的序数）复杂得难以想像。也许是因为这回有了三类序数：后继序数，那些有共尾性 $\omega$ 的，还有有共尾性 $\omega_1$ 的。在 $\omega_1$ 的后面，我们安安静静地就到了 $\omega_1+\omega$ ，它的共尾性是 $\omega$ ，然后重复到达 $\omega_1$ 的步骤，我们就来到了 $\omega_1 2$ ，它的共尾性是 $\omega_1$ ，然后是 $\omega_1 3$ ，这样一直到 $\omega_1\omega$ ，而它的共尾性是 $\omega$ 。重新沿所有的可数序数而上，我们就到达了 ${\omega_1}^2$ ，它的共尾性是 $\omega_1$ ，然后……

阿基里斯（嚎叫）：够啦！我真受够啦！

（一个保安逼近。）

保安（对乌龟）：这个坏蛋打扰您了吗，夫人？

乌龟：这不是个坏蛋，这可是个半神，马密顿之王哪。我想我大概是找到了他脚踵外另一个弱点了……[注11]我只是建议他去参观阿列封斯·埃夫尔，绰号阿列夫尔的展览。

保安：噢，是的，一提现代绘画，有些人的反应的确会是这样的。（他离开了。）

乌龟：好啦，阿基，不要这个样子嘛！你敢在特洛伊的战场上拼命，就不敢会会这个阿列夫二？再说啦，阿列夫2，这只不过是第三小的无穷基数而已。

阿基里斯（气若游丝）：你在说什么？

乌龟：就是这样啊，这些我刚刚列举的序数，只是 $\omega_2$ 的横档而已，它是基数大于 $\aleph_1$ 的最小序数。我们把它的基数记为 $\aleph_2$ 。在 $\aleph_2$ 的后面有 $\aleph_3$ ，这样一直下去直到 $\aleph_\omega$ 。这 $\aleph_\omega$ 有个很好玩的事，它是奇性的，也就是说它的共尾性要比它自己小，那就是 $\omega$ ，因为虽然它大得很，但是兔子可以先跳在 $\omega_1$ 上，再跳在 $\omega_2$ 上这么一直跳到 $\omega_\omega$ 的顶上。然后就是 $\aleph_{\omega+1}$ ，我们可以一直这么列下去到 $\aleph_{\omega_{\omega_\omega}}$ ，而且还可以一直列下去，最后就碰上了序数 $\alpha$ ，它是满足 $\alpha=\aleph_\alpha$ 的最小序数。它仍旧有共尾性 $\omega$ 。我还要和你谈谈不可及基数，它们比我刚才讲的所有那些基数都要大得多，因为数学家甚至都证明不了它们是否真的存在[【逻辑引擎】注3]……而这些，当然都只能算是“大基数”中最小的那些。（一声巨响。可沉醉于演讲的乌龟根本没有注意到。）不可及基数和小的无限基数相比，大约就和无限基数和有限基数相比那样。然后还有超不可及基数，超超不可及基数，等等等等。可是所有这些基数和马赫洛基数[注12]比起来就只是小不点了。在一个马赫洛基数的上面，还有不可及基数，而它们的数量和所有基数的数量还是一样多。这些基数，都只是“小的大基数”，因为还有“大的大基数”，象可测基数，还有……（她突然停了下来，意识到已经根本没有人在听她说话。）阿基！（她担心极了）你昏过去了！阿基！

阿基里斯（缓缓醒来）：我看见了地狱……我就在一架梯子底下……

译者注：

[注1] 原题为“Des nombres peu ordinaires”，这里ordinaire一语双关，既指“寻常”，又和“序数”(ordinal，原意为“表示顺序的”)一词相近。以阿基里斯和乌龟这两个芝诺悖论的主角的对话形式来介绍数学主题，尤其是关于无限的主题，似乎是候世达在其名著《集异壁》里的发明。在中文版《集异壁》中，乌龟是个男性的角色，因为阿基里斯总以“龟兄”来称呼，而法文版中乌龟却是女性角色，因为乌龟（La Tortue）在法文中为阴性。本文原文为法文，故译文保持乌龟的女性形象。阿基里斯又译为阿喀琉斯，是古希腊神话中马密顿国王佩琉斯和海洋女神泰提斯的儿子，半人半神的伟大英雄。

[注2] 阿列封斯·阿莱（Alphonse Allais，1855-1905），法国作家。

[注3] $\omega$ 是希腊字母的最后一个字母，代表终结。如《新约·启示录》中说：“我是阿拉法、我是俄梅戛、我是首先的、我是末后的、我是初、我是终。”（启22:13）阿拉法即 $\alpha$ ，希腊字母中的第一个，俄梅戛即 $\omega$ 。

[注4] 德语，意为“不可企及者，在此事已成。”

[注5] 德日进（Pierre Teilhard de Chardin，1881-1955），法国思想家，地质学家和古生物学家、天主教耶稣会修士，著作中有关于无限和永恒的论述。

[注6] $\aleph$ 是希伯莱文的第一个字母，读作“阿列夫”； $\aleph_0$ 就读作“阿列夫零”，其他下标也以此类推。

[注7] 这是乌龟在学神探福尔摩斯的口气半开玩笑地称赞阿基里斯。

[注8] 这里乌龟显然想起了龟兔赛跑的故事。

[注9] 原文直译是“以为自己是拿破仑”，法文俗语，即不知道自己的斤两，脑子有点疯了。这里引用电影《大腕》里的笑话翻译。

[注10] 司汤达综合症是指由于欣赏艺术作品而引起激动情绪后的身体不适，以法国作家司汤达的名字命名。

[注11] 按古希腊神话，当阿基里斯还是婴儿时，他的母亲忒提斯曾握住他的脚踵，倒提着将他在冥河水中浸泡过，使他全身刀枪不入，只有被捏住的脚踵是个例外。在特洛伊战争中，他被暗箭射中脚踵而死。所以“阿基里斯之踵”一词常被用来形容“唯一的致命处”。

[注12] 马赫洛基数以数学家Paul Mahlo的名字命名，它是Mahlo于1911年首先提出的

[【逻辑引擎】注1] 通俗地讲，你可以认为每一个序数就代表它下面按顺序排列的所有比它小的序数的序列。例如序数3就代表 $(0,1,2)$ ，序数 $\omega$ 就代表 $(0,1,2,3...)$ ，序数 $\omega+1$ 就代表 $(0,1,2,3...,\omega)$

[【逻辑引擎】注2] 这段话有点晦涩，我稍微解释一下。乌龟试图向阿基里斯说明，即便是看上去非常恐怖的序数 $\omega^\omega$ 里面的横档的“数量”跟自然数也是完全相等的，可以给其中每一条横档都赋予独一无二的自然数编码。具体怎样做呢？序数 $\omega^\omega$ 的画中的每一条横档对应的序数都形如： $\omega^k a_k + ... + \omega^2 a_2 + \omega a_1 + a_0$ ，其中 $a_k$ 是自然数，可以对每个这样的序数赋予一个独一无二的自然数编号： ${p_k}^{a_k} \times ... \times 5^{a_2} \times 3^{a_1} \times 2^{a_0}$ ，其中 $p_k$ 是第k个素数， $p_0=2,p_1=3,p_2=5,...$ 。现在每一个横档都有了一个独一无二的自然数编号，跟自然数之间就建立了一一对应关系，因此也就证明了 $\omega^\omega$ 这幅画里面的横档数量仍然是可数的。

[【逻辑引擎】注3] 在通常的集合论公理系统ZFC中无法证明这么大的基数的存在性，必须引入断言大基数存在的公理。但这是否跟ZFC相容，根据维基百科直到最近（2006）也无人知道，只知道断言大基数不存在的公理跟ZFC相容。特别巨大的大基数Reinhardt cardinal，已经被证明跟ZFC+j或NBG+AC不相容，而是否能跟ZF+j或NBG相容，根据维基百科直到最近（2006）也无人知道。

【逻辑引擎】维基百科相关条目参考链接：

Large countable ordinal

Church-Kleene ordinal

First uncountable ordinal

Limit cardinal