对一道关于三扇门赌局的概率问题的解答

善科问答上提到了一道多年前曾经引起了广泛关注的概率问题,这个问题已经被很好解决了,但可能很多人并不清楚完整的解答,甚至多年来仍然坚信当年他所认定的某个答案。

以下是善科问答上的原文引用
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玛丽莲(Marilyn vos Savant,维基链接)是迄今为止最高智商的吉尼斯世界纪录保持者,她出过一道“羊和汽车”问题,曾引起美国公众的广泛关注:

假如有三扇门,其中一扇门后是一部汽车,另外两扇门后各有一头山羊。你的任务是选中那扇有汽车的门(选中就能开回家啦)。当你随机选择了一扇门,这时主持人在剩下两扇门中打开一扇后面有羊的门,并问你:“为了有较大的机会赢得汽车,你是坚持原来的选择、还是改选另一扇门呢?”

你会怎么决定呢?改选与否对你最后赢得汽车的概率有何影响呢?
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这道题是一个引人思考的好问题,但由于题目条件不足所以是个错题。

主持人行为的策略对题目结果有至关重要的影响,但该题目中你完全无法确定主持人的策略,所以也无法确定换选得车的概率。

主持人的可能策略:
1.无论你是否选中车,他都会打开另一扇没车的门。(此时换选就是2/3得车)
2.只要你没选中车,他就会打开另一扇没车的门。(此时换选就是100%得车)
3.只要你选中了车,他就会打开另一扇门。(此时换选就必然没车)
4.以上策略的概率混合策略……(根据不同的混合,换选会有不同的概率得车)

如果你完全不能判断主持人的策略,那么事实上你也不能完全确定换选之后得车的概率。

许多稍微接触过一点概率论的同学往往会有如下错觉:即便不能明确预言结果,计算可能结果的概率总是可能的。
这个直觉完全是错的,如果你不能事先确定问题的概率模型,那么你根本就无法对可能结果的概率做准确计算。
而上述这个问题中主持人的策略是概率模型中不可或缺的部分。

当然,你可以根据先前主持人的行为或其他信息对主持人会采取哪种策略的可能性进行估计,当你对此作出了估计之后,就可以对这个问题建立概率模型了。

事实上,对概率论的肤浅理解在许多时候会导致荒谬的结果。例如某些贝叶斯主义者会利用贝叶斯公式估计上帝存在和不存在的概率。事实上,如果你想要用贝叶斯公式和样本数据来估计某件事情发生的概率,首先要求这个时间的发生确实有一个明确的概率p,只是你事先并不知道这个p等于什么,只能通过样本数据对这个p做统计估计。但你能说上帝存在这件事情具有某个明确的概率p么?这是什么意思?难道你的意思是说:在每一个采样时刻,上帝存在的概率是p,不存在的概率是1-p,于是某些时刻做采样时上帝刚好存在,另一些时刻做采样时上帝刚好不存在,于是只要积累足够多的样本,我们就能越来越可靠地估计出在每一次采样时上帝存在的概率了?

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