其实我既不需要婚姻,也不需要爱情

6fe7349fjw1emcon5gi8nj20hq0dwq55(Muscle girl: Carol Saraiva)

不是说捆绑交易有什么不对,当然可以将你愿意提供的东西都捆绑起来,去找人换取一捆你想要得到的东西。通常,这两捆东西结构越复杂,就越难找到刚好愿意跟你交换整捆东西的人。而且,人们往往为获取对方的某样东西而谎称自己那捆包括了对方想要的全部,甚至经常连自己都骗了。

有人问我是否相信爱情和希望(如果没理解错,意思是相信·真爱·可以带来持久的幸福,相信自己有希望赢得·真爱·)。我的回答是:我相信,但我已不再需要。我也相信中头彩可以衣食无忧,相信只要买彩就会有希望中,但我真的不会指望那些。不非得交换那捆东西,我照样可以过得很开心。

肉体独占、哺育后代、陪伴娱乐、关心照顾、生活保障、维系亲友……经常出现在各种爱情观之中。只要不被生活圈中的主流价值观排斥,人们经常把自己试图通过性关系获取的一切都打包加入自己心中的“真爱”概念,并且千方百计地赋予这种自定义打包概念以神圣地位,反复自我洗脑并洗脑别人。

虽然主流婚恋价值会把一大堆与sex无关的东西跟sex打包到一起称为“真爱”,将不包含其他目的单纯为解决生理需求的sex斥为肮脏下流不道德,但另一方面却又试图排斥将某些东西跟sex打包,比方说不能赤裸裸地直接跟金钱和权力打包,只能自欺欺人地用生活保障或安全感之类的同义词替代。

把某些真相说出来就会遭人记恨。特别是那些正对爱情抱有烂漫幻想的,正处于热恋中坚信这瞬间将是永恒的,正因对方不负责任而受伤却无处宣泄的,正试图向子女灌输“正确”婚恋价值谎言的……大都会对我怒目而视吧。其实承认事实和逻辑并不会让你认知失调,认知失调是因为蠢。

我早已了解关于婚姻和爱情的上述真相,却曾经很不了解自己。离过两次婚才明白自己既不需要婚姻,也不需要爱情。除了sex,对方能提供的东西对我来说要么可有可无要么有其他更方便途径获取,如果对方非常看重这些反而会以公平为理由对我提出更多要求。而激情消退后我也会不愿再为sex而为对方太多操心。

这里所说的“爱情”是许多人心目中那种脱离了低级趣味的捆绑了各种责任的神圣概念,热恋中的激情这种动物般低等的情绪就完全配不上“爱情”这么高端神圣的称号了,至少完全算不上“真正的爱情”。所以,我不但不需要婚姻,连这种高端神圣的“爱情”也都并不需要。

What I need is just sex mates, who could be my friend, but not girl friend, no bundling. It’s just my personal choice, may not be suitable for others. In a world full of daydreamers of love, cheating is almost always an easy choice, but I’m tired to do so.

PS:

有人说婚姻制度是为更好哺育后代,但事实上婚姻制度完全是在限制个人选择自由。人们可以自行制定共同生活协议,为提高效率也可以提供若干常用的协议模板供自愿按需选择或修改。这对想哺育后代的个体而言显然比粗糙的统一法定婚姻制度更有利。但这在婚姻和爱情被严重神圣化的脑残社会中可能难以实现。

有人说婚姻和卖淫的区别仅仅在于一个批发一个零售,其实这种观点也很愚蠢。卖淫也可以批发,但这显然仍然跟婚姻不同。婚姻跟卖淫一个关键区别是,婚姻总是捆绑交易,双方供需通常很难匹配,而卖淫却比婚姻单纯得多,一个愿用钱换sex,一个愿为钱而sex。注意,我这里没有任何贬低婚姻抬高卖淫或反之的意图。

对我而言最理想的关系是双方都因觉得对方sexy而完全自愿地have sex。当然这对于男人来说并不容易,因为一方面女人的性需求通常没有男人那么急切,另一方面也有大批男人愿为自己包括sex和繁殖在内的多种需求而满足女性的各种其他需求。所以如果自己没有特别吸引女性之处,想要女人就必须付出其他代价,要么降低要求,要么花钱,要么花精力甚至结婚。

【转】不同寻常的数

(转载者)【逻辑引擎】简序:虽然关于超限数的一些理论(特别是大基数)遭到某些直觉主义者或构造主义者的诟病,但对我个人而言,如果非要让我在我所有的知识中挑选出唯一一种美到令我窒息的东西,那就是超限数。这是疯子数学天才康托尔(Georg Cantor)开启的通往无穷地狱的神奇窗口。对我而言,超限数比任何疯狂的幻想小说都更加疯狂。你一旦进入了这个浩瀚的世界,就会发现自己所知道的一切,甚至是自己最为疯狂的幻想,都是无限微不足道的。相比于原则上不受任何限制可随意创造甚至连逻辑含混不清自相矛盾都可容忍的幻想小说设定,超限数却是在绝对严格地遵守最苛刻规则的同时,又绝对无限地突破任意强大的智力能够触及的极限。即便是强大到能创造整个宇宙的造物主,拥有对人类而言真正无穷大的计算能力,在超限数的层级上充其量可以比我们多走一点点。而在超限数这个浩瀚的世界中,多走这一点点只不过是无限微不足道的进展。仅凭这一点,我就愿意用一生去欣赏它。

虽然本文是一篇很不错的科普,但真的想要通过本文体会到超限数的美妙之处,还是需要读者对此多少有所了解,否则可能会对超限数这种奇异的数学结构感到莫名其妙。

如果读者居然能硬着头皮把文章看完,哪怕最终像文中阿基里斯一样不省人事,你也已经欣赏到了超限数的华丽皮毛。如果你居然像文中的乌龟女士一样对此乐此不疲,愿意花更多精力去了解和研究,说明你跟我一样,病的不轻药不能停,你一定会对我前面所说的话产生强烈的共鸣。

在此,“超限”感谢若干年前将法文原著翻译成中文的·异调·,这篇文章连英文版我都没找到过,没有·异调·的贡献,中文读者不知道何时才能接触到这篇如此华丽的数学基础科普故事。虽然我在看到这篇文章之前就已经对超限数的美丽感到窒息,但这篇文章让我从窒息跌入了窒息的窒息次方、窒息的窒息的窒息次方次方……的无底深渊 ;-)

最后,一切荣耀归于原作者David Madore…………Mad-ore?疯子矿?!!Cantor是个疯子,这位居然是疯子矿,难道超限数的震撼真的只有真正的疯子才能领略么?好吧,能欣赏到如此绝美的东西,我也宁愿当个疯子。

——原来在BBS上发表的译文不支持TeX公式,许多符号只好用字符替代,我此次转载将这些符号全部替换成了TeX公式。此外,我对一些引起某些读者困惑的内容加了几条新的注释。

本文链接 http://zhblog.engic.org/20141003-015609/
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不同寻常的数[注1]
原作者 David Madore
中译者 异调(原三思科学BBS网友:冷饭,留法数学博士)
法语原版

阿基里斯和乌龟正在参观一个现代艺术展览,他们欣赏着一幅除了八根水平黑色横线外一片空白的画,画的题目叫“序数8”。


序数8

阿基里斯:对你说吧,我挺喜欢绘画的。不过这,这也太过分了,这个阿列封斯·阿莱[注2]……

乌龟(好笑地):阿列封斯·埃夫伊!绰号“阿列夫伊”。阿列封斯·阿莱是个作家,不是画家。

阿基里斯(不理睬乌龟):……那幅一片空白的画,取名叫“序数0”,大概可以算是好创意。画张一根线的画,叫作“序数1”,也还过得去。接下去的“序数2”,也马马虎虎。可一直画到这里,我觉得真太夸张了。(阿基里斯不安地往右边望望,又忙恐惧地转过头来。)我说他以这为主题创作的作品可真不少哪。

乌龟:你要求太高了,阿基。这是他青年时期的作品。要是你乐意,我们往前面走走:他在往后的生涯中画了更有意思的作品。

(乌龟开始以一个令阿基里斯吃惊的速度朝前走——他几乎跟不上她的脚步。)

阿基里斯:我说,他这青年时期的作品有那么多啊,能让你走得这么快。

乌龟:当然喽。事实上有无限幅。

阿基里斯:无限幅?那我们就永远走不到头啦!

乌龟(非常好笑):我还以为听见芝诺在说话呢。你知道的,就是那个以为你永远赶不上我的哲学家。讲的自然都是些蠢话。(她走得越来越快。)在有限长的时间里做无限件事情并非不可能,在有限的空间里放上无限件东西也并非不可能。只有希腊人才会怕无限怕成这个样子。

阿基里斯(狠狠地瞪乌龟一眼):我才不怕无限呢!我只是担心这么走下去有点单调……尤其是快要走完的时候。

乌龟:别担心,有多种多样的无限。嗨!我们到了。

(阿基里斯吃惊地四下张望。他有点不太明白自己是怎么走到这里来的。在他的前面是一幅新的画,题目为“序数\omega”。画的还是水平横线。不过这次这些线越往上就排得越紧,在画的顶部,线条排得密密麻麻分不清了。)


序数\omega

阿基里斯:噢,这个就好多了。横线渐渐接近,就好像是排向一条地平线。我想它们大概有无限条吧……

乌龟:当然喽,事实上正有无限条。

阿基里斯:我记得刚听你说过这玩意,这画大概就是那个“序数”系列作品的最后一幅吧。这个\omega表示画家希望终结此主题,然后去画点别的东西的愿望[注3],这也就是那些终结于地平线的横线所象征的。我不禁想起了歌德《浮士德》中最后的诗句:“Das Unzulangliche / Hier wird’s Ereignis.”[注4]

乌龟(嘻嘻哈哈):你可真了不起啊,阿基!在你又要引用德日进[注5]语录之前,我建议你先往右边看看。

(阿基里斯听话地往右看,当他瞧见那幅题为“序数\omega+1”的画时,张口结舌。这是一幅和“序数\omega”几乎一模一样的画,差别就是在最上头多了一条线。)


序数\omega+1

阿基里斯(快崩溃了):哎呀呀呀!我早该防着这手了……要是我现在问你什么是“序数”,还不算太晚吧。

乌龟:不算晚。这并不难:一个序数,就是一架梯子。

阿基里斯:看看这些一级一级可怕的小杠杠,我早该明白这事了。就这么多?

乌龟:这是一架你可以无限地向上迈的梯子。但是有条最最基本的规矩,就是谁都不能无限地向下迈。

阿基里斯:我好像又糊涂了。

乌龟:这很简单。无论你选中梯子上的哪级横档,然后踩住它下方的某一级横档,这样就是往下迈一次,然后再这么往下迈一次,一直这样走下去……结果你总会在有限的步数里走到最底下。比方说,在我们的序数\omega里,那些横档从下到上编号为0,1,2……等等(也就是说以自然数编号):要是你想无限次地往下迈,你就得找到一个无限长的、严格递减的自然数序列,可这是不可能的,因为你最后总归会碰上0。相反地,你可以无限次地向上迈,比方说0,1,2,3……,或者1,2,4,8……号,或者其他别的什么横档的序列。要是你把这画头朝下挂反了,那就不是一个序数了,因为那时你可以无限地往下迈。

阿基里斯:这么听起来,好像还不算太复杂。

乌龟:别自以为是了!序数是通往数学天堂的梯子,懂得它们,就可以算是有点懂得了全部数学。我说过的那条规矩,看起来好像挺简单的,可正是它给予序数所有的力量。对于某些复杂得可怕的序数来说,意识到不能无限地往下走这点,是可以让人震惊不已的。

阿基里斯(被吓住了却还有点嘲笑的口气):哇!数学的秘密全在一架梯子的顶上!可这些序数有什么用场呢?

乌龟:用场大得很。首先,我们可以对它们做加法:要把两个序数\alpha\beta加起来,我们只需把\beta的梯子放在\alpha的梯子上面。我们把它写成\alpha+\beta

阿基里斯(洋洋得意):\omega+1就是这么来的,我们把序数1,也就是只有一级横档的梯子,放在梯子\omega顶上。

乌龟:就是这样。“加1”,也就是在一架梯子顶上加上一级横档这种特殊情况,我们叫它为取一个序数的“后继”。

阿基里斯:于是\omega+1就是\omega的后继喽。因为要是我把\omega+1顶上的那级横档去了,就又得到\omega。同样地,\omega+2\omega+1的后继……可是,哎呀你说,\omega这东西,它是什么东西的后继啊?是\omega-1的后继?

乌龟:不是的。没有\omega-1这种东西。\omega不是任何序数的后继,因为你不能去掉它的最上面那一级横档:那根本就不存在。在每级横档的上面,都还有另一级,所以没有最上面的那级。那些和\omega一样的,不是其它哪个序数的后继的序数,我们把它们叫做“划限序数”,其他的序数我们则称为“后继序数”。要注意这和有限无限没关系,\omega+1是无限的,但是它是后继序数,因为它有最顶上的那级横档;而0呢,它是没横档的梯子,是有限的,却是个划限序数,因为它一级横档都没有,就别提最顶上的那级了。

阿基里斯:我不能去掉最上面的那级横档,可我总能在其他随便什么地方去掉一级吧。比方说,最下面第一级。在\omega里,最下面的那级横档还是有的。

乌龟:当然啦,无论什么序数都有最下面的那级横档。要是没有的话,那么任何一级横档下总会有其他横档,这样就可以无限地往下走了,但这是不被允许的。唯一的例外,就是0。另外,一架梯子上的最下面第一级横档叫0号横档,第二级叫1号横档,等等。序数的每级横档,它们本身就是序数,它们恰好就是小于整条梯子序数的那些序数。比方说,\omega的横档,恰好就是所有自然数;而\omega+1的横档,就是所有自然数,再加上最后一级横档,也就是横档\omega\omega+2的横档,就是所有\omega+1里的横档,再加上一级名叫“\omega+1”的横档。

阿基里斯:我不知道跟没跟上你说的话。要我说,两个序数里面总有比较大的一个,这事情就已经不是那么显然了。

乌龟(不容置疑地):这不是那么显然,可这是个事实。两个序数之间总可以比较大小。任何一个序数就是一架梯子,它上面的横档恰好由比它小的那些序数来编号[【逻辑引擎】注1]。

阿基里斯(不知所措):你说了这些,还是没回答我原来的问题啊。要是我把\omega最下面那级横档去掉,我就得到了一个小一点的序数……

乌龟:不对。你得到的还是一模一样的东西。从\omega下面去掉一级横档不改变任何东西,只要把横档的编号换一下就可以了(1号横档改名为0号,2号改名为1号,如此这般)。这序数还是\omega,它没有减小。

阿基里斯:这可真难以置信!我去掉一级横档,可剩下来的还是和原来的一样多!

乌龟:不仅仅是和原来一样多,而且它们的排列方式也和原来的一样。你要是在最下面加上一杠也是一回事。

阿基里斯:可你说过\omega+1\omega不是一回事……

乌龟:这是对的。可是在最下面加一杠,那是1+\omega,而它,却和\omega是一回事。

阿基里斯:等等!你是说1+\omega=\omega,而\omega+1>\omega喽?我要是在最下面加一杠,横档还是和原来一样多;我要是在最上面加一杠,横档就变多啦!到底是你脑子有病还是我脑子有病?

乌龟:谁的脑子都没病。不过你说的不是太正确。1+\omega=\omega而且\omega+1>\omega,这是对的,但是这不等于说\omega+1上的横档要比\omega上的多。一个序数,可不是简单的一堆杠杠:这是一堆以某种形式排放的杠杠。要是你把这些杠杠搞乱了,你就丢掉了序数,剩下的只是某种叫“基数”的更含糊的东西。这种情况下,\omega\omega+1就没区别了,其实就算和\omega+1729也没区别:所有这些序数里的横档的数目是一样的,也就是基数相同,大家一般叫它\aleph_0[注6]。不过这和它们作为序数时有区别这点并不矛盾。

阿基里斯(厌倦地):好,就算你说得对吧。我建议我们继续参观作品\omega+2\omega+3和它们那一伙吧,我可以想像它们都长得很象。还有啥?就完了?

乌龟:完了?想得可真荒唐。你跟着我就是了。

(在超空间中再次小小一跃后,阿基里斯和乌龟站在了一幅题为“序数\omega 2”的画前。)


序数\omega 2

阿基里斯:哈哈!这是一个\omega叠在另一个\omega上啊!我猜这就是为什么这个序数叫\omega 2吧。它不就是\omega+\omega吗?

乌龟:对极了,华生!多敏锐的观察力啊![注7]事实正是如此,我们有\omega 2=\omega+\omega。另外,\omega 2表示我们把序数2的(两根)横档的每一根都替换成序数\omega的一个拷贝。

阿基里斯(被迷住了):嗨,我说,这么多杠杠,可真有好些啊!

乌龟:噢,其实和刚才一模一样多。你看,\omega 2的横档是这么排列的:有第一个序列,就是老的那个:0、1、2、……,然后这个,就是新的那个:先是横档\omega,然后再是\omega+1,然后\omega+2、……。现在,假如我把这些杠杠重新排列一下,我先放上0,然后\omega,然后1,然后\omega+1,然后2,然后\omega+2,这么继续下去……那么,要是以这个顺序排列的话,我就得到了一模一样的……

阿基里斯:\omega!所以说,虽然\omega 2是一个比\omega大得多的序数,可是它们上面的横档的数目却是相同的。

乌龟:正是如此。它们有相同的基数。这两个都被称为是“可数的”。另外,2\omega\omega是同一个的序数,因为2\omega就是把\omega的每根横档都换成两根,这样做其实既没增加横档的级数,也没改变它们的排列方式。

阿基里斯(大吃一惊):是啊!这后面,又有\omega 2+1,然后\omega 2+2,然后\omega 2+3等等,然后在这一堆的后面,我想就该有\omega 3了,它就是三个\omega叠在一起。然后又是\omega 3+1等等一直到\omega 4,再往后就是\omega 5\omega 6、……这个阿列夫伊的绘画,就是这些了吧?

乌龟:你说的很有道理。不过还不能停下来。

阿基里斯:啥???后面还有东西?

(乌龟(跑够了)打了个响指(乌龟做这种事,和她能跑步一样,都很让人吃惊的),她和阿基里斯正站在一幅名叫“序数\omega^2”的画前。阿基里斯心悦诚服地陷入了沉思。)


序数\omega^2

阿基里斯:我懂了!它其实先是一个\omega,然后再在上面叠一个\omega,然后再一个,一直这么叠上无穷次。

乌龟:一直这么叠上不多不少\omega次。换句话说,把\omega的每根横档都换成一整个\omega,我们就得到了\omega^2=\omega\omega。接着呢?

阿基里斯:接着就是\omega^2+1\omega^2+2,这么一直下去就到了……就到了……

乌龟:就到了\omega^2+\omega=\omega(\omega+1),就是在\omega^2的顶上叠上一个\omega,换种方法也可以是把\omega+1的每根横档都换成一整个\omega

阿基里斯:我猜它和\omega+\omega^2不一样吧?或者说和(\omega+1)\omega不一样?

乌龟:是这样的!\omega+\omega^2简化了其实就是\omega^2。说到(\omega+1)\omega,它是把\omega的每根横档都换成一整个\omega+1,可是这个“+1”会被它上面的那个\omega吃掉,于是最后我们就重新回到\omega^2上。

阿基里斯:顺便说一下,我忘了问你……我想\omega^2,这东西,它里面的横档总比\omega里的要多吧?

乌龟:还是不对。你可以把它里面的横档重新这么排列:先是第一个\omega里的0号横档;然后是第二个\omega里的0号横档,后面紧跟第一个\omega里的1号横档;然后是第三个\omega里的0号横档,后面紧跟第二个\omega里的1号横档,再接上第一个\omega里的2号横档;然后是第四个\omega里的0号,紧跟第三个\omega里的1号,再接上第二个\omega里的2号,再接上第一个\omega里的3号;然后是第五个\omega里的0号……

阿基里斯:够啦!我啥都没听懂,不过我相信你说的,这么干就又能得到\omega。还是重新爬我们的梯子吧……\omega^2+\omega的后面,就是\omega^2+\omega+1,这么下去一直到\omega^2+\omega 2,然后就是\omega^2+\omega 3,再下去我想就要碰上\omega^2 2了。

乌龟:完全正确。这是两个\omega^2叠起来的怪物。这张就是了。(她打了个响指。)


序数\omega^2 2

阿基里斯:很简单嘛。重复上面的步骤,就有\omega^2 3\omega^2 4等等。在这后头,我想就是\omega^2\omega了。

乌龟:你学得很快啊!我们到了。它叫\omega^3


序数\omega^3

阿基里斯:这画布开始有点不够用了。看上去跟条形码似的。好,我可以猜到后面都有点什么了,有\omega^4\omega^5。喏,序数不就是这样嘛。

乌龟:不对!所有这些以后,还有\omega^\omega。(她带路到画前。)


序数\omega^\omega

阿基里斯:哎哟,这图看了叫人脑瓜疼。我啥都看不清。

乌龟:为此展览的组织者特地为那些有耐心一直走到这里的人,准备了一幅示意图:在左半边,我们看到了\omega^\omega,其中的每条横档都是我们在此之前看见的那些序数。然后,在右半边,我们只画出了代表0、\omega\omega 2等等(也就是\omega在某种意义上的倍数)这些序数的横档。很有趣的是,这样构成的梯子,它本身也还是一个序数,而且仍旧是\omega^\omega,也就是说,我们把这个序数结结实实地“除以”了\omega,结果还是得到了它本身。再后面的那些列中,是相应的\omega^2的倍数,\omega^3的倍数的那些横档。而最后,最右边的那一列,是所有\omega的指数,也就是说0、1、\omega\omega^2等等。这一次,这样构成的梯子就不是\omega^\omega了,而是\omega


\omega^\omega的结构

阿基里斯:噢,是啊,我想我开始看清楚了。不过我觉得还是有必要问问你,就是这个,\omega^\omega里的杠杠数目,要比\omega里的多吧。

乌龟:还是错了。[【逻辑引擎】注2]我给你举一种依次罗列\omega^\omega中横档的方法:首先我们有数列1、2、3、……然后把所有这些数作素因子分解:1=2^02=2^13=3^14=2^25=5^16=2^1\times 3^1等等。然后我们可以推出,对\omega^\omega的任何一条横档:2的次数对应着最后的常数,3的次数对应着\omega的倍数,5的次数对应着\omega^2的倍数等等。最后,这就给定了一个次序:0、1、\omega、2、\omega^2\omega+1\omega^3、3、\omega 2\omega^2+1……等等。按照这个方法,这个序列里有\omega^\omega的所有横档,只不过次序全打乱了,可无论怎么说所有横档都在里面。

阿基里斯(精疲力尽):我投降!

乌龟:我们可以在这里看见序数还有另一个有趣的性质,也就是它的共尾性。

阿基里斯:哦,这是什么东西?

乌龟:这是兔子眼里的序数。

阿基里斯:兔子?这干它们什么事?

乌龟:它们在爬梯子的时候也是蹦蹦跳跳的。所以它们可以一蹦就跃过许多横档——事实上想跃过多少就跃过多少。就象我们现在参观这个展览时做的那样。它们试着要一直蹦到梯子最上头。兔子可以在序数的每根横档上都踩一次,如果它这么做,它就得跳恰好和这个序数一样多的次数。在\omega这种情况下,它也可以只跳在偶数号的横档上。可是无论怎么跳,它还是得跳\omega次才能跳上梯顶。因为比\omega少就意味着跳有限次,这意味着它只跳过了有限条横档,可是只跳过有限条横档是不能够爬到\omega的最上头的。但是对于\omega+1(其他后继序数也一样)来说,它可以一下就跳在最后那根横档上。所有有自尊心的兔子都会这么干的,因为兔子很懒。[注8]

阿基里斯:为了爬\omega^\omega这个梯子,懒兔子会怎么干呢?

乌龟:它会跳在1、\omega\omega^2等等那些\omega的指数上,也就是示意图右边那列表示的序数。按这个方法,它们只要按照爬一架\omega模样的梯子,就能在\omega^\omega这梯子上爱爬多高爬多高。因为这是最佳的爬法,我们就说\omega^\omega有共尾性\omega。我们前面碰到过的划界序数都有共尾性\omega(至于后继序数,我们规定它们的共尾性为1)。

阿基里斯(不再很感兴趣):我不知道兔子还懂数学。不过要是乌龟也懂数学,为什么兔子就……哎,我说,后面还有展览吧?

乌龟:当然啦。可是图画变得越来越复杂,难以看清楚。在\omega^\omega的后面,重复一遍我们前头一直到现在所做过的又长又讨厌的步骤,就可以得到\omega^\omega 2,然后再重复一次就是\omega^\omega 3,这么一直下去到\omega^\omega\omega,这也就是\omega^{\omega+1}。如果我们把产生出它的步骤重复下去,就到了\omega^{\omega+2},一直下去就得到\omega^{\omega+\omega}也就是\omega^{\omega 2}。把\omega个这样的东西叠起来就是\omega^{\omega 2+1},这么继续下去就有\omega^{\omega 3}。同样地可以得到\omega^{\omega 4},你可以这么一直重复下去。所有这些以后,就是\omega^{\omega^2}。这么继续下去,再这么继续下去,就到了\omega^{\omega^3}。这么做到底,就是\omega^{\omega^\omega}。然后,你可以叠着\omega玩:可在\omega\omega^\omega\omega^{\omega^\omega}等等这串到了底,你不能再用\omega这个符号了,这就得使用一个新符号:我们记它为\epsilon_0。一般在这个层次上的想像,会使大家开始晕头转向,有人就会以为自己是三楼楼长了[注9]。所以我们不准备去看那幅画,我害怕你会发起小小的司汤达综合症[注10]来。

阿基里斯(倒吸一口冷气):这\epsilon_0,它绝对是巨大无比啊!

乌龟:唉,兔子们总可以很快地通过踩着\omega\omega^\omega这样下去的横档跳到顶上的。所以它还是有共尾性\omega。别看它是那个模样,它仍是可数的……我们当然有\omega^{\epsilon_0}=\epsilon_0。不过我们可以考虑序列\epsilon_0{\epsilon_0}^{\epsilon_0}{\epsilon_0}^{{\epsilon_0}^{\epsilon_0}}等等的极限。这和序列\epsilon_0+1\omega^{\epsilon_0+1}\omega^{\omega^{\epsilon_0+1}}的极限是一样的。我们把它叫作\epsilon_1。同样可以定义\epsilon_2,还有\epsilon_3,然后这么一直到\epsilon_\omega。不过呢,就象你猜的那样,我们的天才画家可不只停留在这里。因为我们可以继续\epsilon_{\epsilon_0}\epsilon_{\epsilon_{\epsilon_0}}地下去,然后一直继续这个序列直到某一个序数,据我所知,还从来没有人命名过。可是它还是只有共尾性\omega,而且是可数的。

阿基里斯(精疲力竭):可是,这就永远不会完了吗?

乌龟:为什么你想让它完?为了使数学源泉枯竭,不再流淌?还有大量的可数序数……其中有一些,仅仅是由它们的存在性,就可以得出奇迹般的推论——可是我们既不能把它们写出来,也不能作计算。而所有这些,都只不过是可数序数而已,也就是说,从理论上来讲,我们都可以象我们这位天才而又疯狂的画家所做的那样,将它们画出来。可是在所有这些序数的后面,还有那些不可数的序数。最小的那个,我们叫它\omega_1,在有些古老的文献里,它叫\Omega。至于它的基数,则被记为\aleph_1,读作“阿列夫一”。这个序数从本质上来说,比我直到现在提到的那些序数都要大,包括那些有\epsilon的丑八怪。它完全是新的,因为没有兔子能够偷懒抄近路。它恰恰就是把所有阿列夫伊的画作堆积起来形成的那架梯子,也就是我们正在参观的这个展览的总长度。

阿基里斯(完全垮了):真是噩梦啊!

乌龟:是啊。我有时会看见这样一个地狱里的景象:这是一架梯子,或者说一条阶梯,看上去就如同\Omega:在顶端,有着奇妙的东西。可是我们要花上永恒的时间来攀登,我们可以爬升得和我带你看这个展览的速度一样快,可是总靠不近它的顶端。换句话说,如果你任意选择\omega_1上的横档的一个序列,它总是有上界的,也就是说总会有一级横档比你选择的所有横档都要高。就如同只用有限条横档,你不能接近\omega的顶端,只用可数无限条横档,你不能接近\omega_1的顶端。

阿基里斯(极度沮丧):这回,是最后一个序数了吧!求求你告诉我,不会再继续下去啦。

乌龟:画展嘛,就这样结束了。\omega_1是画不出来的。可这并不妨碍它存在。同它一起的,是所有横档数和它一样多的序数,那些基数为\aleph_1的序数,它们的结构要比那些可数序数(我们也称作基数为\aleph_0的序数)复杂得难以想像。也许是因为这回有了三类序数:后继序数,那些有共尾性\omega的,还有有共尾性\omega_1的。在\omega_1的后面,我们安安静静地就到了\omega_1+\omega,它的共尾性是\omega,然后重复到达\omega_1的步骤,我们就来到了\omega_1 2,它的共尾性是\omega_1,然后是\omega_1 3,这样一直到\omega_1\omega,而它的共尾性是\omega。重新沿所有的可数序数而上,我们就到达了{\omega_1}^2,它的共尾性是\omega_1,然后……

阿基里斯(嚎叫):够啦!我真受够啦!

(一个保安逼近。)

保安(对乌龟):这个坏蛋打扰您了吗,夫人?

乌龟:这不是个坏蛋,这可是个半神,马密顿之王哪。我想我大概是找到了他脚踵外另一个弱点了……[注11]我只是建议他去参观阿列封斯·埃夫尔,绰号阿列夫尔的展览。

保安:噢,是的,一提现代绘画,有些人的反应的确会是这样的。(他离开了。)

乌龟:好啦,阿基,不要这个样子嘛!你敢在特洛伊的战场上拼命,就不敢会会这个阿列夫二?再说啦,阿列夫2,这只不过是第三小的无穷基数而已。

阿基里斯(气若游丝):你在说什么?

乌龟:就是这样啊,这些我刚刚列举的序数,只是\omega_2的横档而已,它是基数大于\aleph_1的最小序数。我们把它的基数记为\aleph_2。在\aleph_2的后面有\aleph_3,这样一直下去直到\aleph_\omega。这\aleph_\omega有个很好玩的事,它是奇性的,也就是说它的共尾性要比它自己小,那就是\omega,因为虽然它大得很,但是兔子可以先跳在\omega_1上,再跳在\omega_2上这么一直跳到\omega_\omega的顶上。然后就是\aleph_{\omega+1},我们可以一直这么列下去到\aleph_{\omega_{\omega_\omega}},而且还可以一直列下去,最后就碰上了序数\alpha,它是满足\alpha=\aleph_\alpha的最小序数。它仍旧有共尾性\omega。我还要和你谈谈不可及基数,它们比我刚才讲的所有那些基数都要大得多,因为数学家甚至都证明不了它们是否真的存在[【逻辑引擎】注3]……而这些,当然都只能算是“大基数”中最小的那些。(一声巨响。可沉醉于演讲的乌龟根本没有注意到。)不可及基数和小的无限基数相比,大约就和无限基数和有限基数相比那样。然后还有超不可及基数,超超不可及基数,等等等等。可是所有这些基数和马赫洛基数[注12]比起来就只是小不点了。在一个马赫洛基数的上面,还有不可及基数,而它们的数量和所有基数的数量还是一样多。这些基数,都只是“小的大基数”,因为还有“大的大基数”,象可测基数,还有……(她突然停了下来,意识到已经根本没有人在听她说话。)阿基!(她担心极了)你昏过去了!阿基!

阿基里斯(缓缓醒来):我看见了地狱……我就在一架梯子底下……

译者注:

[注1] 原题为“Des nombres peu ordinaires”,这里ordinaire一语双关,既指“寻常”,又和“序数”(ordinal,原意为“表示顺序的”)一词相近。以阿基里斯和乌龟这两个芝诺悖论的主角的对话形式来介绍数学主题,尤其是关于无限的主题,似乎是候世达在其名著《集异壁》里的发明。在中文版《集异壁》中,乌龟是个男性的角色,因为阿基里斯总以“龟兄”来称呼,而法文版中乌龟却是女性角色,因为乌龟(La Tortue)在法文中为阴性。本文原文为法文,故译文保持乌龟的女性形象。阿基里斯又译为阿喀琉斯,是古希腊神话中马密顿国王佩琉斯和海洋女神泰提斯的儿子,半人半神的伟大英雄。

[注2] 阿列封斯·阿莱(Alphonse Allais,1855-1905),法国作家。

[注3] \omega是希腊字母的最后一个字母,代表终结。如《新约·启示录》中说:“我是阿拉法、我是俄梅戛、我是首先的、我是末后的、我是初、我是终。”(启22:13)阿拉法即\alpha,希腊字母中的第一个,俄梅戛即\omega

[注4] 德语,意为“不可企及者,在此事已成。”

[注5] 德日进(Pierre Teilhard de Chardin,1881-1955),法国思想家,地质学家和古生物学家、天主教耶稣会修士,著作中有关于无限和永恒的论述。

[注6] \aleph是希伯莱文的第一个字母,读作“阿列夫”;\aleph_0就读作“阿列夫零”,其他下标也以此类推。

[注7] 这是乌龟在学神探福尔摩斯的口气半开玩笑地称赞阿基里斯。

[注8] 这里乌龟显然想起了龟兔赛跑的故事。

[注9] 原文直译是“以为自己是拿破仑”,法文俗语,即不知道自己的斤两,脑子有点疯了。这里引用电影《大腕》里的笑话翻译。

[注10] 司汤达综合症是指由于欣赏艺术作品而引起激动情绪后的身体不适,以法国作家司汤达的名字命名。

[注11] 按古希腊神话,当阿基里斯还是婴儿时,他的母亲忒提斯曾握住他的脚踵,倒提着将他在冥河水中浸泡过,使他全身刀枪不入,只有被捏住的脚踵是个例外。在特洛伊战争中,他被暗箭射中脚踵而死。所以“阿基里斯之踵”一词常被用来形容“唯一的致命处”。

[注12] 马赫洛基数以数学家Paul Mahlo的名字命名,它是Mahlo于1911年首先提出的

[【逻辑引擎】注1] 通俗地讲,你可以认为每一个序数就代表它下面按顺序排列的所有比它小的序数的序列。例如序数3就代表(0,1,2),序数\omega就代表(0,1,2,3...),序数\omega+1就代表(0,1,2,3...,\omega)

[【逻辑引擎】注2] 这段话有点晦涩,我稍微解释一下。乌龟试图向阿基里斯说明,即便是看上去非常恐怖的序数\omega^\omega里面的横档的“数量”跟自然数也是完全相等的,可以给其中每一条横档都赋予独一无二的自然数编码。具体怎样做呢?序数\omega^\omega的画中的每一条横档对应的序数都形如:\omega^k a_k + ... + \omega^2 a_2 + \omega a_1 + a_0,其中a_k是自然数,可以对每个这样的序数赋予一个独一无二的自然数编号:{p_k}^{a_k} \times ... \times 5^{a_2} \times 3^{a_1} \times 2^{a_0},其中p_k是第k个素数,p_0=2,p_1=3,p_2=5,...。现在每一个横档都有了一个独一无二的自然数编号,跟自然数之间就建立了一一对应关系,因此也就证明了\omega^\omega这幅画里面的横档数量仍然是可数的。

[【逻辑引擎】注3] 在通常的集合论公理系统ZFC中无法证明这么大的基数的存在性,必须引入断言大基数存在的公理。但这是否跟ZFC相容,根据维基百科直到最近(2006)也无人知道,只知道断言大基数不存在的公理跟ZFC相容。特别巨大的大基数Reinhardt cardinal,已经被证明跟ZFC+j或NBG+AC不相容,而是否能跟ZF+j或NBG相容,根据维基百科直到最近(2006)也无人知道。

【逻辑引擎】维基百科相关条目参考链接:

Ordinal number

Cardinal number

Transfinite number

Limit ordinal

Ordinal arithmetic

Cofinal

Cofinality

Large countable ordinal

Church-Kleene ordinal

First uncountable ordinal

Limit cardinal

Beth number

Regular cardinal

Large cardinal

List of large cardinal properties

Measurable cardinal

Inaccessible cardinal

Mahlo cardinal

Rank into rank

Reinhardt cardinal

Extendible cardinal

Supercompact cardinal

Reflection principle

Vopěnka’s principle

Huge cardinal

Dehornoy order

Stationary set

上海交大暑期邀请著名美籍华裔理论物理学家 徐一鸿(Anthony Zee)教授讲量子场论。

Anthony Zee

Quantum Field Theory in NutshellFearful Symmetry

上海交大暑期邀请著名美籍华裔理论物理学家 徐一鸿(Anthony Zee)教授讲量子场论。共8节大课,每周2节,共4周。欢迎想要学习量子场论的老师和同学参加讲座,需要较好的高等量子力学预备知识。外校人员请自行安排食宿。

徐一鸿教授目前就职于凯维里理论物理研究所(Kavli Institute for Theoretical Physics)和加州大学圣芭芭拉分校(University of California, Santa Barbara)物理系。

徐一鸿教授著有“Quantum Field Theory in Nutshell”(果壳中的量子场论)、“Einstein Gravity in a Nutshell”(果壳中的爱因斯坦引力)以及科普著作“Fearful Symmetry”(可怕的对称,有中译本)、“An Old Man’s Toy”(老人的玩具,有中译本)等。

课程安排:

果壳中的量子场论——起始编
Quantum Field Theory in Nutshell:Starting

上课时间地点

7月1日-7月24日期间
星期二 第3节-第4节(10:00-11:45)
星期四 第3节-第4节(10:00-11:45)
上海交通大学闵行校区下院100号。

课程目标:

帮助学生初步了解量子场论的基本内容和基本方法,以及在不同领域中的应用。
This is an introduction course on quantum field theory. Quantum field theory is a particularly essential tool when studying quantum mechanics in a relativistic context; it is the central framework that particle physics is built around. But it has also found applications in other contexts, including condensed matter physics and gravitational physics, even in biology. (Our modern understanding of cosmology, for instance, relies crucially on quantum field theory.) Although we will mostly study applications to particle physics in this class, the topic should be interesting and useful for all physics related students.

课程大纲:
(章节对应“Quantum Field Theory in a Nutshell”)

Lecture 1: Who needs QFT? Path integral, from field to force.
Lecture 2: chapters I.5-6, I.7
Lecture 3: chapters I.7-I.9
Lecture 4: chapters I.10, II.1
Lecture 5: chapters II.2-5
Lecture 6: chapters II.6-7
Lecture 7: chapters III.1-3
Lecture 8: chapters IV.1, IV.6

教材及参考资料:

Quantum Field Theory in a Nutshell: (Second Edition) A. Zee, Princeton University Press (国内有英文影印版)

英文授课。

自然数的Peano公理系统

下面是不引入集合概念的Peano公理系统。由于不引入集合概念,所以归纳公理必须使用二阶逻辑,对任意属性谓词进行量化。

先引入相等关系(同一关系)的定义:
eq0.\forall a. a=a 自反性(reflexive)
eq1.\forall a,b. a=b \Rightarrow b=a 对称性(symmetric)
eq2.\forall a,b,c. a=b \wedge b=c \Rightarrow a=c 传递性(transitive)
eq3.\forall P,a,b. a=b \Rightarrow (P(a)\Rightarrow P(b)) 相等则具有相同属性。

利用上述相等关系定义,这里给出不依赖于集合论只基于二阶逻辑的自然数Peano公理:
n0.N(0) 0是自然数
n1.\forall a. N(a) \Rightarrow N(S(a)) 自然数的后继也是自然数
n2.\forall a,b. N(a) \wedge N(b) \Rightarrow (S(a)=S(b) \Rightarrow a=b) 仅当两自然数相等后继才可能相等
n3.\forall a. N(a) \Rightarrow \sim 0=S(a) 0不是任何自然数的后继
n4.\forall P,a. P(0) \wedge (N(a) \Rightarrow (P(a) \Rightarrow P(S(a))) \Rightarrow (\forall b. N(b) \Rightarrow P(b)) 归纳公理的二阶逻辑版本。对于任意属性P和任意自然数a,如果【a)0具有属性P,b)只要a具有属性P则a的后继也具有属性P】,那么任意自然数都具有属性P。如果引入集合概念就可以只用一阶逻辑。

【专栏文章】智能机器将取代甚至消灭人类?——《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载

《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载
2014.06B
作者:逻辑引擎
编辑:波音

几百年来,由机器创造的工业奇迹一次又一次地颠覆了人们对机器的传统看法。今天的许多机器已不再是冰冷粗笨、发出隆隆吼声、完全由人类控制的金属怪物了,而是灵活机动,早已渗透到了生活的方方面面。

今天的机器能在无人监督的情况下独立完成复杂任务(如汽车自动驾驶),自动搜集信息,改进行动策略,甚至可以在某些智力(如下棋、证明定理)或敏捷性(如打乒乓球)的比拼上跟人类的最佳选手对抗,这种案例近年来正在越来越频繁地涌现。

虽然如此,仍然有很多人坚信机器不可能产生智能,认为机器的行为完全取决于人类预设的指令。可是让我们想一想,人的行为难道不是完全取决于大自然预设的指令吗?

今天的智能机器拥有复杂的内部状态,在外部条件完全相同的情况下,机器仍然可能因内部状态不同,而做出不同的反应行为,甚至可以在跟环境互动的过程中,不断更新自己的知识库,改进自己的行为策略。对于这样的机器,即便是机器的设计者都无法预测它的行为。

更多深入的探讨留给哲学家们打口水仗,今天我们就假设机器能够产生智能,聊聊智能机器时代人类的命运。

如果机器有一天真得强大到能控制人类的地步,那么这些机器不但要像动物一样,具备自主的行动意愿和一定的智力,而且还要形成相当规模的群落,具有类似生物那样的繁殖遗传和变异的能力,形成生存竞争的生态系统。

如果真的到了这一天,机器跟今天的人类相比,可能确实会有无与伦比的优势。因为智力的强化对它们而言轻而易举,知识的学习和积累也变得几乎无需成本。今天的人类对于这样的强大机器而言,可能确实没有任何特殊的优势。

但我们真的需要担心被机器控制么?

虽然我并不是一个乐观主义者,但我认为下面这种情况才是最可能发生的:

远在机器控制人类那一天到来之前,人和机器间的界限就已经非常模糊了。连脑子得病或老化萎缩,都可以用人工神经网络进行持续不断地修补、替代,甚至可能从一出生人就跟超微机械共生了,由超微机械对身体损伤进行修补治疗。到了这样的时代,谁还能说清楚自己到底是人还是机器?

这种情况下,在一个年纪很大的老年人身上,可能包括大脑在内都不再是原装货了。

到了那样的时代,如果有人号召大家,防止机器奴役人类,其他“人”都得好好掂量掂量自己到底算是机器还是人。那些拒绝融入时代而选择原生态生存策略,保持自身纯种的人类个体,在那个时代必然被社会边缘化,因为人跟机器的融合意味着有了更长的寿命(甚至永生)、更好的生活质量、更高超的心智、更强大的体能……如果纯种人类真的要为自己的血统信仰而跟智能机器(人)开战,就不仅要对付机器,还要对付数量远比纯种人类更多的机器混种人类。

智能机器时代到来后,还有人类的位置么?那些强大到足以征服人类的机器本身,就是人类自身的未来。机器更像是人类的孩子,而不是可怕的魔鬼用来征服人类世界的傀儡军团。

【转】1927年第五届索尔维会议

图片来源:
http://zhidao.baidu.com/question/583919452.html
原始来源:
http://io9.com/5940299/twenty-nine-of-historys-most-iconic-scientists-in-one-photograph—now-in-color
文字来源:
http://www.360doc.com/content/12/0930/13/16546_238889172.shtml

1927年10月,比利时首都布鲁塞尔,第五届索尔维会议照片。彩色高清修复版。

1927年第五届索尔维会议照片彩色高清修复版October 1927 Fifth Solvay International Conference

后排左起:
皮卡尔德(A. Piccard) 亨利厄特(E. Henriot) 埃伦费斯特(P. Ehrenfest) 赫尔岑(Ed. Herzen) 德唐德(Th. de Donder) 薛定谔(E. Schrodinger) 费尔夏费尔特(E. Verschaffelt) 泡利(W. Pauli) 海森堡(W. Heisenberg) 富勒(R. H. Fowler) 布里渊(L. Brillouin)

中排左起:
德拜(P. Debye) 克努森(M. Knudsen) 布拉格(W. L. Bragg) 克莱默(H. A. Kramers) 狄拉克(P. A. M. Dirac) 康普顿(A. H. Compton) 德布罗意(L. de Broglie) 波恩(M. Born) 波尔(N. Bohr)

前排左起:
朗繆尔(I. Langmuir) 普朗克(M. Planck) 居里夫人(Maria Curie) 洛仑兹(H. A. Lorentz) 爱因斯坦(A. Einstein) 朗之万(P. Langevin) 古伊(Ch. E. Guye) 威尔逊(C. T. R. Wilson) 理查森(O. W. Richardson)

黑洞——初学者关于黑洞形成的一个常见误解

广义相对论初学者了解施瓦希(Schwarzschild)黑洞的时候往往产生这种误解:『施瓦希坐标系中黑洞形成过程以及物体落入黑洞都需要无穷长的“坐标时”,所以严格意义上的黑洞是无法形成的。』

m

墨卡托投影,地球两极被映射到无穷远。

这事儿奥本海默(S. Oppenheimer)在1939年就澄清了,世界外部任意位置悬停的观察者确实永远观查不到黑洞视界的形成,也观查不到任何物体在有限时间内落入黑洞视界。但黑洞视界之内的区域确实是存在于时空结构中的一个区域,而下落物体穿越视界时自身所经历的时间也完全是有限的。只不过施瓦希坐标系并不能连续地覆盖到视界之内的区域,这就像利用墨卡托投影(柱面投影)将地球表面投影到柱面上,那么南北两极就将被投影到无穷远,这完全是坐标系的选取造成的,丝毫不意味着地球两极在几何上跟其他地方有什么不同。这种由坐标系选取导致的奇异性被称为坐标奇点,这种奇点其实跟弯曲时空本身没有什么关系。想要同时连续地覆盖到视界内外必须变换到克鲁斯卡坐标系(Kruskal-Szekeres coordinates)或彭罗斯图(Penrose diagram)才行。

k

克鲁斯卡坐标系,连续覆盖黑洞视界内外。

p

彭罗斯图,连续覆盖黑洞视界内外。

对于一个下落物体,其自身的固有时间用施瓦希坐标系的坐标时间来衡量,会在落向视界的过程中变得越来越慢,以至于只能无限接近某个特定的值T。但这个物体自身并不会感受到这种变慢,这个时刻T对物体自身而言跟其他时刻并没有什么区别,没有任何物理机制能够阻止物体自身的固有时间越过时刻T。因此物体的世界线理应继续延伸下去,并不会在视界处中断。只要没有遭遇到无限大的密度或时空曲率(本性奇点),就没有任何物理上说得通的理由使这种延伸发生中断。如果我们把一切测地线都尽最大可能地延伸,直到遭遇本性奇点为止,那么我们就得到了所谓最大解析延拓陀的时空,而克鲁斯卡坐标系和彭罗斯图是描述这种时空非常方便的选择。

在经典广义相对论框架内,持续的引力坍塌确实能够形成黑洞,就是在上述这种最大解析延拓的意义上说的,外部悬停观察者当然不可能在有限时间内看见世界形成的事件,直到这个观察者自己也掉进去为止,但对于四维弯曲时空而言,是必须包含视界以内的区域的。一个质量足够大而体积足够小的物体,最终将没有任何力量能够抵抗引力,会持续不断地坍塌直到形成视界并最终形成奇点为止。说到形成奇点,又会引出历史上另一个持续了很多年的误解:『如果初始条件不满足完美的对称性,奇点就无法形成。就像经典力学中质点的碰撞奇点一样,黑洞奇点只是数学家追求严格性的产物,并不是实际存在的』。对于这种误解,我将在下一篇博文中澄清。

在现代物理学中,很多时候最简单的直觉往往是错的。

我在 @知乎 回答了【怎样解释「薛定谔的猫」,能让一个没有高中数学基础的人理解?】

[我在 @知乎 的回答]

我觉得这里的回答中有许多都没有正确区分『叠加态』和『混合态』。不过很抱歉,我这里并不是在回答楼主的问题,而是试图纠正许多回答中的概念混乱,很难让高中以下的读者理解。

量子力学中任何一个明确的状态(量子态)都有无穷多种方法分解为若干个状态的叠加,就好像一个向量总是有无穷多种方法分解为若干向量一样。如果一个量子态S可以分解为量子态X和Y的叠加态,可以写成S=aX+bY(a和b是两个复数系数)。再次提醒,这种分解有无穷多种方法:S = aX+bY = a’X’+b’Y’+c’Z’+… = …

到了这里,学过向量加法的同学们应该知道,S虽然可以写成X和Y的线性叠加,但S显然既不是X也不是Y,说S既是X又是Y也根本不对,甚至说S部分处于X部分处于Y也非常不合适,因为S在任何不跟S正交的量子态上都有非零的分量。事实上,S是一个跟X和Y都不同的新的量子态。如果你选取了一组正交完备的量子态作为基向量,那么任何一个量子态S都可以在这组基向量上做唯一的分解。这种正交完备的基向量组的选择也不是唯一的,有无穷多种不同的选择。

那么什么是混合态呢?如果系统明明处于某个明确的量子态,但我们却不知道具体是哪一个,只知道系统可能以一定的概率分布处于若干量子态之一,那么这种情况下我们说体系处于这若干量子态的概率混合,简称混合态。但必须明确一点,混合态不是量子态,只是若干量子态上赋予的一个概率分布。一个处于混合态的系统的实际量子态本来是明确的,只是我们不知道具体是哪一个而已,这跟前面解释的叠加态的含义完全不同。

量子力学实验中所谓的测量,就是让『被测量子体系』跟『仪器+观察者+环境』这个大系统发生相互作用。具体的测量方式会在无穷多不同的正交完备基向量组中选择一个特殊的基向量组。例如让电子通过Z方向的非均匀磁场测量电子的自旋,这种测量就会选择Z+和Z-这两个特定的自旋量子态构成的正交完备基向量组。

执行测量操作时,『仪器+观察者+环境』这个大系统跟被测体系的相互作用过程会让被测体系的量子态从其原来所处的量子态迅速演化到测量方式选择的那个特殊 基向量组中的某一个基向量上。那么测量后被测体系的量子态到底会演化到这个特殊基向量组中的哪一个基向量上呢?这同时取决于『被测量子体系』和『仪器+观 察者+环境』二者在测量之前所处的量子态。由于后者是个硕大无朋的宏观体系,其具体的量子态信息我们根本就不可能了解(就算把这个信息告诉我们,存储这个 巨大的信息也可能要占满整个宇宙,更不要说利用这些信息进行计算的难度多大了),所以我们根本就没可能明确计算测量后被测体系到底会进入测量方式所选定的 哪一个基向量上,只能做统计预测。而统计预测的规则很简单:测量后被测体系量子态进入基向量X的概率,正比于测量前被测体系的量子态S在基向量X上投影长 度的平方,这就是量子力学中的测量原理。早年人们在对这个原理的理解很糊涂,导致了波尔和爱因斯坦在这个原理的诠释上旷日持久到死都没结果的争论。后来有 人做了贝尔不等式的实验,实验结果不支持爱因斯坦关于量子力学局域性的观点,但却被大量错误地引申成了波尔战胜了爱因斯坦。事实上波尔对测量原理提出的哥 本哈根诠释在贝尔不等式的实验中根本就不涉及,该诠释不但破坏量子力学的自洽性,也跟近年来的实验结果相悖。这事儿说来话长暂且打住。

还有一件事情,做量子力学实验,通常要将被测量子体系与仪器环境的相互作用彻底隔离,相互间连热量交换都不能有,否则在测量之前被测体系的状态就已经乱掉了。虽然某些实验中如果相互作用非常微弱也可以通过一些手段纠正消除环境干扰,但尽可能地隔绝相互作用是非常重要的。隔离个把原子不长时间是比较容易做到的,目前也可以隔离病毒尺度的物体,但尺度越大就越难。但是把像猫这么大的东西跟外部环境几乎彻底隔绝,其技术难度可以说超出了我对未来科学技术最疯狂的幻想。如果不能做到几乎是完美的隔离,那么被测体系根本就不可能处于测量方法所选择的那组基向量的叠加态,也就谈不上什么薛定谔猫佯谬了。这就是为什么薛定谔猫佯谬提出之后大家始终在争论却没办法直接进行试验验证的原因(最近据说终于成功地在病毒上进行了类似实验)。接下来的讨论中我们假定光年之后我们在技术上终于能够满足上述要求了。

接下来我们就可以谈谈薛定谔猫这个思想实验了。

我们打开盒子进行观察,都可能看到些什么呢?有人觉得打开盒子可能观察到所有可能的量子态只有两个,一个是猫死了,一个是猫活着。事实上这是很严重的误解。即便是猫死了的状态,都有数不清的不同可能,例如死在一角还是另一角等等,猫死和猫活都对应很大很大一批不同的量子态。除此之外,按照量子力学,打开盒子的时候甚至可以有极小但非零的概率里面会出现一只狗,还可能没猫也没狗只有一滩水。虽然这种事情发生的概率极其微小,但量子力学并不绝对禁止盒子中的物质发生这种剧烈重组的可能性。把所有这些量子力学允许我们在打开盒子时看到的状态全算上,才构成我们测量手段所选择的正交完备的基向量组。所以,许多科普文章甚至是早期的学术讨论中认为只有『死猫』、『活猫』这区区两个基向量的说法是完全不符合量子力学的。

如果关上盒子(假设能做到很严格的与世隔绝)的时间不是特别漫长,打开盒子的时候发现里面有只狗或一滩水的可能性几乎是零,最可能看到的是对应死猫或活猫的数不清的量子态之一。但如果盒子关得太久(例如漫长到庞加莱回归周期那样的时间尺度)就难说打开时会看到什么了。

我们很关心的一个问题是,在打开盒子之前,盒内体系的量子态又会是什么呢?事实上,由于盒子中的猫和杀猫装置本身也是一个在量子力学意义上极为巨大的宏观系统,而触发杀猫装置的放射性元素也在跟这个宏观系统发生相互作用,相当于被测量,所以会在这个过程中会迅速演化到杀猫装置所选定的基向量之一:衰变或不衰变,具体演化到哪个状态取决于之前整个系统的量子态。虽然在打开盒子之前,盒内体系时刻都处于明确的量子态,但由于这个系统仍然很巨大,所以我们并没有办法对结果做出明确的预测,只能谈概率。因此在打开盒子之前,猫要么已经被杀死,要么没有被杀死,或者以极低的概率进入了某些稀奇古怪的状态,但并不会处于某种“不死不活”或“稀里糊涂”的量子态。

虽然盒内体系的量子态S是明确的,却几乎不可能刚好处于打开盒子后可能看到的基向量状态之一,而是它们的某种叠加。所以在打开盒子的时候盒内体系的量子态仍然会发生进一步的演化,但这种演化不会像许多科普书上写的那样,从某种猫不死不活的状态嗖~地演化成死猫或活猫的状态,而是从原来猫的死活本来就很明确的量子态以一定的概率分布演化到打开盒子后可能看到的基向量状态之一。而且我们还可以明确一件事儿,如果打开盒子之前盒内体系的量子态S是猫活着的某个状态,那么打开盒子之后盒内体系的量子态几乎肯定会演化到跟S在宏观上看上去几乎没有差别的仍然对应猫活着的量子态,几乎完全没可能演化到对应猫死了的某个量子态。因为对于如此巨大的宏观系统,宏观上能看出差别的两个量子态几乎是完全正交的,宏观上几乎完全看不出差别的两个量子态之间才可能会有明显的非零投影分量。

总结:
薛定谔猫在打开盒子之前并不会处于什么『不死不活』『稀里糊涂』的量子态。一个对应死猫的量子态和一个对应活猫的量子态叠加出来的量子态是一个很奇葩但并不糊涂的量子态,这样的量子态可能对应一只开膛破肚奄奄一息的猫,也可能连个完整的猫都没有。任何一个量子态都可以分解为若干量子态的线性叠加,也就是说,你现在的状态就等价于若干跟你目前状态不同的量子态的叠加,但你并不会因此感到自己稀里糊涂或不死不活。打开盒子,盒子里面的量子态会因为跟外部的相互作用而发生演化,但这个演化并不是从一种不死不活的糊涂量子态演化到有明确死活的量子态,而是从原本死活就很明确的量子态演化到宏观地看上去与原来极其接近的另一个量子态,演化到一个宏观地看上去与原来很不相同的量子态的概率几乎为零。

我求得的全新Einstein场方程精确解

(孙伊2013-12-20于上海交大闵行物理楼)

本文介绍我2011年求得的一个之前未见诸文献的Einstein场方程精确解,它是在远处时空渐进平坦条件下的最一般球对称精确解(注,并非真空或静态的特殊情况,可以处理任何动态非真空情况。以下简称为US解,Universal Spherical)。从US解出发可立即证明Birkhoff定理及其增强版,在静态真空无电荷情况下则立即变成Schwarzschild外部解,代入点电荷电场的能量动量张量则立即变成Reissner-Nordstrom带电球对称解(RN解)。

US解形式如下(具体推导过程请参考我的原始论文JCAP 1101:031,2011或勘误版arXiv:1102.2609):

    \[\large{ds}^2 = -f(r,t)\left(1-\frac{2M(r,t)}{r}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2M(r,t)}{r}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

    \[({d\Omega}^2 = {d\theta}^2 + {(\sin \theta)}^2{d\phi}^2)\]

其中f(r,t)M(r,t)的形式后面将给出。有些同学可能会注意到,既然能够描述任意的径向运动,为什么这个解的度规形式里却没有rt交叉项?实际上只要选择适当的坐标就可以做到这一点,不了解这件事的同学可以参考Weinberg的“Gravitation and Cosmology”第11章。

这个解的形式看上去US解的度规形式跟Schwarzschild解很相似,但是项前面多了一个系数f(r,t),且M不再是常数,表示Schwarzschild坐标系中时刻t和半径r之内的总能量(注,这种动态情况下称之为总能量可能不合适。唯一可以肯定的是这是由能量动量张量清晰定义的关于tr的函数,是否能叫做总能量并不重要。):

    \[\large M(r,t)=\int_0^r {4π \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}}\]

f(r,t)是由密度\rho和径向压强p决定的(注,切向压强p_t不独立于\rhop而被吸收掉了):

    \[ \large f(r,t) = \exp \left\{ -\int_r^\infty 8\pi\tilde{r} \left(1-\frac{2M(\tilde{r},t)}{\tilde{r}}\right)^{-1} \left(\rho(\tilde{r},t)+p(\tilde{r},t)\right)d\tilde{r} \right\} \]

聪明的同学一眼就能看出来,不带电球对称星球的外部真空区\rho(\tilde{r},t)=p(\tilde{r},t)=0,所以f(r,t)=1,由能量守恒可知在外部真空区M是常数,立即回归到Schwarzschild解:

    \[\large{ds}^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

这其实就是Birkhoff定理:无论球对称星球内部的物质有怎样的径向运动,外部真空区一定满足Schwarzschild外部解。

带电球对称星体的外部真空存在球对称静电场,该静电场的能量密度和压力分别为:

    \[\rho(r)=\frac{Q}{8\pi r^4},p(r)=\frac{-Q}{8\pi r^4}\]

于是仍然有\rho(\tilde{r},t)+p(\tilde{r},t)=0,所以也仍然有f(r,t)=1,而

    \[\large \begin{array}{ll} M(r) &\displaystyle = \int_0^r 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}\\ &\displaystyle = \int_0^\infty 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r} - \int_r^\infty 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}\\ &\displaystyle = \mathcal{M} - \frac{\mathcal{Q}^2}{2r} \end{array} \]

注,上式中的\mathcal{M},是全空间总能量,包括全空间的电场能,而\frac{\mathcal{Q}^2}{2r}是半径r以外的总电场能。

这澄清了我之前多年的一个误解:我原以为RN解中那个\mathcal{M}是不包括全空间电场能的,于是如果电荷量特别大以至于\mathcal{Q}>\mathcal{M},奇点就会裸露。现在知道\mathcal{M}是包括全空间电场能的总能量,就算带电粒子除了静电能以外的质量等于0,也不过会使\mathcal{Q}=\mathcal{M},绝不会出现\mathcal{Q}>\mathcal{M}的情况。

现在我们直接得到了带电球对称星球的Reissner-Nordstrom解:

    \[\large{ds}^2 = -\left(1-\frac{2\mathcal{M}}{r}+\frac{\mathcal{Q}^2}{r^2}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2\mathcal{M}}{r}+\frac{\mathcal{Q}^2}{r^2}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

这其实是Birkhoff定理的增强形式:无论球对称带电星球内部的物质有怎样的径向运动,外部包含电场的真空区一定满足Reissner-Nordstrom解。

当然,US解不仅能在附加条件下导出上述真空静态解以及诸如理想不可压缩流体球之类的非真空静态解,还能处理非真空区物质的任意径向运动。

我最初求US解的目的是试图处理黑洞蒸发,试图弄清落向蒸发黑洞的物体会经历什么。之前已知的所有非真空球对称精确解都是静态解,而落向蒸发黑洞的物体会置身其辐射场,而辐射场是动态的,所以之前已知的所有精确解都无法处理这种情况。我最终用US解证明只要球对称黑洞的寿命因蒸发而有限,那么无论蒸发过程多复杂,时间多漫长,广义相对论都会禁止任何物体在黑洞蒸发消失之前落入该黑洞。而作为一个逻辑结论,如果形成了的黑洞会蒸发,那么引力坍塌就无法形成黑洞。这件有趣的事以后再讲。

感兴趣的同学可以用Mathematica将US解带入Einstein场方程进行检验,Mathematica程序:BH-Code

附1,球对称条件下能量动量张量{T_\mu}^\nu的非零项:

    \[ \begin{array}{ll} {T_t}^t & = (\partial_r M)/(4\pi r^2 )=\rho\\ {T_r}^r & = p\\ {T_t}^r & = (\partial_t M)/(4\pi r^2 )\\ {T_\Omega}^\Omega & = p_t \end{array} \]

其中{T_\Omega}^\Omega = p_t是切向压力,{T_t}^r是径向能流密度(也是动量密度)

注,在球对称情况下,切向压力p_t不独立于密度\rho和径向压力p,可由\rhop唯一确定,因为切向压力和径向压力共同决定了该处物质的径向加速度。切向压力的具体表达式相当复杂。

附2,下图显示了Einstein场方程部分已知精确解之间的关系,包括我给出的US解:
!exact-solutions

黑洞,要么无法形成,要么不会蒸发。

我2011年在在JCAP上发表了一篇文章:Black hole — never forms, or never evaporates

链接: JCAP, arXiv, DOI, Scholars Portal Journals

我手中未经JCAP排版的修订版,纠正了一些笔误和语法问题:Black hole — never forms, or never evaporates

我的计算表明,如果黑洞会因蒸发而寿命有限(无论其寿命是多么不可思议地漫长),都没有任何物质能够在其蒸发消失之前落入其视界。而这样一来,只要存在蒸发机制,那么真实黑洞就会由于这种机制的存在而无法形成,理论物理学中那个信息丢失困难也不复存在,甚至经典广义相对论中的奇点疑难也会被自然地避免。

除了结论,文中还给出了Einstein Field Equation最一般的球对称解,任何(远方渐进平坦的)球对称解都是其特例,包括Schwarzschild,Reissner-Nordstrom,静态流体球,除此之外还覆盖了任何球对称的动态非真空情况。

这是验证这个最一般球对称解的Mathematica代码:!BH-Code

量子逻辑?仅仅是名字叫做逻辑而已。

有人认为量子力学是无法用『经典逻辑』刻画的,必须引入一种特别的『量子逻辑』才能准确地刻画量子现象,我将论证这是一种偷换概念式的误解。

Griffiths的“Consistent Quantum Theory”第四章对“量子逻辑”做了介绍。但在我看来,这一章在搅混水。这个“量子逻辑”中的“属性”(关于量子态的断言)以及“运算”(与、或、非)跟『经典逻辑』中的同名『属性』和『运算』根本就不是一个意思,而作者在使用“量子逻辑”的时候,将『经典逻辑』中得到的关于量子态的结论强行用同名的“量子逻辑”概念进行解释,得出『经典逻辑』不适用于量子力学的含混结论。为了强调“量子逻辑”跟『经典逻辑』并非是两种分庭抗礼的逻辑,我后面将这种“量子逻辑”全部称为“量子演算”。

在介绍“量子演算”之前,先简要介绍一下数理逻辑中的『属性』(property)和逻辑运算(包括非、与、或等)。在数理逻辑中,『属性』(property)是一个一元关系,它可以作用在论域中的任何一个变元上,返回一个真值。比方说对于实数集合而言,『大于0』『等于5』『平方小于10』等都是实数的属性。无论给出哪一个实数,该实数是否具有属性P都是有定义的。于是,对于任何一个具体的属性P,都对应实数集的一个子集:{具有该属性的实数}。反过来,随便从实数集中取出一个子集S,『属于S』刚好又是一个属性,二者是一一对应的。显然,如果子集S对应属性P,那么『S的补集』就对应属性『非P』,如果子集S、T对应属性P、Q,那么『S交T』就对应属性『P且Q』而『S并T』就对应属性『P或Q』。

接下来介绍一下这个“量子演算”,并且跟以Hilbert空间为论域的『经典逻辑』进行比较。

对于一个量子体系,其状态空间是Hilbert空间。“量子演算”规定:量子体系的一个“属性”对应Hilbert空间的一个子空间,不是子空间的子集不对应任何“属性”。这里千万要注意“量子演算”中这个所谓的“属性”,跟『经典逻辑』中的那个『属性』含义截然不同。因为子空间的补集不是子空间,子空间的正交补空间才是子空间。所以,“量子演算”中这个“属性”只是跟『经典逻辑』中的那个『属性』同名,却完全不符合『经典逻辑』中对『属性』的基本要求,除了恒真属性(对应全Hilbert空间)和恒假属性(对应0子空间)之外其他的“量子演算的属性”都对某些量子态无定义(『无定义』和『假』不一样),子空间的补集也根本不对应任何“量子演算的属性”,而子集的补集总是对应一个『经典逻辑』的『属性』。在我看来这非常误导。

在接下来的讨论中,为了防止混淆,我将把“量子演算”中所有跟『经典逻辑』中重名的概念前面都加上一个字头“*”以示区别,例如“*属性”、“*非”、“*或”等等,这样一切就会变得非常清楚:

在量子演算中,我们定义一个叫“*属性”的东西,任何一个“*属性P”,都对应体系Hilbert空间的一个子空间S,如果量子态\psi属于S,我们就说\psi具有“*属性P”,如果量子态\psi与S正交,我们就说\psi具有“*属性*非P”,对于其他即不属于S又不和S正交的量子态,我们直接规定P无定义。注意,『无定义』和『假』不一样。接下来,我们就可以对“*属性P”定义一个投影算符(projector)\hat{p},凡是属于S的量子态\psi\hat{p} \psi = 1\psi,凡是跟S中所有量子态正交的量子态\phi\hat{p} \phi = 0

但一方面,没有任何理由阻止我们直接用经典逻辑来讨论Hilbert空间中的量子态:量子态的任何『属性P』(注意,这里是不带*前缀的『属性』,特指经典逻辑中的概念)对应Hilbert空间的一个子集S,如果一个量子态\psi属于子集S,我们就说\psi具有『属性P』。显然,对于任何量子态\psi,『属性P』都有定义,要么是真,要么是假,不存在无定义的情况。

接下来,我们在『量子演算』中定义一些『演算』。

一元演算“*非”:对于任何“*属性P”,对应子空间为S,我们定义“*非P”是一个“*属性”,该属性对应的子空间刚好是S的正交补空间。显然,“*非”这个演算跟经典逻辑中的『非』完全不同,『非』对应『补集』,而“*非”对应『正交补空间』。在经典逻辑中,量子态\psi要么具有『属性P』,要么具有『属性非P』,因为『属性P』和『属性非P』对应的两个不交子集的并集就是整个Hilbert空间,任何量子态\psi都在其中。但在“量子演算”中,一个量子态\psi完全可能对“*属性P”和“*属性*非P”都无定义。

二元演算“*与”:对于任何两个“*属性P、Q”对应子空间为S、T,而且P、Q对应的投影算符\hat{p}\hat{q}对易,\hat{p}\hat{q} = \hat{q}\hat{p},那么我们定义“P *与 Q”是一个“*属性R”,R对应的子空间刚好是S和T的交集,因为子空间的交集仍然是子空间,因此当\hat{p}\hat{q}对易时“*与”恰好幸运地等价于『与』。但这里要注意一点,如果\hat{p}\hat{q}不对易,那么我们规定“P *与 Q”无意义,因此还是跟『与』有所不同。这个要求,说白了就是要求两个子空间要满足这样的要求:一个子空间的任何向量向另一个子空间投影,只能投影到两个子空间的公共子空间上,否则就规定“P *与 Q”无意义。这里提供一个直观的几何形像:三维欧氏空间中两个相互垂直且交于一条公共直线的平面满足这个要求,但两个相互斜交的平面不满足这个要求。因为两个相互垂直的平面的投影算符对易,一个平面上的向量向另一个平面投影直接会投到二者的公共直线上,而两个斜交平面的投影算符不对易,一个平面上的向量向另一个平面投影会投影到二者的公共直线之外。

二元演算“*或”:对于任何两个“*属性P、Q”对应子空间为S、T,而且P、Q对应的投影算符\hat{p}\hat{q}对易,\hat{p}\hat{q} = \hat{q}\hat{p},那么我们定义“P *或 Q”是一个“*属性R”,R对应的子空间刚好是S和T的『线性和空间』,由于『子空间的线性和空间』是两个子空间中所有向量的任意线性组合构成的子空间,所以『两个子空间的线性和』跟『两个子空间的并集』完全不同,因此“*或”演算跟『或』截然不同。此外必须注意一点,跟“*与”类似,如果\hat{p}\hat{q}不对易,那么规定“P *或 Q”无意义。

现在,我们可以执行组合运算:“P *与 *非P”这是有意义的,我们得到了『0空间』,任何量子态在该子空间的投影都是0,也就是说没有量子态具有相应的“*属性”。“P *或 *非P”也是有意义的,我们得到了『全空间』,任何量子态在全空间的投影都是其自身,也就是说所有量子态都具有相应的“*属性”。这件事情很好笑,一个量子态\psi可能对“*属性P”和“*属性*非P”都无定义,但是却总是总是具有属性“P *或 *非P”,如果你觉得这很奇怪,那我直接翻译成内积空间的说法你就全明白了:量子态\psi(Hilbert空间的非零向量)可能既不属于子空间S也不属于S的正交补空间,但\psi一定属于『S与S正交补的线性和空间』,因为这个『线性和空间』就是全空间。换言之,这个貌似跟经典逻辑『截然不同』性质,不过是内积空间中显而易见的东西。即便用经典逻辑,我们也一样能得到相同的结论:由于『S』和『S的正交补』的并集未必是全空间,所以完全可以存在量子态\psi\psi既不具有属性『属于S』,也不具有属性『属于S的正交补』,但由于『S和S正交补的和空间』是『全空间』,所以\psi必然具有属性『属于S和S正交补的和空间』。

到现在为止,我们已经可以看出来,这套“量子演算”不过就是把作为『内积空间』的Hilbert空间原本就具有的几种子空间运算『正交补、交、线性和』分别改名为“*非、*与、*或”,并且限制“交、线性和”只能用于投影算符对易的情况,凡是用“量子演算”写出来的东西都可以直接机械地翻译成Hilbert空间的子空间演算,并没有引进任何新内容。

接下来,我们看看作者用这个“量子演算”给出了什么结论:根据前面的“量子演算”规定,如果两个“*属性P、Q”的投影算符\hat{p}\hat{q}非对易,那么“P *与 Q”和“P *或 Q”就没有任何意义。举例说明:说电子的自旋“处于Sx+ *与 处于Sz+”、“处于Sx+ *或 处于Sz+”两种说法都毫无意义(注意,无意义跟『假』完全不是一回事),因为投影算符[Sx+]和[Sz+]不对易,但是“处于Sx+ *与 处于Sx-”和“处于Sx+ *或 处于Sx-”就都有意义,前者取值永远为假,后者取值永远为真。如果这件事情到此为止也就罢了,但问题是Griffiths接下来直接给出结论:说电子自旋『或者处于Sx+或者处于Sz+』是毫无意义的,问题是从书中“量子演算”出发,这些结论仅对对于“量子演算”的“自定义概念”有效,如果把“*属性、*非、*与、*或”直接当成日常语言中的逻辑连词来陈述结论,就偷换了概念。这就相当于:我规定『或』就是『整数加法』,然后告诉大家『1或1的结果是2,这是个逻辑结论』,因为里面这个“或”是我刚刚随便规定的,跟经典逻辑中的『或』没有一毛钱关系。

现在我们可以看看经典逻辑能直接告诉我们什么。由于Hilbert空间中不存在任何一个量子态,这个量子态既是Sx+又是Sz+,因此说电子的自旋『处于Sx+ 与 处于Sz+』就是一个清清楚楚的假命题。这就好像说一个实数『等于3且等于5』必然是个假命题一样,不存在任何实数满足这个条件。另一方面,说电子的自旋『处于Sx+ 或 处于Sz+』逻辑上没有任何问题,例如我让你扔硬币决定是否给电子加一段时间y方向的磁场,初始状态下电子自旋是Sx+,加一段时间y方向磁场就可以让电子的自旋变为Sz+,但你没有告诉我你扔硬币的结果,那么对我而言,电子的自旋确确实实或者『处于Sx+』或者『处于Sz+』,这么说完全有非常明确清晰的意义,没有任何问题。你可能会说,只能在一个方向上测量电子自旋,无法在两个方向上同时测量电子的自旋,如果我在Z方向上测量,就会破坏Sx+,而在X方向上测量,就会破坏Sz+。那又怎样?测量时候当然会造成破坏,但我至少可以保证电子的自旋只可能处于这两个状态之一而不处于其他任何状态,因此如果我在X方向上测量得到了Sx-,那么我就可以断定测量之前电子自旋一定处于Sz+而不是Sx+,这恰恰是我从电子的自旋『处于Sx+ 或 处于Sz+』这件事中能够直接推理出来的。

接下来,我们用一种非常直观的方式重建这种“量子演算”,跟书中所介绍的“量子逻辑”完全等价,但方式是直接建立内积空间的子空间运算到集合的子集运算的对应关系。

Hilbert空间H中,任选一组完备正交基B,B作为包含一组正交基矢的集合,其子集可以执行『交、并、补』运算。而B的任何一个子集中所有的基向量又张成H的一个子空间(很容易看出,同一完备正交基B的任意两个子集所张成的子空间的投影算符都是相互对易的),所以B的子集上的『交、并、补』运算刚好构成有B的子集张成的子空间的『交、线性和、正交补』运算。这样一来B的子集张成的子空间运算和B的子集运算之间就建立了一一对应。

通过这种对应关系,可以立即将量子演算对应到以B为论域的经典逻辑上去。此时B的每一个子集对应论域B上的一个经典逻辑属性,不引起混淆时可以用同一个符号P表示属性P和P对应的B的子集。而B的子集P中所有矢量张成的H的子空间(记为[P])则对应一个量子演算属性(不引起混淆时也记为[P])。定义:如果量子态矢量\psi属于子空间[P],称\psi具有量子演算属性[P],如果\psi与子空间[P]正交,称\psi不具有量子演算属性[P],或称\psi具有[~][P],其他情况无定义不能对\psi谈论[P]。\psi具有量子演算属性[P]意味着\psi能够被P中基矢线性组合出来,\psi具有量子演算属性[~][P]意味着\psi跟P中所有基矢正交。对于每一个量子演算属性[P],都可以定义一个对应的投影算符,该算符将矢量投影到[P]对应的子空间[S]中,在不引起混淆的情况下,我们将这个投影算符也记为[P]。在量子演算下不能对态矢Sz+谈论它是否具有量子演算属性[Sx+],因为Sz+既不属于也不正交于[Sx+],所以是无定义的。投影算符[Sx+]按定义就是|Sx+><Sx+|

如果H中两个子空间的投影算符不对易,那么无论如何不能找到一组完备正交基B,从B中选取两组基向量刚好分别张成这两个子空间。换言之,如果两个子空间的投影算符不对易,这两个子空间的运算就无法通过一组正交完备基对应到B的子集运算上去。这种情况下就不能谈论相应的量子演算『属性』在量子演算意义下的『与』『或』操作。例如在量子演算下『[Sx+]∪[Sz+]』是无意义的,而『[Sz+]∪[Sz-]』是有意义的。

这样我们对于任何一组正交完备基B都能建立量子演算到经典逻辑的等价对应,跟Griffiths书中的量子演算也是等价的。但『以基B为论域的经典逻辑』跟『以H为论域的经典逻辑』仍然有明显区别,因为B只是H的一个子集,所以许多对后者有意义的逻辑命题如果放在前者的语境中将变得毫无意义。这种情况下我们要特别避免混淆这两种不同论域的逻辑,在Griffiths书的第四章就有这种混淆。

另,繁星客栈的季候风老师指出:“量子力学的测量理论指出对可观察量的测量结果是相应算符的谱点,所以以测量结果为变量的开语句的逻辑运算就自然对应到可观察量谱集的集合运算。量子力学的谱分解理论指出,可观察量的谱集的 “交并补” 对应到投影算子的相关运算,从而对应到子空间的 “交,线性和,正交补”。” 量子逻辑可以在\hbar趋于0的极限下自动过渡到经典逻辑,因为此时相空间几乎每个点都对应到一个独立的量子态,这样相空间子集的“交并补” 集合运算就几乎可以用 Hilbert 空间的 “交,线性和,正交补” 运算来模拟。

【量子力学科普】转两圈才还原——从Bloch球面的旋转操作理解自旋1/2

一个qubit的状态可以表达为Bloch球面上一个点。不失一般性,可以选择\Hat{z}方向上的本征态\vert+\rangle,\vert-\rangle将整个Bloch球面上所有的态表达为二者的叠加:\vert\lambda\rangle = \alpha \vert+\rangle + \beta \vert-\rangle = e^{i\gamma}\left(\cos{\frac{\theta}{2}}\vert+\rangle + e^{i\psi} \sin{\frac{\theta}{2}} \vert-\rangle\right),由于全局相位不可观察,所以全局相位角\gamma就没有被表达在Bloch球面上。

(注意,这个\frac{\theta}{2}中的因子\frac{1}{2}并不神秘,因为\theta是Bloch球面上一点在球面坐标中的天顶角,该点对应的量子态在\vert+\rangle,\vert-\rangle两个分量上的归一化系数的绝对值必须是\cos{\frac{\theta}{2}}\sin{\frac{\theta}{2}},这一点在Bloch球面上稍加分析就可知道。)

旋转算子R_{\Hat{n}}\left(\phi\right)相当于将整个Bloch球面绕\Hat{n}轴旋转\phi角。简化问题并且不失一般性,我们考虑z表象下绕z轴的旋转算子:R_{\Hat{z}}\left(\phi\right)=\begin{pmatrix} e^{-i\frac{\phi}{2}} & 0 \\ 0 & e^{i\frac{\phi}{2}} \end{pmatrix}。这里面的因子\frac{1}{2}看上去有些诡异,也正是因为这个因子导致了『转两圈才还原』这种事情。

但事实上这并不奇怪,显然,这个矩阵将\vert+\rangle的相位反向转动了\frac{\phi}{2},而将\vert-\rangle的相位正向转动了\frac{\phi}{2}。这样,二者的相位差就会增大\phi,在Bloch球面上R_{\Hat{z}}\left(\phi\right)\vert\lambda\rangle对应的点刚好是\vert\lambda\rangle所对应的点绕z轴正向旋转\phi的点。也就是说,旋转操作R_{\Hat{n}}\left(\phi\right)的作用表现在Bloch球面上,就是对Bloch球面的普通旋转操作,没有任何神秘之处。

但『转两圈才还原』到底是怎么回事呢?因为这里还有一个被抛弃的全局相因子\frac{\phi}{2},这个相因子由于对单个qubit是不可观察的,所以在Bloch球面上就被扔掉了。

当我们实施旋转操作R_{\Hat{z}}\left(2\pi\right)的时候,全局相因子转动了\pi,只有转动两整圈R_{\Hat{z}}\left(4\pi\right)的时候,全局相因子才转动了一整圈2\pi对于单个qubit,这个全局相因子是完全不可观察的,因此对于单个qubit,我们根本不必关心『转两圈才还原』这回事,无论是把粒子旋转一圈还是把仪器旋转一圈,都不会发现任何可观察的差别。

但是,对于多个自旋1/2的粒子构成的体系,我们只对其中一个进行旋转操作,那么这种操作就会引起不同粒子之间的相位差的变化,这时候『转两圈才还原』这种事情才能出现可观察的效应。

以前我看Feynman或者Dirac所演示的那种『转两圈才还原』的演示实验,觉得非常不理解,因为所有这些演示都要把被旋转的东西连接到一个固定的东西上,而我们通常的旋转没有必要这样做。但现在想想这些演示是恰当的。因为如果仅仅是一个单一的qubit,旋转操作跟普通的旋转没有差别。只有当一个qubit跟某些作为背景的系统关联的时候,转动操作才会引发qubit相对于背景系统的相位差的变化,因此他们的演示应该说是非常恰当的。

【专栏文章】智商是一个标准的伪科学概念——《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载

《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载
2014.07B
作者:逻辑引擎
编辑:波音

从小到大我做过许多次智商测试,通常分数还可以,小时候还经常因为比身边的多数小伙伴们分数更高而沾沾自喜,直到有一天我认识到智商是一种伪科学概念为止。

智力是一个复杂的结构。任何用一个数字来衡量这个结构的做法都会丢失绝大部分信息,但这并不是我说智商是伪科学概念的原因。

对于不同的任务,需要的智力结构千差万别。例如短期记忆、长期记忆、空间想象、逻辑推理、计算效率、模式识别等各方面能力如何配合,才能高效地完成一个任务,这显然取决于任务是什么,不可能有统一的答案。

这就好像衡量发动机的优劣,这显然取决于你要用这个发动机干什么。你可以采用功率、油耗、价格、重量、体积、维护成本等无数个参数中的任何一种来比较,你还可以根据你对发动机的具体应用场景对这些参数做个运算(例如加权平均或其他整合方案),得出一个分数,由这个分数来判断一个发动机是否适应你的目标。但请注意,如何整合这些参数得到一个分数,取决于你准备用发动机干什么,不同应用目标下你整合这些分数的方法可能截然不同,不存在一个普适的绝对的衡量发动机好坏的分数定义。

智商就相当于衡量发动机优劣的那种分数。但智商的问题是,它被许多研究人员伪装成一种与具体的环境和目标无关的普适的智力水平衡量标准,在我看来这样去误导人就是标准的伪科学。任何一种智商测试方式,都涉及测量大量不同的能力,其中某些能力本身都是复杂结构不是单一参数可衡量的,如何将这些能力参数整合出一个分数?显然随着目标的不同本应有无穷多种整合方法,而适应一种目标的智力结构未必适应另一种目标。不存在一个标准的方案,可以普适地衡量任何人的智力结构的『优劣』。只要研究人员们坦诚这一点,承认自己用来整合各项能力参数的具体方案只能对某些特殊的目标才有效,那么把目标、场景、各项能力参数整合方案、测试结果放在一起,才构成了一个科学的事实陈述。反之如果研究人员在不指明具体测试目标的情况下告诉你智商能够衡量智力的水平,那就是典型的伪科学骗局。

事实上,那些研究智商测试的研究人员,他们都是按照他们自己所认为的重要程度对智力相关的各项参数赋予权值加权平均。无论他们做多少研究,也不可能脱离具体的目标和环境标给出一套普适的在任何目标和环境下衡量智力『优秀程度』的参数整合方法。但他们中许多人往往试图让别人以为他们能够做到或者原则上能做到,这都是有意无意的欺骗行为。

作为一个具体的例子,我在某些智商测试中能够得到160+的分数,在另一些智商测试中却只能得到110+的分数,这往往取决于测试之中有多大比例的题目涉及记忆力。我的记忆力非常差,在测试题目对记忆力要求很高的时候我的分数就会很低,反之就会很高。我有个前同事刚好跟我相反,他的记忆力超群,不用电话本就能记住上百个号码,只要你说一遍他就能记住,可我最擅长那些问题他却并不擅长。他在许多智商测试中都会得到超高的分数,比我高得多,但有一天他给我发了一个网址,说上面的题目他基本上大都做不动,而我在这套题目上却能得到160+的分数,里面没有一个问题需要良好的记忆力。他做项目经理带项目很厉害,什么事情处理得井井有条,而且技术非常全面,我则很难组织协调一大帮人协同工作,但我却比他更擅长处理一些非常困难的算法问题。

注意,智商测试所采取的实验手段本身并没有什么不科学的,但如果脱离具体的环境和任务类型抽象地说智商反映聪明的程度,就成了伪科学骗局。只有把测试目标、场景、各项能力参数的整合方案、测试结果全都放在一起,才能构成科学的事实陈述。很多科研人员在这一点上脑子都很不清醒。

解释一下扩散方程

(各向同性的)扩散方程:

    \[\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = \nabla \cdot \big[ D(\phi,\vec{r}) \ \nabla\phi(\vec{r},t) \big]\]

\phi(\vec{r},t)是某点某时刻的浓度,D(\phi,\vec{r})是某点在浓度\phi下的扩散系数。如果扩散系数D是常数,那么扩散方程退化为热传导方程:

    \[\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = D\nabla^2\phi(\vec{r},t)\]

扩散方程很好理解,方程中D(\phi,\vec{r}) \ \nabla\phi(\vec{r},t)就是(负的)扩散过程中的浓度流。某点某时刻浓度流的大小等于该点的(负的)浓度梯度乘以扩散系数。
而(负的)浓度流的散度自然就是浓度随时间的变化率。

事实上扩散方程是可以直接从连续性方程得出的:

    \[\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}=0\]

如果浓度流正比于该点的(负的)密度梯度(Fick’s law),那么:

    \[\mathbf{j}=-D(\phi)\,\nabla\phi(\vec{r},t)\]

直接带入连续性方程就给出了扩散方程。

对于各向异性扩散,浓度流的方向跟(负的)浓度梯度的方向可能并不重合,此时扩散系数就必须是一个张量,相应的矩阵是对称正定的。

    \[\frac{\partial\phi(\vec{r},t)}{\partial t} = \sum_{i=1}^3\sum_{j=1}^3 \frac{\partial}{\partial x_i}\left(D_{ij}(\phi,\vec{r})\frac{\partial \phi(\vec{r},t)}{\partial x_j}\right)\]

参见:
https://en.wikipedia.org/wiki/Diffusion_equation

万能挡箭牌集锦

万能挡箭牌集锦:

不可说:
人类语言的表达能力是有限的,有些事不是人类语言能够把握的,所以×××不可说。
破解:
就算存在不可说的事,也不等于随便什么都不可说,为什么×××是不可说的?如何判断什么可说什么不可说?

冷暖自知:
宗教这种东西,如人饮水,冷暖自知。你去按照那个理论实践了,产生了相应的心理体验,就证明了这个理论对你是有效的。
破解:
按照某理论实践产生某种心理感受,丝毫不意味着理论对心理感受的解释是有效的,仅仅意味着你照着那些实践方法使你产生了某种心理感受,这事才是有效的。
吸毒也可以造成很多心理感受,例如感觉这个世界变大或变小,这丝毫不证明『吸毒能够让这个世界变大或变小』的理论,证明的只是吸毒能让你产生这些体验。

无法否定:
并没有证据能够否定×××的存在,所以直接断言×××不存在是鲁莽的。
破解:
这话说得很对,有些强无神论者就犯这种错误,他们直接强行规定『无存在的证据』就是『不存在』,把两个含义不同的强行定义成同一个概念。
但是,没有证据的事情多了,就算×××真的存在,也有无穷多不同的存在方式,都一样没有证据。
只要你承认你所坚信的理论是无穷多种没有证据的假设中的一种,你就是诚实的。如果你拒不承认这一点,那么你就是在撒谎。

宁信其有(帕斯卡的赌注):
如果没有上帝却信了上帝并不会带来多大损失,但如果有上帝却不信就会遭到惩罚,信就会得到奖赏,所以理性的选择是信。
破解:
就算是有上帝,你怎么知道它一定赏信罚疑?你怎么知道他不会专门惩罚那些缺乏证据却非要坚信的盲目者呢?世界上有这么多不同版本的神,你万一信错了呢?
某些神还可能不允许你信其他的神,所以什么都信也照样可能会遭到惩罚。

应该这样理解:
“×××”没有错,只要将其中的x理解为A,y理解为B……
例如,认为佛教以须弥山为中心日月星辰都绕着须弥山旋转的宇宙结构理论没错,须弥山就是银河系,太阳等星辰是绕着银河系核心旋转的。
破解:
如果只是想要让“×××”变成一个有效的断言,那么你总是可以编造出某种解释使之变得成立。
所以请先说明为什么x应理解为A,y应理解为B,有什么根据。

Bernoulli’s principle,可压缩和不可压缩流体

Bernoulli描述流体无摩擦的定常流动。

对于不可压缩流体,密度是常数:

    \[{p\over\rho}+{v^2 \over 2}+\Psi=\text{constant}\]

其中
v是流线上某点的流速
p是流线上某点的压力
\Psi是流线上某点的力势(例如在匀强重力场中\Psi=g h
\rho是流体的密度
微分形式:

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

对于可压缩流体,密度随压强而改变\rho=\rho(p)

    \[\int_{p_0}^p\frac{d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

如果流动过程的时间尺度跟流体达到热平衡的时间尺度相比很短暂,流体团之间来不及充分交换热量,可以近似认为在流动过程中流体团经历的是绝热过程。对于理想气体:

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

注意,此时\rho不再是常数,而是压力p的函数

理想气体绝热过程:p V^{\gamma} = \text{constant}
其中\gamma = {C_{P} \over C_{V}} = \frac{f + 2}{f}C_{P}是定压热容,C_{V}是定容热容,f是分子自由度。
V = {M \over \rho}

    \[p \rho^{-\gamma} = \text{constant}\]

    \[p^{1/\gamma} \rho^{-1} = \text{constant}\]

    \[d(p^{1/\gamma} \rho^{-1}) = 0\]

于是我们可以针对理想气体求出Bernoulli定律的微分形式:

    \[d\left(\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}\right)+d\left(\frac{v^2}{2}\right)+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p \rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p^{1-1/\gamma} p^{1/\gamma}\rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} d\left(p^{1-1/\gamma} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} \left(1-1/\gamma\right) p^{-1/\gamma} dp+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

跟不可压缩流体的微分形式相同,但注意这里面的\rhop的函数。
由于形式上的相似,我们可以考虑在什么条件下可以近似使用不可压缩流体的Bernoulli定律对理想气体压强和流速之间的关系做近似计算。

由于我事先已经知道最终的结果跟流体中的声速相关,这里只是试图证实相关结论,所以这里先将压力和密度做变量替换为声速简化计算,最后再还原成压力。
流体中的声速:

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho}\]

理想气体绝热过程(声波的传播过程中流体各部分一般来不及充分交换热量):p \rho^{-\gamma} = \text{constant}

    \[d\left( p \rho^{-\gamma} \right) = 0\]

    \[\rho^{-\gamma} dp - \gamma \rho^{-\gamma-1} p d \rho = 0\]

    \[dp = \gamma \rho^{-1} p d \rho = {\partial p \over \partial \rho} d \rho\]

因此:

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho} = \gamma {p \over \rho}\]

    \[d c^2 = \left( \gamma - 1 \right) {dp \over \rho}\]

带入理想气体Bernoulli方程的微分形式:

    \[{d c^2 \over \left(\gamma-1\right)}+{v dv}+d\Psi=0\]

积分得:

    \[{c^2 \over \left(\gamma-1\right)} + {v^2 \over 2} + \Psi = \text{constant}\]

c_0, p_0, v_0, \rho_0, \Psi_0是某参考点上的状态参量,那么

    \[{\left( c^2-{c_0}^2 \right) \over \left(\gamma-1\right)} + {\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0 = 0\]

\Delta = {c_0}^{-2} (\gamma - 1)\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)

    \[{c^2 \over {c_0}^2} = 1 - \Delta = {\left(p \over p_0\right)}^{1-{1 \over \gamma}}\]

    \[p = p_0{\left(1 - \Delta\right)}^{\gamma \over {\gamma-1} }\]

Talor展开:

    \[p = p_0 - p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta + p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 + O(\Delta^3)\]

其中第一项

    \[p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta = \rho_0 \left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)\]

刚好是不可压缩流体Bernoulli定律给出的结果。
第二项以及后面的是相对于不可压缩流体的修正项,这里可以估计修正的大小:

    \[p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 = p_0{\gamma \over 2}{\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over {2 {c_0}^2}} + {{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2 \]

如果只考虑速度变化引起的压强变化修正量:

    \[p_0{\gamma \over 2}{{{\left( v^2/2-{v_0}^2/2 \right)}^2 \over {c_0}^4}}\]

很容易算出,如果流体的最大速度不超过参考点声速的0.3倍(0.3Mach),那么由于速度变化引起的压强修正量大概只有千分之1-2(\gamma的典型范围在1-2之间)。

如果只考虑势差变化的变化引起的修正项:

    \[p_0{\gamma \over 2}{\left({{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2\]

很容易算出,如果自由落体经该势差的速度变化量小于参考点声速的0.3倍(0.3Mach),那么由于势差引起的压强修正量也只有千分之1-2。

对于普通空气,只要空气的流速低于100m/s,且高度差小于500m,那么就可以放心地使用不可压缩流体的Bernoulli定律,误差只有千分之1-2。
不过千万注意,无论是不可压缩流体还是可压缩流体,Bernoulli定律描述的都是粘性效应可忽略的流体,粘性效应不可忽略的情况是不能用的。

Wikipedia上的资料:
Bernoulli’s principle
提到了两类广为流传的关于Bernoulli定律的误解:
Misunderstandings about the generation of lift
Misapplications of Bernoulli’s principle in common classroom demonstrations

关于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明。

对于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明,许多人只知道他试图利用模态逻辑和一些简单的公设严格证明上帝存在,却并不真正理解该证明的含义。

即使完全不质疑该证明依赖的公设本身,该证明说的不过是对任何一种逻辑自洽具体善恶标准,必然存在一个相应的上帝(按照哥德尔的定义,上帝具备一切善的属性而没有任何恶的属性的对象),而两种善恶标准的差异无论多么微小,都对应两个不同的上帝。换言之,对于每一个人的每一种善恶观,都有一个对应的上帝,而无论你的善恶观无论怎样演变,对应你善恶观的上帝都会随之发生改变。

说实话,这个证明对我而言纯属nonsense,虽然哥德尔构造严格证明的能力让我无比赞叹。

证明过程参见:
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_ontological_proof

为了帮助不熟悉模态逻辑证明的同学理解这个证明,我在百度贴吧搜到了一个注释版,将内容复制在这里供大家参考:
http://tieba.baidu.com/f?kz=758125585
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哥德尔用逻辑关于上帝存在的本体论证明

证明涉及模态逻辑, 引入了 ‘□’ (必然)和’◇’ (可能) 两个算子. 有
□ ↔ ¬◇¬
◇ ↔ ¬□¬
□¬ ↔ ¬◇
◇¬ ↔ ¬□
证明如下:

公理1: 一个性质是肯定的,如果它必然被一个肯定性质所蕴涵。
Axiom 2: Any property entailed by — i.e., strictly implied by — a positive property is positive.
{Pos(φ) ∧ □ ∀x [φ(x) → ψ(x)]} → Pos(ψ)

公理2: 一个性质是肯定的当且仅当它的否定是否定的(一致性要求)。
Axiom 1: A property is positive iff its negation is not positive.
Pos(¬ψ) ↔ ¬Pos(ψ)

定理1: 一个肯定性质是逻辑上一致的(可能有某个实例)。(直接从公理2证明)
Theorem 1: If a property is positive, then it is consistent, i.e., possibly exemplified.
Pos(φ) → ◇ ∃x [φ(x)]

定义1: 某物是类上帝的当且仅当它具备所有的肯定性质。
Definition 1: x is God-like iff x has as essential properties those and only those properties which are positive.
G(x) ⟺ ∀φ [Pos(φ) → φ(x)]

公理3: “是类上帝的”是一个肯定性质。
Axiom 3: The property of being God-like is positive.
Pos(G)

定理2: “是类上帝的”是一致的(可能有某个实例, 即上帝可能存在)。(从定理1和公理3证明)
Theorem 2: The property of being God-like is consistent.
◇ ∃x [G(x)]

公理4: 一个肯定性质是必然肯定的。
Axiom 4: If a property is positive, then it is necessarily positive.
Pos(φ) → □ Pos(φ)

定义2: 性质 φ 是 x 的本质当且仅当 x 只具有 φ 所必然蕴含的一切性质。
Definition 2: φ is an essence of x iff for every property ψ, x has ψ necessarily iff φ entails ψ.
φ ess x ⟺ φ(x) ∧ ∀ψ {ψ(x) → □ ∀y [φ(y) → ψ(y)]}

定理3: 如果 x 是类上帝的,那么类上帝的是 x 是的本质。(定义1公理3公理4定义2)
Theorem 3: If something is God-like, then the property of being God-like is an essence of that thing.
G(x) → G ess x

定义3: x 必然存在,当且仅当 x 的每个本质都必然有某个实例。(注意,这是定义,规定“必然存在(NE)”这个词儿的含义)
Definition 3: x necessarily exists iff every essence of x is necessarily exemplified.
exemplified.
NE(x) ⟺ ∀φ [φ ess x → □ ∃y φ(y)]

公理5: “是必然存在”是肯定的性质。
Axiom 5: Necessary existence is a positive property.
Pos(NE)

定理4: 必然有某个x,x是类上帝的。
Theorem 4: Necessarily, the property of being God-like is exemplified.
□ ∃x G(x)

对一道关于三扇门赌局的概率问题的解答

善科问答上提到了一道多年前曾经引起了广泛关注的概率问题,这个问题已经被很好解决了,但可能很多人并不清楚完整的解答,甚至多年来仍然坚信当年他所认定的某个答案。

以下是善科问答上的原文引用
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玛丽莲(Marilyn vos Savant,维基链接)是迄今为止最高智商的吉尼斯世界纪录保持者,她出过一道“羊和汽车”问题,曾引起美国公众的广泛关注:

假如有三扇门,其中一扇门后是一部汽车,另外两扇门后各有一头山羊。你的任务是选中那扇有汽车的门(选中就能开回家啦)。当你随机选择了一扇门,这时主持人在剩下两扇门中打开一扇后面有羊的门,并问你:“为了有较大的机会赢得汽车,你是坚持原来的选择、还是改选另一扇门呢?”

你会怎么决定呢?改选与否对你最后赢得汽车的概率有何影响呢?
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这道题是一个引人思考的好问题,但由于题目条件不足所以是个错题。

主持人行为的策略对题目结果有至关重要的影响,但该题目中你完全无法确定主持人的策略,所以也无法确定换选得车的概率。

主持人的可能策略:
1.无论你是否选中车,他都会打开另一扇没车的门。(此时换选就是2/3得车)
2.只要你没选中车,他就会打开另一扇没车的门。(此时换选就是100%得车)
3.只要你选中了车,他就会打开另一扇门。(此时换选就必然没车)
4.以上策略的概率混合策略……(根据不同的混合,换选会有不同的概率得车)

如果你完全不能判断主持人的策略,那么事实上你也不能完全确定换选之后得车的概率。

许多稍微接触过一点概率论的同学往往会有如下错觉:即便不能明确预言结果,计算可能结果的概率总是可能的。
这个直觉完全是错的,如果你不能事先确定问题的概率模型,那么你根本就无法对可能结果的概率做准确计算。
而上述这个问题中主持人的策略是概率模型中不可或缺的部分。

当然,你可以根据先前主持人的行为或其他信息对主持人会采取哪种策略的可能性进行估计,当你对此作出了估计之后,就可以对这个问题建立概率模型了。

事实上,对概率论的肤浅理解在许多时候会导致荒谬的结果。例如某些贝叶斯主义者会利用贝叶斯公式估计上帝存在和不存在的概率。事实上,如果你想要用贝叶斯公式和样本数据来估计某件事情发生的概率,首先要求这个时间的发生确实有一个明确的概率p,只是你事先并不知道这个p等于什么,只能通过样本数据对这个p做统计估计。但你能说上帝存在这件事情具有某个明确的概率p么?这是什么意思?难道你的意思是说:在每一个采样时刻,上帝存在的概率是p,不存在的概率是1-p,于是某些时刻做采样时上帝刚好存在,另一些时刻做采样时上帝刚好不存在,于是只要积累足够多的样本,我们就能越来越可靠地估计出在每一次采样时上帝存在的概率了?

量子芝诺实验的结果disfavor哥本哈根学派对测量原理的波函数坍塌诠释

自从我系统性地学习了量子力学基本原理,就始终认为波函数坍塌是一个完全错误的诠释。测量原理的这种诠释在逻辑上根本就不可能跟量子力学其他原理相容。测量过程破坏微观量子系统演化的幺正性。而这种破坏仅仅发生在微观量子系统跟宏观仪器和环境相互作用的过程中。而我们都知道幺正演化仅对于孤立系统才成立。根据量子力学,只要你把所有参与相互作用的系统都考虑进来,演化的幺正性压根就不会被破坏。我始终认为,只要量子力学中去掉测量原理,压根就用不着任何诠释。当然这并不意味着我们不需要测量原理,只是测量原理不算是量子力学理论框架内的原理,而是一个类似于统计物理学等几率假设那样的统计假设,跟量子力学理论框架之间是独立的。

近20年内有关量子力学基础的实验越来越清晰地disfavor波函数坍塌解释。孙昌璞院士写了一个胶片介绍了相关的进展。

有人认为量子力学原理中最基本的假设是测量原理,是它让算符和波函数之类的概念具有了物理上可以观测的意义,我过去也曾经认同过这个说法。但我后来想了想,量子力学原理中去掉测量原理仍然不会失去物理上的意义,因为还有Hamiltonian的具体形式。在量子力学的基本原理中丝毫没有假设Hamiltonian的具体形式,Hamiltonian的形式必须额外引入,而且必须通过实验来确定。而且Hamiltonian的形式也能够在物理上产生可观测的效果,因为测量过程涉及到被观测系统如何通过相互作用影响观测仪器的读数,这自然是量子力学演化方程能够唯一决定的事情。事实上在这一点上量子力学跟分析力学完全相似,分析力学中唯一的经验假设就是Hamiltonian(或Lagrangian)的形式,分析力学本身丝毫没有对Hamiltonian的形式作出假设,但分析力学中只要给定了Hamiltonian就变成了一个真正的经验科学理论,一切就有了物理意义。但是我们没法用量子力学精确地计算一个包括仪器和环境在内的巨大的宏观体系的演化,而且最严重的问题是我们没法精确地了解仪器和环境这个宏观系统的量子态,至多只能通过宏观热力学状态给出一些统计信息。

在量子力学创立初期,人们对这个问题完全没有办法处理,所以才引入了测量原理这个“多余”的原理(因为去掉测量原理之后的量子力学是“完备”的,只要给定Hamiltonian和初始量子态,去掉测量原理的量子力学可以决定一个孤立系统任何时刻的量子态,包含了该时刻物理系统的全部信息),有了这个原理,人们才能够对实验结果作出计算。

当我们观测一个微观量子体系,我们所选择的观测手段就会确定一个测量表象,观测过程中宏观仪器和量子体系的相互作用会将量子体系的状态诱导到测量表象的某个本征态上(或极其靠近该本征态)。但宏观仪器具体会将被测量子体系的状态诱导到测量表象的哪一个本征态上,这件事就敏感地依赖于宏观仪器环境测量前所处的量子态。由于我们根本没办法知道宏观仪器和环境(包括我们自身)这个宏观系统测量之前所处的具体量子态,所以我们根本不可能对测量结果作出精确的预测。但我们可以做一些统计,当我们完全不关心宏观仪器环境所处的量子态,对宏观仪器所有可能的量子态做统计,就必须得到跟测量原理一样的统计结果:如果测量前被测微观量子体系的量子态是\psi,那么宏观仪器环境那些『将会把被测体系状态从\psi诱导到测量表象下第i个本征态|i>』的量子态的数量,正比于\psi在|i>上投影的平方(请原谅,这句话有点绕),当然,目前我们只能对非常特殊的系统做出这种计算。

这里不能不说说薛定谔猫佯谬。

许多人都在纠结于死猫和活猫的叠加态到底是个什么东西这样的问题上。对于基本粒子,我们很容易理解这一点,因为量子物理学中粒子并不是一个点,而是空间中的一个分布,你当然可以用点状的 [\delta] 函数来叠加出任何一个连续分布,但这并不意味着点状分数具有什么特殊的地位,你可以任意选择一种正交完备的分布,叠加出粒子所有可能的状态。

当人们遇到宏观物体的叠加态,就全都傻眼了。粒子可以是一个分布,猫怎么分布?人们无法想象一个处于死活叠加态的猫是个什么东西。人们在理解基本粒子叠加态的时候,能够把这个叠加态当成是一个明确独立的状态,虽然它能够分解为另外两个状态的叠加,但这种分解是随意的,并不是唯一的,在某个表象下的本征态并不比它们叠加出来的状态有任何地位上的优越性。人们并不会把叠加态当成多个状态的概率混合(混态)。而我发现对于薛定谔猫,绝大部分讨论都把死猫和活猫的叠加理解为一种类似于混态的东西:猫既死又活。

事实上,我们自身的状态都可以在某个表象下分解。你当前的状态,总是可以拿一个跟你目前状态不同但你仍然活着的状态,以及某个你死了的状态,再加上某个不知道是什么的状态,叠加出来。也就是说,你本来就处于既死又活又?的状态叠加出来,但你对此有任何感觉么?

反过来,死猫和活猫叠加出来的状态并不是一只既死又活的猫,而是一个明确的状态,这个状态可能对应一只死猫,也可能对应一只活猫,甚至可能根本没有猫却有10只老鼠,也可能是一只生病的猫或者甚至是两只三只猫。一个对应死猫的具体量子态和一个对应活猫的具体量子态叠加后到底是个什么状态,我们并不能轻易说出来,因为这个宏观体系的Hilbert空间结构我们几乎一无所知,Hamiltonian也过于复杂,但我们知道叠加出来的量子态一定是一个明确的『纯态』而不是既死又活不知死活的某种『混态』。

这样一来,薛定谔猫佯谬其实根本就不存在什么既死又活的困难,两种状态的叠加态根本就不是什么猫既死又活的状态,只是到底将是什么样的状态我们并不十分清楚。当我们打开盒子的时候,我们当然会跟盒子里的体系相互作用,但对于盒子中的宏观系统,我们打开盒子观看盒子内部状态这种测量操作所选定的测量表象的『本征态』根本就不是只有死猫和活猫两个基向量,因为猫这个体系太大。我们观察盒子这个测量操作选定的测量表象的基向量数量极其巨大,而观测过程会让盒子中的猫的量子态被诱导到这个数量极为巨大的基向量之一,但可以肯定的是,其中任何一个基向量都不会对应什么『猫既死又活』的这种混态。

薛定谔猫佯谬并没有什么怪异之处,但量子力学中确实存在诡异之处,也就是EPR对,隐形传态的基础。但这个诡异之处在数学上是如此清晰明确,完全不像测量原理那样,由于引入了矛盾而导致了大量含混不清的哲学争论。

对我而言,波函数坍塌是一个很“不诚实”的诠释。事实是我们既不知道宏观仪器环境跟被测微观系统相互作用的细节,也不清楚仪器环境这个宏观系统的量子态细节。这种情况下老老实实地承认这一点就可以了。在承认这一点之后,还可以诚实地告诉大家虽然我们不清楚这些细节,但我们仍然必须计算观测结果,我们通过实验观察总结出了一条非常好用的经验规律,就是所谓的测量原理。在我们不了解仪器环境量子态以及不了解仪器环境和被测微观系统相互作用细节的情况下,这条原理能够告诉我们测量结果以及测量之后微观体系所处的可能量子态。我觉得那些乱七八糟的关于测量原理的各种哲学诠释就是哥本哈根对测量原理的这种很不诚实的过度诠释导致的。

我丝毫不是说测量原理不重要,它是一条跟实验结果相联系的至关重要的经验规律,我相信即便在遥远的将来我们也不可能离开这条经验规律。但这条原理应该被理解为由于我们根本无从精确了解仪器环境这个宏观系统的量子态的情况下,还要预测实验结果而不得不依赖的一条统计假设,其地位就像统计物理学中的等概率假设一样。我们很清楚等概率假设对于非各态历经的系统不可能严格成立,但对于足够大足够复杂的系统,我们从来没发现这条原理导致了实验上可观察的偏差。

在几乎所有涉及量子力学的科普宣传中哥本哈根诠释都是铺天盖地的,而那些不承认哥本哈根解释的物理学家之中也有许多人整天鼓吹的都是多世界平行宇宙这样的解释,特别发明了诸如量子永生之类的赚眼球的童话故事。从这件事情上可以看出:人们需要的并不是科学理论,而是吃惊。我个人认为波函数坍塌的哥本哈根诠释已经完全破产了,但其恶劣影响将会继续持续很长很长时间,仍然会有大批人在这个问题上胡扯下去。

PS:有人问波函数坍塌跟量子力学之间为什么是不相容的,这里做个说明:

只要你把包括仪器和环境等所有参与相互作用的物理系统都考虑进来,整个系统(G)就成为一个孤立系统,对G直接应用量子力学,其态矢严格按照量子力学演化方程演化,无论是测量前还是测量过程中还是测量后。而G可以分为两个子系统:被测量子系统(S)、仪器和环境(包括我们)(E),在测量之前和测量之后,由于E和S之间没有任何相互作用,所以E和S各自的演化也是幺正的。而测量过程就是E和S发生相互作用产生纠缠的过程,在这个过程中G的演化始终是幺正的,但子系统E和S在这个过程中都是开放的,因此E和S各自的演化都不是幺正的,这也就是测量过程中被测系统的演化非幺正性的起源。由于按照量子力学G的演化始终是幺正的,因此E对S测量后G的状态是完全确定的,S作为G的子系统,在测量后被诱导进入什么量子态,也必然是完全决定的。只是对于身处G中的我们而言,并不清楚宏观仪器环境(包括我们自身)E在测量前的具体量子态,也没法对巨大的宏观系统G计算其演化结果,所以我们才完全没法精确计算S在测量之后将会进入什么状态。但我们无论如何都要让理论给出实验上可以检验的预言,所以我们才需要引入一个统计假设:测量原理。

而波函数坍塌解释则将S在测量过程中发生的非幺正演化解释为波函数莫名其妙的坍塌,断言S在测量之后的状态不能由S和E在测量之前的状态所唯一决定。而根据量子力学,如果G在测量前后始终在幺正演化,那么测量后G的状态当然是由测量前G的状态完全决定的,G的子系统S的状态不可能无法由测量前E和S的初态所完全决定。所以这在逻辑上是根本不可能调和的矛盾,你要么承认量子力学,同时承认我们能力有限,既不能明确地了解E的状态,也无法计算U的演化,所以只能测量后S的状态做统计预言,要么承认波函数坍塌解释,认为测量过程不符合量子力学描述,会凭空创造出不确定性(上帝的骰子)。

一本好书中流露出的傲慢与偏见

尼古拉斯·塔勒布的《黑天鹅》总体上应该是一本好书,但不巧我第一次看到的是书中的一段设计对白,把我给恶心到了。

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我知道,肥佬托尼与约翰博士几乎没机会出现在同一地方,更不要说在一起泡吧,所以不妨把这当做一个思想实验。我将问他们一个问题,然后比较他们的答案。

尼古拉斯:假设有一个公平的硬币,抛掷后出现正反面的概率各有50%。我连续掷了99次都是正面。那么,我第100次抛掷硬币出现反面的概率有多大?
约翰博士:太简单了!当然是50%,既然你已经假设硬币正反面各有50%的概率且每次抛掷相互独立。
尼古拉斯:你的答案呢,托尼?
肥佬托尼:我会说不超过l%.这是显然的。
尼古拉斯:为什么?我假定是硬币是公平的,每面都有50%的概率。
肥佬托尼:如果你相信所谓“50%”的说法,你要么是个草包,要么是个傻子。这枚硬币里面一定做了手脚,不可能是公平游戏。(也就是说,在硬币抛出99次,每次都得到正面的情况下,你对公平性的假定很可能是错误的。)
尼古拉斯:但约翰博士说是50%。
肥佬托尼(在尼古拉斯耳边小声说):我在银行的时候就知道这些傻瓜。他们的思维太迟钝了,你可以利用他们。
现在,这两个人你更希望谁当纽约市市长?约翰博士完全在条条框框里面思考——别人给他的条条框框,肥佬托尼则几乎完全在条条框框以外思考。
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(接下来是我续的一段)
逻辑引擎:你傻逼啊,有扔一百次硬币的时间都泡到好几个马子了。
尼古拉斯:我们只是在做概率题啊。
逻辑引擎:如果你以为你们在做概率题,你要么是个草包,要么是个傻子。做题能随便扔掉题目的前提条件么?
尼古拉斯:但肥托尼确实是在解答问题啊。
逻辑引擎(在尼古拉斯耳边小声说):我在公司里见过这些傻瓜。他们自以为很聪明,看到有人正按规则做事就以为别人是只会循规蹈矩的傻瓜并加以嘲笑,这种人特别好忽悠,你随便拍拍马屁夸他们聪明绝顶就可以无偿利用他们。
现在,这两个人你更希望谁当纽约市市长?肥佬托尼完全在条条框框里面思考——别人给他的条条框框,还沾沾自喜地自已为跳出了框框,逻辑引擎则几乎完全在条条框框以外思考。
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我当然知道作者要表达什么意思,我也见过那些只会循规蹈矩做事的笨蛋,其中有些人当年还是学校里的尖子生。但作者的例子构造得实在是很犯贱,为什么不能直接拿实际的问题举例子而是拿做数学题来举例子呢?如果真要玩跳出框框的游戏,知道什么时候守规则的人比只会跳出框框还沾沾自喜的人跳得更远。其实这反映了许多人根深蒂固的傲慢与偏见,而作者在书中显然也不经意流露出了这种情绪。

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