Benford’s Law

Benford’s Law

我们平常所遇到的各种非零的数字之中（例如各种物理、数学常数），首位非零数字是1、2、3……9的概率都相同么？感觉上似乎如此，但实际上并不是这样，采用r进制时，首位数字为k（0<k<r）概率差不多是。这就是所谓Benford’s Law。

Wikipedia上有这个法则的若干种解释：

<Benford’s Law>

一个比较直观的解释是：当我们改换单位制时，首位数字的分布应该不变，这就是所谓scale invariance。如何分布才能保证这一点呢？由于我们考虑的是非零的数字，那么总可以将数字写成[1,10)的有效数字部分x乘以10的某个指数（科学计数法）。扔掉10的指数，对有效数字x取以10为底的对数，就得到[0,1)区间分布的一个数，假设y的分布密度函数为。如果我们改变单位制，就相当于将x乘上一个常数c，如果乘积cx大于等于10，就得再次约化到[1,10)区间，这相当于把y循环右移了，分布函数在这种循环右移的情况下应该保持不变，由于循环右移的偏移量是任意的，所以概率密度必须是[0,1)上均匀分布的。有了这个分布，我们就可以估计首位数字是k的概率了。x的首位数字是k就要求x落在区间[k,k+1)，也就是y落在，不失一般性，用r进制代替10进制，首位数字是k的概率就是。