连转带评:纽科姆悖论

有人在新繁星客栈上提到了这个悖论,并且点名叫我帮忙解答。我完全没觉得这个悖论有任何难度,但还是将这个悖论贴在我这里供大家娱乐消遣。
后面是我在新繁星客栈的答复,有所改动。

原文链接

一直没搞懂:纽科姆悖论
或者叫:“外星人悖论”

M:一天,一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。

M:欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。

M:欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的,总是装着1千美元。箱子B不透明,它要么装着1百万美元,要么空着。

M:欧米加告诉每一个受试者。

欧米加:你有两种选择,一种是你拿走两个箱子,可以获得其中的东西。可是,当我预计你这样做时,我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。

欧米加:另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时,我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。

M:这个男人决定只拿箱子B。他的理由是——

男:我已看见欧米加尝试了几百次,每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人,只能得到l千美元。所以我只拿箱子B,就可变成一个百万富翁。

M:这个女孩决定要拿两个箱子,她的理由是——

女:欧米加已经做完了他的预言,并已离开。箱子不会再变了。如果是空的,它还是空的。如果它是有钱的,它还是有钱。所以我要拿两个箱子,就可以得到里面所有的钱。

M:你认为谁的决定最好?两种看法不可能都对。哪一种错了?它为何错了?这是一个新的悖论,而专家们还不知道如何解决它。

这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的,也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的,称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。

男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来,要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱,也许空着,这是不会再改变的。如果有钱,它仍然有钱;如果空着,它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。

如果B中有钱,女孩只拿箱子B,她得到1百万美元。如果她两个箱子都要,就会得到1百万加1千元。

如果B箱空着,她只拿B箱,就什么也得不到。但如果她拿两个箱子,她就至少得到1千美元。

因此,每一种情况下,女孩拿两个箱子都多得1千元。

这条悖论,是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出,愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒,愿意拿B箱者是决定论(宿命论)信徒。而另一些人则争辩道:不管未来是完全决定的,还是不是完全决定的,这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏,以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决,故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的,十分有益的。

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我的解答:

这条悖论,是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出,愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒,愿意拿B箱者是决定论(宿命论)信徒。而另一些人则争辩道:不管未来是完全决定的,还是不是完全决定的,这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

这段评论,看了我后面的分析就可以知道全是一派胡言。我不懂什么叫自由意志论什么叫宿命论,我一个人就可以得出几种不同的答案。而且这个悖论的条件并不是自相矛盾的,而是问题的条件根本就不完备,以至于加入不同的约束条件就可以产生不同的答案。

先引入几种不同的先知(暂且不管其物理上是否能够存在):

第一类先知:精确地知道未来的一切,包括完全精确地知道自己未来的行为。这是个『只读』的先知,他有能力精确预知整个世界的未来,但却完全无法对世界施加任何一丝一毫的影响,甚至完全无法对自己的行为做一丝一毫的改变。这样的先知无法『选择』告诉别人未来会发生什么(当然,他可能预测到自己把未来告诉别人,于是他就只能按照自己的预测吧未来告诉别人。但问题是他还可能预测到自己将要告诉别人的信息是错的,但自己却对此无能为力)。这种先知甚至都不能对未来将要发生在自己身上的事情做任何提前准备,比方说预测到有人要在自己背后捅一刀于是很紧张,但他甚至无法让自己的呼吸或心跳加快,无法让每一个神经信号的传递有任何不同。这种先知很悲剧,他只是一个单纯的观察者,不能对世界施加任何影响,甚至无法『选择』让别人知道自己是个先知。

第二类先知:有能力预测未来,但预测完全准确的前提条件是自己也完全精确地按照自己先前的预测行事,但问题是他也可以在任何时刻选择在不精确按照自己先前的预测行事(比方说先前的预测中自己并没有把未来会发生什么告诉别人,但现在却选择告诉别人),那么就会导致未来不再与自己先前的预测精确相同,而且时间越久与先前的预测偏离可能就越大。事实上,他并不一定要吧未来告诉别人,就可以对未来造成影响,比方说由于知道了未来,他关于未来的知识发生了变化,于是脑袋里面某些神经电信号改变了,经过一系列连锁反应就会造成对未来的影响。当然,既然不考虑物理上的限制,你也可以进一步假定这个先知可以将对未来的预测信息存储在宇宙之外,这些知识的存储对我们的宇宙绝对不会造成一丝一毫的影响。或者,你可以反过来假定只要这个先知存储关于未来的知识就必然改变其大脑的物理状态以至于必然对世界造成影响。这样一开这第2类先知又可以分成两类,我们不妨称前者为2A后者为2B。

对于先知2A,在他决定完全按照自己的预测行为的时候,他之前对世界的预测就完全准确无需更新。一旦他选择不按照自己事先对自己行为的预测行事,那么从这个时刻起,世界的未来就不再符合其先前的预测,于是他此时就要立即更新自己关于未来的预测知识。于是每当他选择不按照自己先前对自己行为的预测行事,他对未来的预测就会立即更新。比方说先前预测自己并没有将世界的未来告诉别人,而某个时刻他突然决定告诉别人了,那么他对未来的预测就会立即更新。假设这个先知很要面子,不希望别人发现自己说出的话是错的,那么一旦他发现只要自己把预测告诉别人,自己所预测的事情在这个告知行为影响下就不会发生,那么他就会立即改为选择什么都不说,即便在不说的情况下自己对未来的预测本来是对的。什么时候他恰好发现只要自己将预测结果告诉别人,自己预测的事情就会成真,这种情况下它就会精确地按照自己对自己行为的预测行事,包括说出对未来的预测,于是预测成真。

对于先知2B,这个先知也很悲剧,他每一个时刻对未来的预测都会改变其头脑中的知识以至于改变头脑的物理状态,经过连锁反应影响一段时间以后的世界,使世界的未来跟其脑袋里面当前的知识不同,既然如此他此时此刻关于未来的知识立即就得更新,这是造成了一个自反馈回路,如果运气不好,这个先知就会成为一个真正的2B,脑子里看到的未来始终处于疯狂的甚至无限迅速的变化之中。但是,也有可能没有这么糟糕,自反馈回路有可能真的有自洽的不动点,也就是说,他脑袋的状态疯狂地变来变去之后,突然进入这样一个状态,这个状态中他脑袋里关于未来的只是刚好精确地与在他脑袋当前状态的影响之下实际上会发生的未来完全精确相同,一旦进入这种状态,他的脑袋里面就总是能够准确地看到未来,而且他脑袋状态随时间的演化也确保总是能跟其预测相同。但是一旦进入这种情况,2B先知就蜕化成了A类先知,他无法做出与自己预测不同的事情。

第三类先知:没能力精确预测整个世界的未来,却有能力任意按照自己的随意操纵整个世界,比方说他可以让任何人以为自己真的想做某件事而去做某件事,创造各种各样的神迹等等。当然,也可能有些话他没有能力使之变成现实,比方说这种自相矛盾的话:『我将会让自己在彻底失去操纵世界能力变成普通人之后仍然可以按照自己的意愿任意操纵世界』,这样的话他可以选择不说。

当然,你也可以编造出其他类型的先知,只要你有本事确保逻辑自洽就可以。

现在,我给感兴趣的同学留一道思考题:试把上述几种先知带入这个所谓纽科姆悖论之中,而且可以几种不同的方式来假设这个先知的动机,然后在每一种情况下分析这个悖论看看会得到什么样的结果。

4 Comments

  • 童心不泯why says:

    小时候就看过这个“悖论”,当时觉得这个故事没有讲明欧米伽是否能够在任何时候都对未来进行干预,也没讲欧米伽能够在何种程度上对未来进行干预。而且如果欧米伽只能预测一部分未来,比如(我假设)其因为无法预测女孩在其走了以后而最终会选择拿两个箱子而无法改变其中的钱,那么欧米伽还算不算先知?尤其是女孩说“欧米伽已经做完了预言”,所以她认为欧米伽只能对于未来进行很有限的干预,那么即使欧米伽预测到她在自己走后会拿两个箱子也没办法改变其中的钱,或者欧米伽根本没有办法预测其走后女孩的最终选择,那么这个故事似乎是想说欧米伽可能是个低能的先知(无法改变未来“或”预测能力有限),但故事本身并没有说欧米伽是否低能,所以一直觉得这个故事有问题。看了这篇文章后清楚多了,看到“这个悖论的条件并不是自相矛盾的,而是问题的条件根本就不完备”时候顿时就觉得原来这根本就不是个悖论,之后看到“引入几种不同的先知”时候就估计下文肯定会将不同的先知的情况代入原来的故事,但结尾“给感兴趣的同学留一道思考题”让人“惊喜”。好吧,我就来做一下这个思考题。先假设人和外星人对彼此的能力都很明确,人知道外星人是哪种先知,外星人知道人知道自己是哪种,也知道人会因为这点而据情况改变选择,人也知道外星人知道自己知道……第一种,对读者来说故事人物就像密闭盒子里的猫,他们会做出明确的选择,欧米伽没办法改变,但是读者不会知道他们的选择是啥,除非读者是故事中人,同理,欧米伽在故事里可以精确预测,读者同样也不知道。先知的动机不明,可能仅是为了验证自己没有得预测失灵的病。第二种,感觉是个死循环,外星人和人的胜负随机,欧米伽和选择者都能够也的确在不停地根据对方的改变而改变选择,可能欧米伽先下手,可能人先把钱从箱子里抢到手,只要人的手比欧米伽的控制力更快。先知的动机同样不明,可能是仅仅是为了好玩、因无聊而打发时间。第三种,欧米伽才不管那么多呢,要个你们钱就给,给多少都行,不给就啥都没有,哪怕你抢到手都可以用某种办法变成没有,预测能力就是个幌子,地球人作为外星智能生物的宠物而存在……至于其它类型的(本质上不同的)先知暂时没想到。

  • 荒唐 says:

    认为该悖论涉及“宿命论”和“自由意志”的是短文的作者,并不是悖论的发明者。悖论原文本来就摆在那里,悖论到底说了什么你去看悖论内容就是了。就算这个悖论是涉及物理的,那么在给出先知的物理属性之前,这个悖论照样是条件不足,条件不足就能通过附加额外的条件给出不同的答案。我不管你怎么附加额外的条件,最终分析的结果都取决于这个先知的能力属性,直接从这些属性出发用不着非要对物理规律做任何假设都照样可以给出问题的结果。

    随随便便就加上自己创造的额外条件,断言

    总之,纽科姆悖论不是逻辑悖论

    ,是典型的打哪指哪。

    再说点儿物理学常识。

    因此这个映射会与自己的一个真子集对等,需要无穷的物质粒子(或状态)。

    只要你学过一丁点儿高等量子力学,你就知道就算是最简单的自旋1/2的粒子,都有无穷多合法的量子态,对应Bloch球面上的点,虽然1/2自旋在任意方向上本征值只有+和-两个,但正如平面直角坐标系的基矢只有两个一样,丝毫不意味着合法矢量的数量也只有两个。+-两个本征态的所有非零的复线性叠加都对应合法的自旋量子态,而其中任何一个叠加态都是某个特定方向上的本征态。量子力学从根儿上就没有假定这个宇宙的粒子的状态只有有限个。你顶多说由于误差和测量结果的不确定性,我们能够通过测量区别的状态数量有限,但另一方面只要两个量子态有任何非零差别,通过两个态的足够多的样本就可以通过测量越来越精确地将两个态区分开。

  • 三思正和 says:

    关纽科姆悖论我的看法是:既然涉及“宿命论”和“自由意志”这种对物理世界的看法,那么先知的“预测”和被试者的“选择”都要有精确的物理含义。你的先知类型划分有一定的启发性,但我还没有确定的理解它解决了这个悖论。

    “预测”的物理意义是“一个物理过程”,涉及相互作用,预测本身进入了宇宙的事件因果链条。那么,要预测整个宇宙,就把宇宙变成了先知大脑中的一个映射,但先知的大脑是宇宙的一部分,因此这个映射会与自己的一个真子集对等,需要无穷的物质粒子(或状态)。

    先不论宇宙是否有无穷多粒子,转到被试者。他的选择并非只能由自己大脑中的物质孤立地计算,他可以观测外部世界,比如抛一个硬币来决定自己的选择,或观测几十个脉冲星,把其脉冲映射成随机数(宇宙硬币)来决定自己的选择。因此受试者有能力强加约束于先知,使得先知如果要预测自己的选择就必须预测包括先知自己大脑在内的整个宇宙的未来。但按前面的分析,这种预测要可能,宇宙必须是无限的,先知的大脑也必须是无限的,才有可能进行这种预测。

    当然,如果先知是宇宙的非参与者,他可以不需要是无限的,但按悖论的描述,他已经参与了受试者所在的宇宙。如果受试者只是闭目思考作出选择,则有可能受试者的大脑活动可以分离地被预测,但只要受试者把外部事件变成选择的输入,就可以按照概率性方式拿两个箱子或只拿黑箱。

    总之,纽科姆悖论不是逻辑悖论。在纯逻辑上,如果前提说先知可以预言,那就是可以预言。被试者对先知预言的挑战,并非纯逻辑的挑战,而是涉及真实世界的运行方式:他已经放好了箱子,不会因我的选择而变。因此,既然是物理挑战,就可以用物理学的知识:把宇宙大范围的事件变成选择的输入,那先知就必须预言整个宇宙,这就涉及用子系统精确模拟整个系统了。量子论告诉我们给定质量有最大熵,因此子系统精确模拟系统是做不到的。

    如果先知自己就是整个宇宙,那就不存在用子系统模拟整个系统的问题,但这样一来,祂就不能做为与被试者分离的个体而出现了,被试者是祂的思维的一部分。说到这,突然感觉你的先知类型划分法仍然近于做纯逻辑的分析,可能不是出路。

    • 童心不泯why says:

      纯逻辑的分析足够了,无需符合真实的物理规律。这个故事也不是悖论,不需要寻找什么出路。