夏至宏的经典多体问题非碰撞奇点解简介

经典多体问题是指在牛顿力学和牛顿引力理论框架下研究多个具有固定质量的质点所构成系统的演化规律的问题。对于这样一个经典力学系统,是否只要给定初始条件(所有质点的位置和速度),就可以精确预测体系今后任意时刻的状态呢?并非如此,如果初始条件能够导致质点间的碰撞,碰撞之后系统的演化就无法用经典力学来回答,包含碰撞的解叫做碰撞奇点解。Poincare曾经考虑过这样一个问题:经典多体系统是否存在非碰撞的奇点解?但很久都没有人能回答。直到夏至宏给出了第一个例子。

这里要注意,所谓非碰撞奇点并非给定初始状态而不能确定轨迹(至少不是直观想象的那样),而是轨迹会在有限时间内发散,其中部分或全部质点的速度或动能也发散,这并不破坏能量守恒,因为经典引力质点系中,引力场中引力势能可以无限制地降低,刚好跟无限制地增加的动能相平衡。而且这些解必须要求引力是超距作用,没有相对论效应和量子效应,质点可以无限制地靠近,只要不是直接重叠就不会碰撞。

例如夏至宏的给出的解中,有一个测度为0的初始条件集合,只要初始条件在这个集合中,就可以确保系统的轨迹在有限时间内震荡发散,速度和动能也在有限时间内发散,当然,引力势能也会在有限时间内向负无穷大发散。

夏至宏的解中有五个质点,四个质点具有相同质量M1M2M3M4,另一个质点m质量很小(但并不能忽略)。假设有两个水平的平面,一上一下(这两个平面的位置并不是一成不变的)。M1M2在上面平面里面相互绕转,而且是椭圆轨道,距离时而远时而近,而M3M4在下面平面里面以类似的方式相互绕转。质点m在上下两个平面之间震荡。当m从下运动到上平面时,M1M2距离不是特别近,当m穿过上平面受到M1M2的吸引而再次回到上平面,M1M2刚好变得非常近,m刚好从中间穿过,这样就会把m向下加速射出,此时上M1M2被迫上升,上平面也就跟着上升了,而且M1M2绕转的距离更近周期更短了。接下来的过程就是m向下穿过下平面,此时M3M4并不太近,但是当m继续向下并且受到M3M4吸引转头回到下平面,M3M4也变得非常靠近,m从当中穿过,被加速向上射出,此时M3M4同时被迫向下,下平面也就下降了,而且M3M4绕转的距离也更近周期更短了。……

只要初始条件适当而精确地设定,可以让这个过程变得越来越快,上下平面越来越迅速地远离,m的速度也越来越快,而且m速度的增加比两个平面距离增加的速度还快,虽然两个平面距离越来越远,但m往返上下平面的时间间隔却也越来越短,与此同时,上平面的M1M2之间的距离变得越来越近,周期越来越短,下平面的M3M4也类似。最终的结果是,两平面在有限时间内跑到无穷远,5个质点的速度在有限时间内达到无穷大。

在某种意义上说,这种非碰撞奇点也算是在给定初始条件,在有限时间之后,就无法预测其轨迹了,但这种无法预测是因为发散的速度和位置。但这种解实际上仍然只是数学上有趣的解,要求引力超距作用,质点是完美的几何点,没有任何相对论和量子效应,在如此苛刻的条件下,初始状态还必须从一个0测度的集合中精心选择才行。甚至这个所谓的『非碰撞』,指的也就是在到达那个特定时刻之前才没有碰撞。在无限趋于那个时刻的时候,为了提供无穷大的动能,实际上M1M2之间和M3M4之间的距离纷纷趋于0。在我看来认为在该时刻发生了碰撞也未尝不可。稍微想一想就可以知道,经典引力场质点系中,想要让任何一个质点的动能达到无穷大,都必须至少有一对质点无限靠近,靠消耗无穷多的引力势能才能提供无穷大的动能。

参考文献:
http://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf