形式对称的Fourier transform

从Wikipedia: Fourier transform上看到的:

    \[ \hat{f}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{-2\pi i x\xi}\, f(x)\, dx \]

    \[ f(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{+2\pi i\xi x}\, \hat{f}(\xi)\, d\xi \]

由此:

    \[ \delta(x)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{2\pi i\xi x}\, d\xi \]

    \[ f(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, \delta(x-y)\, f(y)\, dy \]

    \[ (f \star g)(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\, \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau \]

卷积定理:

    \[ \mathcal{F}(f \star g) =  \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g) \]

其中\mathcal{F}是Fourier变换。
微分定理:

    \[ \mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \]

其中\mathcal{D}是微分算子。

2 Comments

  • ys says:

    请问,最后一个等式是对谁求问分,前后一样么?很迷惑

    • 荒唐 says:

      自然是关于f和g自变量(前面约定的是t)的微分算子。