Bernoulli’s principle,可压缩和不可压缩流体

Bernoulli描述流体无摩擦的定常流动。

对于不可压缩流体,密度是常数:

    \[{p\over\rho}+{v^2 \over 2}+\Psi=\text{constant}\]

其中
v是流线上某点的流速
p是流线上某点的压力
\Psi是流线上某点的力势(例如在匀强重力场中\Psi=g h
\rho是流体的密度
微分形式:

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

对于可压缩流体,密度随压强而改变\rho=\rho(p)

    \[\int_{p_0}^p\frac{d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

如果流动过程的时间尺度跟流体达到热平衡的时间尺度相比很短暂,流体团之间来不及充分交换热量,可以近似认为在流动过程中流体团经历的是绝热过程。对于理想气体:

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

注意,此时\rho不再是常数,而是压力p的函数

理想气体绝热过程:p V^{\gamma} = \text{constant}
其中\gamma = {C_{P} \over C_{V}} = \frac{f + 2}{f}C_{P}是定压热容,C_{V}是定容热容,f是分子自由度。
V = {M \over \rho}

    \[p \rho^{-\gamma} = \text{constant}\]

    \[p^{1/\gamma} \rho^{-1} = \text{constant}\]

    \[d(p^{1/\gamma} \rho^{-1}) = 0\]

于是我们可以针对理想气体求出Bernoulli定律的微分形式:

    \[d\left(\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}\right)+d\left(\frac{v^2}{2}\right)+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p \rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p^{1-1/\gamma} p^{1/\gamma}\rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} d\left(p^{1-1/\gamma} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} \left(1-1/\gamma\right) p^{-1/\gamma} dp+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

跟不可压缩流体的微分形式相同,但注意这里面的\rhop的函数。
由于形式上的相似,我们可以考虑在什么条件下可以近似使用不可压缩流体的Bernoulli定律对理想气体压强和流速之间的关系做近似计算。

由于我事先已经知道最终的结果跟流体中的声速相关,这里只是试图证实相关结论,所以这里先将压力和密度做变量替换为声速简化计算,最后再还原成压力。
流体中的声速:

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho}\]

理想气体绝热过程(声波的传播过程中流体各部分一般来不及充分交换热量):p \rho^{-\gamma} = \text{constant}

    \[d\left( p \rho^{-\gamma} \right) = 0\]

    \[\rho^{-\gamma} dp - \gamma \rho^{-\gamma-1} p d \rho = 0\]

    \[dp = \gamma \rho^{-1} p d \rho = {\partial p \over \partial \rho} d \rho\]

因此:

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho} = \gamma {p \over \rho}\]

    \[d c^2 = \left( \gamma - 1 \right) {dp \over \rho}\]

带入理想气体Bernoulli方程的微分形式:

    \[{d c^2 \over \left(\gamma-1\right)}+{v dv}+d\Psi=0\]

积分得:

    \[{c^2 \over \left(\gamma-1\right)} + {v^2 \over 2} + \Psi = \text{constant}\]

c_0, p_0, v_0, \rho_0, \Psi_0是某参考点上的状态参量,那么

    \[{\left( c^2-{c_0}^2 \right) \over \left(\gamma-1\right)} + {\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0 = 0\]

\Delta = {c_0}^{-2} (\gamma - 1)\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)

    \[{c^2 \over {c_0}^2} = 1 - \Delta = {\left(p \over p_0\right)}^{1-{1 \over \gamma}}\]

    \[p = p_0{\left(1 - \Delta\right)}^{\gamma \over {\gamma-1} }\]

Talor展开:

    \[p = p_0 - p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta + p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 + O(\Delta^3)\]

其中第一项

    \[p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta = \rho_0 \left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)\]

刚好是不可压缩流体Bernoulli定律给出的结果。
第二项以及后面的是相对于不可压缩流体的修正项,这里可以估计修正的大小:

    \[p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 = p_0{\gamma \over 2}{\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over {2 {c_0}^2}} + {{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2 \]

如果只考虑速度变化引起的压强变化修正量:

    \[p_0{\gamma \over 2}{{{\left( v^2/2-{v_0}^2/2 \right)}^2 \over {c_0}^4}}\]

很容易算出,如果流体的最大速度不超过参考点声速的0.3倍(0.3Mach),那么由于速度变化引起的压强修正量大概只有千分之1-2(\gamma的典型范围在1-2之间)。

如果只考虑势差变化的变化引起的修正项:

    \[p_0{\gamma \over 2}{\left({{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2\]

很容易算出,如果自由落体经该势差的速度变化量小于参考点声速的0.3倍(0.3Mach),那么由于势差引起的压强修正量也只有千分之1-2。

对于普通空气,只要空气的流速低于100m/s,且高度差小于500m,那么就可以放心地使用不可压缩流体的Bernoulli定律,误差只有千分之1-2。
不过千万注意,无论是不可压缩流体还是可压缩流体,Bernoulli定律描述的都是粘性效应可忽略的流体,粘性效应不可忽略的情况是不能用的。

Wikipedia上的资料:
Bernoulli’s principle
提到了两类广为流传的关于Bernoulli定律的误解:
Misunderstandings about the generation of lift
Misapplications of Bernoulli’s principle in common classroom demonstrations

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