对量子力学之中不确定关系的解释

(需要读者多少学过一点量子物理学)

按照量子力学的理论模型,对于一个具体的量子系统来说,是『量子态』而不是位置或动量等物理量,完整地刻画了一个量子系统的状态。

但是,对于观察者而言,量子态并不直接可见,只有通过测量操作(这是跟被测量体系之间的一个相互作用过程)才能获取关于量子态的部分信息,我们称这些量为物理量(例如位置、动量等)。

但问题是位置和动量跟量子态之间并没有简单的对应关系,对于任何一个具体给定的确定位置,我们确实可以找到一个量子态,使这个量子态刚好具备给定的确定位置,我们将这个量子态称为对应该位置的位置本征态。对于任意具体给定的确定动量也是如此,我们将具备给定确定动量的量子态称为对应该动量的动量本征态。

不过量子态还有个特性:任何两个确定量子态的叠加仍然是一个确定的量子态,而且这个叠加出来的新量子态跟原来的两个量子态一样都是基本的量子态,跟前两者并没有地位上的差别。例如A态和B态叠加出C态,不仅仅可以把C态看成是A态和B态的叠加,也可以把A态看成是C态和B态的叠加,还可以把B态看成是C态和A态的叠加,A、B、C三个态的地位是平权的。这样一来,两个或更多不同位置本征态(对应不同的具体位置)叠加出来的量子态就不再对应任何具体的位置,不再是位置本征态。

您可能会想,本征态和非本征态地位总该不同吧, 似乎只有具有确定位置的本征态才配称得上是确定的量子态,不具有确定位置的量子态只是『同时』处于若干个本征态的一个不确定的状态。这个想法貌似不错,但问题是任何一个量子态都即可以作为本征态,也可以作为非本征态,这取决于『表象』。这个『表象』就是(希尔伯特空间的)某个正交坐标系,而本征态就相当于表象坐标系的基矢。学过矢量分析的同学都知道,正交坐标系可以任意选择,对于任何一个矢量,都可以找到一个以该矢量为基矢的正交坐标系,也都可以找到一个不以该矢量为基矢的正交坐标系。其实,前面提到的位置本征态就是位置表象下的基矢,而动量本征态就是动量表象下的基矢。此外,动量本征态在位置表象下并不是基矢,因此动量本征态不对应确定的位置,反之亦然。换言之,只要一个量子态具有明确的位置,那么该量子态就是位置表象的一个基矢,而这个基矢在动量表象下不是基矢,自然不可能对应一个明确的动量,反之亦然。也就是说,任何实际量子系统的任何明确状态,本身就不会同时具有明确的位置和动量。

如果你试图用测量位置的仪器去测量处于某个量子态的粒子的位置,即便粒子原来所处的量子态并不对应任何具体的位置,测量操作中仪器跟粒子之间的相互作用过程也会强迫粒子从原来的量子态变迁到一个新的量子态,这个新的量子态恰好具有一个确定的位置,于是你的测量结果也就测得了一个确定的位置。这跟你的仪器是用来测量位置的有关,如果你的仪器是用来测量动量的,测量则会强迫粒子从原来的量子态变迁到一个具有确定动量的量子态。在这个测量过程中,原来的老量子态的信息的一部分被丢掉了,测量之后的新量子态对应某个明确的物理量,而这个物理量并不能完整刻画测量之前的老量子态。

你可能会问,测量一个所处量子态的位置不确定的粒子的位置,会迫使这个粒子进入具有哪个具有确定位置的量子态呢?量子力学的测量原理回答了这个问题:测量之后粒子进入某个具有确定位置的量子态的概率刚好正比于原量子态在具有该确定位置的量子态方向上投影的模平方。

在完全没有谈及测量原理的情况下,前面已经说明一个完全确定的量子态不可能同时具备确定的位置和动量,具体计算就可以知道位置动量不确定度的乘积有一个下限。虽然无需使用测量原理就可以得到不确定原理,但是这个不确定原理由于并不涉及测量,从而未必就导致大量测量结果样本的统计方差也满足不确定原理。而测量原理则限定了特定测量结果的概率分布与量子态态矢在该测量结果所对应的态矢(就是测量仪器所选择的那套表象的基矢)方向的投影之间的关系,经过数学推导就可以进一步确定大量测量结果样本的统计方差与不确定原理给出的不确定性有相同的数值,而不会出现虽然量子态本身的不确定性是这么大,但大量测量结果样本的统计方差却更大或者更小的情况。

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