我求得的全新Einstein场方程精确解

(孙伊2013-12-20于上海交大闵行物理楼)

本文介绍我2011年求得的一个之前未见诸文献的Einstein场方程精确解,它是在远处时空渐进平坦条件下的最一般球对称精确解(注,并非真空或静态的特殊情况,可以处理任何动态非真空情况。以下简称为US解,Universal Spherical)。从US解出发可立即证明Birkhoff定理及其增强版,在静态真空无电荷情况下则立即变成Schwarzschild外部解,代入点电荷电场的能量动量张量则立即变成Reissner-Nordstrom带电球对称解(RN解)。

US解形式如下(具体推导过程请参考我的原始论文JCAP 1101:031,2011或勘误版arXiv:1102.2609):

    \[\large{ds}^2 = -f(r,t)\left(1-\frac{2M(r,t)}{r}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2M(r,t)}{r}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

    \[({d\Omega}^2 = {d\theta}^2 + {(\sin \theta)}^2{d\phi}^2)\]

其中f(r,t)M(r,t)的形式后面将给出。有些同学可能会注意到,既然能够描述任意的径向运动,为什么这个解的度规形式里却没有rt交叉项?实际上只要选择适当的坐标就可以做到这一点,不了解这件事的同学可以参考Weinberg的“Gravitation and Cosmology”第11章。

这个解的形式看上去US解的度规形式跟Schwarzschild解很相似,但是项前面多了一个系数f(r,t),且M不再是常数,表示Schwarzschild坐标系中时刻t和半径r之内的总能量(注,这种动态情况下称之为总能量可能不合适。唯一可以肯定的是这是由能量动量张量清晰定义的关于tr的函数,是否能叫做总能量并不重要。):

    \[\large M(r,t)=\int_0^r {4π \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}}\]

f(r,t)是由密度\rho和径向压强p决定的(注,切向压强p_t不独立于\rhop而被吸收掉了):

    \[ \large f(r,t) = \exp \left\{ -\int_r^\infty 8\pi\tilde{r} \left(1-\frac{2M(\tilde{r},t)}{\tilde{r}}\right)^{-1} \left(\rho(\tilde{r},t)+p(\tilde{r},t)\right)d\tilde{r} \right\} \]

聪明的同学一眼就能看出来,不带电球对称星球的外部真空区\rho(\tilde{r},t)=p(\tilde{r},t)=0,所以f(r,t)=1,由能量守恒可知在外部真空区M是常数,立即回归到Schwarzschild解:

    \[\large{ds}^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

这其实就是Birkhoff定理:无论球对称星球内部的物质有怎样的径向运动,外部真空区一定满足Schwarzschild外部解。

带电球对称星体的外部真空存在球对称静电场,该静电场的能量密度和压力分别为:

    \[\rho(r)=\frac{Q}{8\pi r^4},p(r)=\frac{-Q}{8\pi r^4}\]

于是仍然有\rho(\tilde{r},t)+p(\tilde{r},t)=0,所以也仍然有f(r,t)=1,而

    \[\large \begin{array}{ll} M(r) &\displaystyle = \int_0^r 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}\\ &\displaystyle = \int_0^\infty 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r} - \int_r^\infty 4\pi \tilde{r}^2 \rho(\tilde{r},t)d\tilde{r}\\ &\displaystyle = \mathcal{M} - \frac{\mathcal{Q}^2}{2r} \end{array} \]

注,上式中的\mathcal{M},是全空间总能量,包括全空间的电场能,而\frac{\mathcal{Q}^2}{2r}是半径r以外的总电场能。

这澄清了我之前多年的一个误解:我原以为RN解中那个\mathcal{M}是不包括全空间电场能的,于是如果电荷量特别大以至于\mathcal{Q}>\mathcal{M},奇点就会裸露。现在知道\mathcal{M}是包括全空间电场能的总能量,就算带电粒子除了静电能以外的质量等于0,也不过会使\mathcal{Q}=\mathcal{M},绝不会出现\mathcal{Q}>\mathcal{M}的情况。

现在我们直接得到了带电球对称星球的Reissner-Nordstrom解:

    \[\large{ds}^2 = -\left(1-\frac{2\mathcal{M}}{r}+\frac{\mathcal{Q}^2}{r^2}\right) {dt}^2+\left(1-\frac{2\mathcal{M}}{r}+\frac{\mathcal{Q}^2}{r^2}\right)^{-1} {dr}^2+r^2 {d\Omega}^2\]

这其实是Birkhoff定理的增强形式:无论球对称带电星球内部的物质有怎样的径向运动,外部包含电场的真空区一定满足Reissner-Nordstrom解。

当然,US解不仅能在附加条件下导出上述真空静态解以及诸如理想不可压缩流体球之类的非真空静态解,还能处理非真空区物质的任意径向运动。

我最初求US解的目的是试图处理黑洞蒸发,试图弄清落向蒸发黑洞的物体会经历什么。之前已知的所有非真空球对称精确解都是静态解,而落向蒸发黑洞的物体会置身其辐射场,而辐射场是动态的,所以之前已知的所有精确解都无法处理这种情况。我最终用US解证明只要球对称黑洞的寿命因蒸发而有限,那么无论蒸发过程多复杂,时间多漫长,广义相对论都会禁止任何物体在黑洞蒸发消失之前落入该黑洞。而作为一个逻辑结论,如果形成了的黑洞会蒸发,那么引力坍塌就无法形成黑洞。这件有趣的事以后再讲。

感兴趣的同学可以用Mathematica将US解带入Einstein场方程进行检验,Mathematica程序:BH-Code

附1,球对称条件下能量动量张量{T_\mu}^\nu的非零项:

    \[ \begin{array}{ll} {T_t}^t & = (\partial_r M)/(4\pi r^2 )=\rho\\ {T_r}^r & = p\\ {T_t}^r & = (\partial_t M)/(4\pi r^2 )\\ {T_\Omega}^\Omega & = p_t \end{array} \]

其中{T_\Omega}^\Omega = p_t是切向压力,{T_t}^r是径向能流密度(也是动量密度)

注,在球对称情况下,切向压力p_t不独立于密度\rho和径向压力p,可由\rhop唯一确定,因为切向压力和径向压力共同决定了该处物质的径向加速度。切向压力的具体表达式相当复杂。

附2,下图显示了Einstein场方程部分已知精确解之间的关系,包括我给出的US解:
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