我在 @知乎 回答了【怎样解释「薛定谔的猫」,能让一个没有高中数学基础的人理解?】

[我在 @知乎 的回答]

我觉得这里的回答中有许多都没有正确区分『叠加态』和『混合态』。不过很抱歉,我这里并不是在回答楼主的问题,而是试图纠正许多回答中的概念混乱,很难让高中以下的读者理解。

量子力学中任何一个明确的状态(量子态)都有无穷多种方法分解为若干个状态的叠加,就好像一个向量总是有无穷多种方法分解为若干向量一样。如果一个量子态S可以分解为量子态X和Y的叠加态,可以写成S=aX+bY(a和b是两个复数系数)。再次提醒,这种分解有无穷多种方法:S = aX+bY = a’X’+b’Y’+c’Z’+… = …

到了这里,学过向量加法的同学们应该知道,S虽然可以写成X和Y的线性叠加,但S显然既不是X也不是Y,说S既是X又是Y也根本不对,甚至说S部分处于X部分处于Y也非常不合适,因为S在任何不跟S正交的量子态上都有非零的分量。事实上,S是一个跟X和Y都不同的新的量子态。如果你选取了一组正交完备的量子态作为基向量,那么任何一个量子态S都可以在这组基向量上做唯一的分解。这种正交完备的基向量组的选择也不是唯一的,有无穷多种不同的选择。

那么什么是混合态呢?如果系统明明处于某个明确的量子态,但我们却不知道具体是哪一个,只知道系统可能以一定的概率分布处于若干量子态之一,那么这种情况下我们说体系处于这若干量子态的概率混合,简称混合态。但必须明确一点,混合态不是量子态,只是若干量子态上赋予的一个概率分布。一个处于混合态的系统的实际量子态本来是明确的,只是我们不知道具体是哪一个而已,这跟前面解释的叠加态的含义完全不同。

量子力学实验中所谓的测量,就是让『被测量子体系』跟『仪器+观察者+环境』这个大系统发生相互作用。具体的测量方式会在无穷多不同的正交完备基向量组中选择一个特殊的基向量组。例如让电子通过Z方向的非均匀磁场测量电子的自旋,这种测量就会选择Z+和Z-这两个特定的自旋量子态构成的正交完备基向量组。

执行测量操作时,『仪器+观察者+环境』这个大系统跟被测体系的相互作用过程会让被测体系的量子态从其原来所处的量子态迅速演化到测量方式选择的那个特殊 基向量组中的某一个基向量上。那么测量后被测体系的量子态到底会演化到这个特殊基向量组中的哪一个基向量上呢?这同时取决于『被测量子体系』和『仪器+观 察者+环境』二者在测量之前所处的量子态。由于后者是个硕大无朋的宏观体系,其具体的量子态信息我们根本就不可能了解(就算把这个信息告诉我们,存储这个 巨大的信息也可能要占满整个宇宙,更不要说利用这些信息进行计算的难度多大了),所以我们根本就没可能明确计算测量后被测体系到底会进入测量方式所选定的 哪一个基向量上,只能做统计预测。而统计预测的规则很简单:测量后被测体系量子态进入基向量X的概率,正比于测量前被测体系的量子态S在基向量X上投影长 度的平方,这就是量子力学中的测量原理。早年人们在对这个原理的理解很糊涂,导致了波尔和爱因斯坦在这个原理的诠释上旷日持久到死都没结果的争论。后来有 人做了贝尔不等式的实验,实验结果不支持爱因斯坦关于量子力学局域性的观点,但却被大量错误地引申成了波尔战胜了爱因斯坦。事实上波尔对测量原理提出的哥 本哈根诠释在贝尔不等式的实验中根本就不涉及,该诠释不但破坏量子力学的自洽性,也跟近年来的实验结果相悖。这事儿说来话长暂且打住。

还有一件事情,做量子力学实验,通常要将被测量子体系与仪器环境的相互作用彻底隔离,相互间连热量交换都不能有,否则在测量之前被测体系的状态就已经乱掉了。虽然某些实验中如果相互作用非常微弱也可以通过一些手段纠正消除环境干扰,但尽可能地隔绝相互作用是非常重要的。隔离个把原子不长时间是比较容易做到的,目前也可以隔离病毒尺度的物体,但尺度越大就越难。但是把像猫这么大的东西跟外部环境几乎彻底隔绝,其技术难度可以说超出了我对未来科学技术最疯狂的幻想。如果不能做到几乎是完美的隔离,那么被测体系根本就不可能处于测量方法所选择的那组基向量的叠加态,也就谈不上什么薛定谔猫佯谬了。这就是为什么薛定谔猫佯谬提出之后大家始终在争论却没办法直接进行试验验证的原因(最近据说终于成功地在病毒上进行了类似实验)。接下来的讨论中我们假定光年之后我们在技术上终于能够满足上述要求了。

接下来我们就可以谈谈薛定谔猫这个思想实验了。

我们打开盒子进行观察,都可能看到些什么呢?有人觉得打开盒子可能观察到所有可能的量子态只有两个,一个是猫死了,一个是猫活着。事实上这是很严重的误解。即便是猫死了的状态,都有数不清的不同可能,例如死在一角还是另一角等等,猫死和猫活都对应很大很大一批不同的量子态。除此之外,按照量子力学,打开盒子的时候甚至可以有极小但非零的概率里面会出现一只狗,还可能没猫也没狗只有一滩水。虽然这种事情发生的概率极其微小,但量子力学并不绝对禁止盒子中的物质发生这种剧烈重组的可能性。把所有这些量子力学允许我们在打开盒子时看到的状态全算上,才构成我们测量手段所选择的正交完备的基向量组。所以,许多科普文章甚至是早期的学术讨论中认为只有『死猫』、『活猫』这区区两个基向量的说法是完全不符合量子力学的。

如果关上盒子(假设能做到很严格的与世隔绝)的时间不是特别漫长,打开盒子的时候发现里面有只狗或一滩水的可能性几乎是零,最可能看到的是对应死猫或活猫的数不清的量子态之一。但如果盒子关得太久(例如漫长到庞加莱回归周期那样的时间尺度)就难说打开时会看到什么了。

我们很关心的一个问题是,在打开盒子之前,盒内体系的量子态又会是什么呢?事实上,由于盒子中的猫和杀猫装置本身也是一个在量子力学意义上极为巨大的宏观系统,而触发杀猫装置的放射性元素也在跟这个宏观系统发生相互作用,相当于被测量,所以会在这个过程中会迅速演化到杀猫装置所选定的基向量之一:衰变或不衰变,具体演化到哪个状态取决于之前整个系统的量子态。虽然在打开盒子之前,盒内体系时刻都处于明确的量子态,但由于这个系统仍然很巨大,所以我们并没有办法对结果做出明确的预测,只能谈概率。因此在打开盒子之前,猫要么已经被杀死,要么没有被杀死,或者以极低的概率进入了某些稀奇古怪的状态,但并不会处于某种“不死不活”或“稀里糊涂”的量子态。

虽然盒内体系的量子态S是明确的,却几乎不可能刚好处于打开盒子后可能看到的基向量状态之一,而是它们的某种叠加。所以在打开盒子的时候盒内体系的量子态仍然会发生进一步的演化,但这种演化不会像许多科普书上写的那样,从某种猫不死不活的状态嗖~地演化成死猫或活猫的状态,而是从原来猫的死活本来就很明确的量子态以一定的概率分布演化到打开盒子后可能看到的基向量状态之一。而且我们还可以明确一件事儿,如果打开盒子之前盒内体系的量子态S是猫活着的某个状态,那么打开盒子之后盒内体系的量子态几乎肯定会演化到跟S在宏观上看上去几乎没有差别的仍然对应猫活着的量子态,几乎完全没可能演化到对应猫死了的某个量子态。因为对于如此巨大的宏观系统,宏观上能看出差别的两个量子态几乎是完全正交的,宏观上几乎完全看不出差别的两个量子态之间才可能会有明显的非零投影分量。

总结:
薛定谔猫在打开盒子之前并不会处于什么『不死不活』『稀里糊涂』的量子态。一个对应死猫的量子态和一个对应活猫的量子态叠加出来的量子态是一个很奇葩但并不糊涂的量子态,这样的量子态可能对应一只开膛破肚奄奄一息的猫,也可能连个完整的猫都没有。任何一个量子态都可以分解为若干量子态的线性叠加,也就是说,你现在的状态就等价于若干跟你目前状态不同的量子态的叠加,但你并不会因此感到自己稀里糊涂或不死不活。打开盒子,盒子里面的量子态会因为跟外部的相互作用而发生演化,但这个演化并不是从一种不死不活的糊涂量子态演化到有明确死活的量子态,而是从原本死活就很明确的量子态演化到宏观地看上去与原来极其接近的另一个量子态,演化到一个宏观地看上去与原来很不相同的量子态的概率几乎为零。

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