荒唐的世界

黑洞——要么无法形成，要么不会蒸发

我在JCAP上发表了一篇文章：Black hole — never forms, or never evaporates
链接： JCAP, arXiv, DOI, Scholars Portal Journals

这是我手中未经JCAP排版的最新版本，纠正了一些笔误和语法错误：Black hole — never forms, or never evaporates

除了结论，文中还给出了Einstein Field Equation最一般的球对称解，任何球对称解都是其特例，包括Schwarzschild，Reissner-Nordstrom，静态流体球，除此之外还覆盖了所有非真空的有径向运动的情况。

二月 7th, 2011 | 荒唐 | Tags: 黑洞.
Categories: 物理 | Comments: 1 Comment

相对论König定理的简单证明

König定理：质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。
以前看到过一种相对论情况下的证明，反复使用速度变换公式，很繁琐。其实利用总能量、动能、静质量的关系，在相对论中该定理的证明比经典力学容易得多。
以下约定所有质心系中的物理量都使用上标 $c$ 。注意，质点系的质心系就是那个刚好使质点系总动量等于零的惯性系。该惯性系就是相对于质心静止的惯性系。

质心总动能 $K_0$ 等于质心总能量 $E$ 减去质心静质量 $M^c$ （这对于任何物体都有效）：

$K_0 = E-M^c$

质心静质量 $M^c$ 等于质心系中所有质点各自的能量 $e^c_i$ 之和，也就等于所有质点静质量 $m^0_i$ 之和加上所有质点在质心系中的动能 $k^c_i$ 之和：

$M^c = \Sigma e^c_i = \Sigma (m^0_i + k^c_i)$

质心总能量 $E$ 等于所有质点的各自的能量 $e_i$ 之和，也就等于所有质点的静质量 $m^0_i$ 之和加上所有质点的动能 $k_i$ 之和：

$E = \Sigma e_i = \Sigma (m^0_i + k_i)$

总动能 $K$ 等于其中每个质点的动能 $k_i$ 之和：

$K = \Sigma k_i$

所以：

$K_0 = E-M_0 = \Sigma (k_i - k^c_i) = K - \Sigma k^c_i$

也就是 $K = K_0 + \Sigma k^c_i$ ，质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。

如果你对步骤1中把计算动能的公式直接用于质点系不放心，只需要证明两个质点构成的质点系在任何速度变换下的动能都满足这个关系，那么立即就可以通过数学归纳法证明任意数量的质点系都满足这个关系。一旦有了这个关系，剩下的就是加加减减。

十二月 15th, 2010 | 荒唐 | Categories: 心得, 物理 | Comments: No Comments

Notes on Einstein Field Equation

Metric tensor:

$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$

$g^{\mu\sigma} g_{\nu\sigma} = \delta^\mu_\nu$

Christoffel symbol:

$\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\sigma}(\partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu})$

Riemann tensor:

${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho_{\mu\lambda} \Gamma^\lambda_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho_{\nu\lambda} \Gamma^\lambda_{\mu\sigma}$

Ricci tensor:

$R_{\mu\nu} = {R^\lambda}_{\mu\lambda\nu}$

Ricci scalar (curvature scalar):

$R = {R^\mu}_\mu = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$

Trace of energy-momentum tensor:

$T = {T^\mu}_\mu = g^{\mu\nu} T_{\mu\nu}$

Einstein field equation:

$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}$

$R_{\mu\nu} = 8 \pi \left(T_{\mu\nu} - \frac{1}{2} T g_{\mu\nu} \right)$

Torsion tensor (have nothing to do with energy-momentum tensor

$T_{\mu\nu}$

${T^\lambda}_{\mu\nu} = \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\mu} = 2 \Gamma^\lambda_{[\mu\nu]}$

Properties of the Riemann tensor (

$R_{\rho\sigma\mu\nu}=g_{\rho\lambda} {R^{\lambda}}_{\sigma\mu\nu}$

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\sigma\rho\mu\nu}$

(antisymmetric in first two indices)

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = -R_{\rho\sigma\nu\mu}$

(antisymmetric in last two indices)

$R_{\rho\sigma\mu\nu} = R_{\mu\nu\rho\sigma}$

(invariant under interchange of the first and last pair of indices)

$R_{\rho\sigma\mu\nu} + R_{\rho\mu\nu\sigma} + R_{\rho\nu\sigma\mu} = 0$

$R_{\rho[\sigma\mu\nu]} = 0$

$R_{[\rho\sigma\mu\nu]} = 0$

Properties of the Ricci tensor:

$R_{\mu\nu} = R_{\nu\mu}$

Relation between R and T:

$R = -8 \pi T$

Einstein tensor:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu}$

so Einstein field equation can be rewritten as:

$G_{\mu\nu} = 8 \pi T_{\mu\nu}$

Geodesic equation:

$\frac{d^2 x^\mu}{{d\lambda}^2} + \Gamma^\mu_{\rho\sigma} \frac{d x^\rho}{d \lambda} \frac{d x^\sigma}{d \lambda} = 0$

Covariant derivative:

$\nabla_\sigma V^\mu = \partial_\sigma V^\mu + {\Gamma_\sigma}^\mu_\lambda V^\lambda$

$\nabla_\sigma W_\nu = \partial_\sigma W_\nu + {\Gamma_\sigma}^\lambda_\nu W_\lambda$

$\nabla_\sigma {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} = \partial_\sigma {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k}\\ ~~~~ + {\Gamma_\sigma}^{\mu_1}_{\lambda} {T^{\lambda \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} + {\Gamma_\sigma}^{\mu_2}_{\lambda} {T^{\mu_1 \lambda \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \nu_2 \ldots \nu_k} + \ldots\\ ~~~~ - {\Gamma_\sigma}^{\lambda}_{\nu_1} {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\lambda \nu_2 \ldots \nu_k} - {\Gamma_\sigma}^{\lambda}_{\nu_2} {T^{\mu_1 \mu_2 \ldots \mu_k}}_{\nu_1 \lambda \ldots \nu_k} - \ldots$

Energy-momentum tensor:

$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0$

十一月 24th, 2010 | 荒唐 | Categories: 数学, 物理 | Comments: No Comments

从计算观点开始……（草稿）

孤立物理体系

所谓孤立物理体系，是指这个体系完全不受其他体系影响，体系的可能状态由体系自身的物理规律所决定。假定为体系选择的一组状态参数的所有取值构成的集和为$$S$$，那么物理规律就限定了这个集和中那些状态是物理规律所允许的，相当于是对集和$$S$$的一个约束。可以记为：
$$K[s], s\in S$$
其中，$$K$$是一个判断，$$K[s]$$为真当且仅当状态$$s\in S$$是物理规律所允许的。
将所有这样的状态构成的集合记为$$K[S]$$，显然有$$K[S]\subseteq S$$。
如果我们的状态参数选取得非常好，参数空间中每一个参数都对应一个符合物理规律的状态，我们就全知了。可惜我们做不到，我们所选择的状态参数所构成的参数空间总是远大于物理规律所允许的状态集。退而求其次，我们希望找到一种等价关系，这种等价关系将状态空间划分为若干个等价类，所有物理规律允许可以共存的现象事件都仅仅属于其中一个等价类，而这个等价类也仅仅包含物理规律允许的现象事件。这样，我们只要找到了这个等价类中的一个代表状态，就可以确定整个等价类。这就是通过初值条件或者边界条件来求解物理体系的方法。

一个简单的例子：一个沿直线匀速运动的粒子，其状态由$$(x,t)$$标记，运动方程为$$x=v t+x_0$$，那么仅当$$(x,t)$$满足这个运动方程时，我们才认为由$$(x,t)$$所标记的状态才是物理规律所允许的状态。这个例子中所有物理规律所允许的状态的集和刚好构成了粒子的世界线。再举个一维经典标量场的例子：场$$A$$的状态由函数$$A(x,t)$$决定。仅当$$(A,x,t)$$满足场方程$$\frac{\partial^2 A}{{\partial t}^2}-\frac{\partial^2 A}{{\partial x}^2}=0$$和某个边界条件（例如初始条件$$A(x,0)=A_0(x)$$）时，我们才认为$$A(x,t)$$是物理规律所允许的状态。

但上述模型对于物理学家来说只是运动学（Kinematic）模型，只有当你了解了宇宙状态的所有细节才能给出这个运动学方程，而这些细节恰恰是我们希望能够通过方程预言的。换言之这种抽象的运动学模型没什么用。物理学家希望的是：当我了解了宇宙局部的某些信息之后，我可以通过这些信息推算出另一些局部甚至全局的信息。这就要求我们建立所谓的动力学（Dynamical）模型。如果我们知道了宇宙的全部运动学信息，那么动力学模型总是可以导出的，但我们了解到的只是一些局部的信息。

以一维匀速直线运动为例，当我们知道了某个$$(x_0,t_0)$$是合法物理状态，那么从动力学方程$$\frac{dx}{dt}=v$$就可以推算出其他的合法物理状态，这个方程告诉我们，如果$$(x_0,t_0)$$是合法物理状态，那么$$(x+dx,t+dt)$$要满足什么条件才是合法的物理状态。也就是说，该动力学方程给出了$$(x_0,t_0)$$和$$(x+dx,t+dt)$$必须满足的关系，积分后就可以得出$$(x_0,t_0)$$和任意$$(x_1,t_1)$$的关系。物理学的动力学视角写成数学方程就是：
$$D[S_0,S]=K[S],~where~S_0\subset K[S]$$
限定了$$S_0$$和K[S]必须满足的关系。显然，最平凡的情况是$$S_0=K[S]$$，但物理学家希望从一组尽可能小的$$S_0$$出发，通过$$D$$能够得出整个$$K[S]$$。比方说匀速直线运动的例子中，从任何一个单独的$$(x_0,t_0)$$就可以得到所有合法的物理状态。而在上述的一维经典场论中，单独的一个$$(A,x,t)$$是得不出所有合法物理状态的，必须了解一组状态，比方说了解$$t$$为某个定值的时候所有$$x$$对应的$$A$$（初值问题），或者了解曲线$$f(x,t)=0$$上所有的$$A$$（边值问题），或者了解曲线$$f(x,t)=0$$上所有的$$\partial A/\partial t, \partial A/\partial x$$（边值问题）。

在经典绝对时空观之中，时间是一个非常特殊的状态参数，所有其他的状态参数都可以写成时间的函数，对于实数、复数、向量、张量等形式的物理量，都可以表达为时间的函数，对于许多物理问题而言，我们都可以根据初值来决定今后的演化：
$$D[K[S]|_{t=t_0}, S]=K[S]$$
这样一来，这就是所谓经典的机械决定论的视角。进一步，我们可以把这种方程写成关于时间的演化方程：
$$K[S]|_{t^+}=F[K[S]|_t]$$
如果模型中的时间是连续的，那么可以直接表达为微分方程，令$$s(t)=K[S]|_t$$：
$$\partial s/\partial t=f(s,t)$$
在相对论之中，时间不再具有特殊地位，不同参考系也没有一个标准时间，但大家仍然希望能够在时间上做出预言，一个办法是给出物理量在某个完整的类空超曲面上的值，以至于所有的类时世界线都会与这个类空超曲面相交，就可以决定整个时空流形的物理量了。

另一方面，最初用来标记系统状态的状态参量可能具有若干对称性……（待续）

虽然真正的孤立体系要求完全不受外界影响，以至于这样的体系不能从外部通过相互作用来观测，但最初人们认为我们总是可以设法在技术上降低观测对体系的影响，使被观测的体系几乎跟孤立体系没有区别。但近代物理学让人们改变了这种想法，当我们对被观测体系的了解越来越精细，就不得不越来越多地与之相互作用。这种情况下我们需要的是一个相互作用的理论模型，而不是一个孤立体系的理论模型。……（待续）

量子力学实验中往往把宇宙划分为3个部分：被测系统S，观察者和仪器O，环境E。通常要求S只跟O相互作用，但不允许受到E干扰。量子力学的原理体系中扣掉测量原理，描述的就是一个孤立体系的演化。本来应该能够通过孤立体系的演化方程得出一个相互作用的方程，然后计算出观察者观察被测体系将会得到什么结果，但最初大家不知道怎样算，没人会求解整个宇宙的Schrödinger方程。于是物理学家从实验中得到了一条经验规律：测量原理。遗憾的是测量原理被上升到了量子力学基本原理的地位，引发了Einstein和Bohr旷日持久的争论。到了近代人们逐渐发现测量原理在许多条件下是可以导出的，而且导出的结果比测量原理所给出的细节更多。

————（可逆性、对称性、熵增、可观察量、规范……）

————（引入动机的数学模型，然后是偏好的评价函数，心理，行为，经济，博弈，生态系统，社会……）

开放的物理体系，相互作用

一个孤立体系可以被人为地通过边界划分为两个子系统，这两个子系统通过边界发生相互作用。每一个子系统的所有合法状态自然仍然由整个系统的运动学方程所谓一决定，但我们需要的是得到其中一个子系统的方程，这个方程只跟这个子系统的状态以及另一个子系统在边界上的状态有关……（待续）

孤立机器

所谓孤立机器，就是指这样一种东西：其任意时刻的状态演化方式完全取决于该时刻的状态。
将孤立机器的状态记为$$S$$，时间记为$$t$$，后继（Successor）时间记为$$t^+$$（比方说在t连续的情况下，$$t^+:=t+dt$$，离散情况下$$t^+:=t+1$$），演化规律记为$$U$$，那么上述定义相应的数学模型为：
$$S(t^+) =U[S(t)]$$
经典力学中的Hamilton方程就是描述这种孤立机器的方程。在Hamilton力学中，体系的状态用所有粒子的位置和动量来标记，而Hamilton方程则决定了体系状态的演化机制。
$$(p,q)(t+dt) = (p,q)(t) + \left(-\frac{\partial H}{\partial q}, +\frac{\partial H}{\partial p}\right)dt$$
还有量子力学方程$$\left| \psi (t) \right\rangle = e^{-\mathrm{i}H t}\left| \psi (0) \right\rangle$$，此时$$U = e^{-\mathrm{i}H t}$$

机器

所谓机器，就是指这样一种东西：

跟环境之间有一个分界线
环境在边界上的状态作为机器输入可以改变机器状态
机器在边界上的状态作为机器输出可以改变环境状态
任何时刻其行为和内部状态的变迁完全由该时刻的内部状态和环境输入唯一决定

如果环境也是一台机器，那么可以将环境的状态记为E，那么相应的数学模型为：
$$S(t^+) = U[S(t), \partial E(t)]$$
$$E(t^+) = U[E(t), \partial S(t)]$$

孤立机器是机器的特例，如果将环境和机器当作一个孤立整体，那么它又会变为一台孤立机器：
$$(S,E)(t^+) = (S(t^+),E(t^+)) = (U[S(t),\partial E(t)],U[E(t),\partial S(t)]) = U[(S,E)(t)]$$
如果把系统作为一个整体考虑，那么无论在机器和环境之间如何划界，对结果都是无影响的。

离散的孤立机器

所谓离散的机器，就是上述孤立机器定义中，状态变迁是按步骤跳变的，具有可数内部状态。
对于这样的机器，我们可以用步骤编号$$i$$代替时间$$t$$，用$$i+1$$代替$$t^+$$。于是其数学模型为：
$$S_{i+1} =U[S_i]$$

离散的机器

所谓离散的机器，就是上述机器定义中，状态变迁是按步骤跳变的，具有可数内部状态，对环境输入的分类能力也是可数的。
这样一台机器，其时间由步骤标记，记为$$i$$，于是：
环境从边界给机器的输入记为$$\partial E_i$$，机器从边界对环境的输出记为$$\partial S_i$$：
$$S_{i+1} = U[S_i, \partial E_i]$$
$$E_{i+1} = U[E_i, \partial S_i]$$

有限状态机器

如果离散的机器的状态数量是有限的，而且只能对环境输入做有限种分类，就叫做有限状态机器。但环境的状态可以是无限的，我们利用有限的时间和资源能够制造出这种机器。图灵机就是一种这样的机器。

图灵机

图灵机是一台有限状态的机器，对于图灵机来说，其环境就是一条无限长的格子纸带（因此环境拥有无限种状态），这个纸带的每一个格子都存贮一个符号，符号的种类是有限的。每一个步骤中，图灵机停泊在纸带上一个特定的位置，可以从这个位置读取符号，然后根据自身状态和读取到的符号唯一地作出一个动作，动作包括向当前位置写入一个符号，然后向左或向右移动一个格子，将自身状态迁移到新的状态。

除此之外，图灵机有一个特殊状态：起始状态，作为每一次执行计算任务的过程的初始状态。还有一组状态作为结束状态，其中一部分被标志为接受，另一部分被标记为拒绝，表示计算任务执行的后果。

可以证明，凡是能够用有限状态机器完成的计算任务，用图灵机都可以完成。还有人进一步证明，通常的神经网络计算模型的计算能力完全等价于图灵机，所谓通常的神经网络计算模型是指这样的神经网络：每一个神经元仅仅有有限种（典型是两种）兴奋状态。

但物理系统经常不是有限状态机器，因此不能简单地说所有的物理系统都等价于图灵机。但是，如果一个由连续参数描述的物理系统，如果对于人类来说可以通过物理量来区分的状态是有限的（比如由于热噪声的存在导致的测量误差），那么这个物理系统对于人类来说计算能力就并不比一个有限状态机器更强。

九月 27th, 2010 | 荒唐 | Categories: Engic, 哲学, 数学, 物理, 算法 | Comments: No Comments

Feynman路径积分实际上就是传统光学的Huygens-Fresnel原理本质是一回事

Feynman路径积分和Huygens-Fresnel原理都可以用Green’s Function和Fourier transform进行计算。

九月 27th, 2010 | 荒唐 | Categories: 心得, 物理 | Comments: No Comments

有限的人生能飞多远——随手算算

给你一艘飞船，你在有限的人生中能够探索多么遥远的未知世界呢？

如果你了解一点狭义相对论，你可能会回答能够探索的距离不会超过光在人生中走过的距离，因为光速是速度的极限。且慢，别忘了你自己就是旅行者，你能够飞多远取决于你亲身经历的时间（称为固有时间：proper time），而不是取决于你在某个惯性系中经历了多长时间。

当你相对惯性系 $S$ 以速度 $\beta$ （ $\beta=v/c$ ，今后如果不加说明，我们全部采用 $c=1$ 单位制，这种单位制下 $\beta$ 和 $v$ 完全相等）前进的时候，你的固有时间 $d\tau$ 跟惯性系 $S$ 的时间 $dt$ 的关系是 $d\tau=\sqrt{1-\beta^2}\;dt$ 。

首先，我们必须给出固有加速度恒定的情况下 $\beta$ 对 $t$ 的函数关系，注意， $\beta=a t$ 是完全错误的，这是非相对论的匀加速运动的公式。相对论的速度变化比较复杂，为了避免过于冗长的计算，我们采用固有速度（proper velocity）的绝对值：快度 $\eta$ （rapadity），与 $\beta$ 的关系是：

$\beta=\tanh(\eta)$

采用快度 $\eta$ 的好处是可以它直接相加。相对论的速度相加公式很繁琐，但你可以把若干个要相加的速度都变成相应的快度，把这些快度简单的加起来，然后再变换回速度，就可以得到正确结果。对于在 $t=0$ 时刻开始的以恒定固有加速度a的加速过程，刚好有跟经典力学中匀加速运动类似的公式：

$\eta=a \tau$

于是，现在就可以计算惯性系 $S$ 中的时间 $t$ 和做恒定固有加速运动的固有时间 $\tau$ 的关系了（具体的积分运算过程略，有兴趣的同学可以用Mathematica验证一下）：

$\begin{array}{ll} \displaystyle t&\displaystyle=\int\limits_{0}^{\tau}\frac{d\tau'}{\sqrt{1-\tanh(a \tau')^2}}\\ &\displaystyle=\frac{\sinh(a\tau)}{a} \end{array}$

$\displaystyle\tau=\frac{\sinh^{-1}(a t)}{a}$

。

经过固有时间 $\tau$ ，做恒定固有加速运动所达到的速度是 $\beta=\tanh(a \tau)$ ，所走过的路程是：

$\begin{array}{ll} \displaystyle s(\tau)&\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\beta(x)dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\tanh(sinh^{-1}(a x))dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\frac{a x}{\sqrt{1-a^2 x^2}}dx\\ &\displaystyle=\frac{\sqrt{1+a^2 t(\tau)^2}-1}{a}\\ &\displaystyle=\frac{\cosh(a \tau)-1}{a} \end{array}$

当 $a \tau$ 很大的时候， $\displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}\rightarrow\frac{\exp(a \tau)-2}{2 a}$

也就是说，你可以到达的距离是你寿命的指数函数。

为了有一个感性认识，我们计算一下当你以地表的重力加速度 $g$ 持续加速，花一段时间能够到达多远的地方： $g=9.8m/s^2$ ，转换到 $c=1$ 单位制， $1s=3 \times 10^8m$ ： $g=9.8m/s^2=3.27\times 10^{-8}/s=1.0323/y$ （很巧，地球表面重力加速度g的数值差不多刚好是一倍光速每年），于是：

$\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}&\displaystyle=\frac{\cosh(1.0323/y \times 1y)-1}{1.0323/y}\\ &\displaystyle=0.5636y \end{array}$

你只需要经历1年，就可以到达0.5634光年远的地方，只需要10年，你就可以到达14684光年的地方，如果你能活到100年，就可以到达 $3.167\times 10^{44}$ 光年的地方，现代宇宙学所估算的宇宙半径也不过上百亿（ $10^{10}$ ）光年。

我们现在再来算算，如果你的飞船总质量为 $m$ ，采用反物质发动机，将所消耗掉的质量全部转化为光子发射出去，利用光子的反推实现加速（这是理论上最高效的推进方式），这种情况下想要让你的飞船产生大小为 $a$ 的固有加速度，你需要以多块的速度消耗飞船上的物质。

由于采用了 $c=1$ 单位制，光子的动量和能量是相等的，消耗掉的质量所得到的能量跟所消耗的质量也是相等的。为了让质量为 $m$ 的飞船达到加速度 $a$ ，那么需要的力 $f=m a$ ，而推力 $f$ 完全由单位时间内喷射的光子动量提供： $f=dp/d\tau=dE/d\tau=-dm/d\tau$ 。于是 $-\frac{dm}{m}=a\;d\tau$ ，因此，当飞船质量为 $m$ 时，单位时间内所喷射的质量占总质量的比值恰好由 $a$ 决定。当飞船质量 $m$ 逐渐变小的时候，所需的推力 $f$ 也随之变小，可以算出飞船任意时刻的剩余质量随着 $\tau$ 的变化： $m(\tau) = m_0 \exp(-a \tau)$ 。所以，用效率最高的反物质发动机，1年以后飞船的剩余质量为最初的2.808分之一，10年以后飞船的剩余质量为最初的30424分之一，100以后飞船的剩余质量只有最初的 $6.795\times10^{44}$ 分之一。如果飞船是由氢构成的，那么出发时总质量一千万亿吨（相当于地球大气总质量的1/5，跟喜马拉雅山的总质量差不多），100年之后也只能剩下一个氢原子的质量了，如果你希望100后剩下一个人那么大的质量，那么出发时大概需要上百个银河系的总质量。