万能挡箭牌集锦

万能挡箭牌集锦：

不可说：
人类语言的表达能力是有限的，有些事不是人类语言能够把握的，所以×××不可说。
破解：
就算存在不可说的事，也不等于随便什么都不可说，为什么×××是不可说的？如何判断什么可说什么不可说？

冷暖自知：
宗教这种东西，如人饮水，冷暖自知。你去按照那个理论实践了，产生了相应的心理体验，就证明了这个理论对你是有效的。
破解：
按照某理论实践产生某种心理感受，丝毫不意味着理论对心理感受的解释是有效的，仅仅意味着你照着那些实践方法使你产生了某种心理感受，这事才是有效的。
吸毒也可以造成很多心理感受，例如感觉这个世界变大或变小，这丝毫不证明『吸毒能够让这个世界变大或变小』的理论，证明的只是吸毒能让你产生这些体验。

无法否定：
并没有证据能够否定×××的存在，所以直接断言×××不存在是鲁莽的。
破解：
这话说得很对，有些强无神论者就犯这种错误，他们直接强行规定『无存在的证据』就是『不存在』，把两个含义不同的强行定义成同一个概念。
但是，没有证据的事情多了，就算×××真的存在，也有无穷多不同的存在方式，都一样没有证据。
只要你承认你所坚信的理论是无穷多种没有证据的假设中的一种，你就是诚实的。如果你拒不承认这一点，那么你就是在撒谎。

宁信其有（帕斯卡的赌注）：
如果没有上帝却信了上帝并不会带来多大损失，但如果有上帝却不信就会遭到惩罚，信就会得到奖赏，所以理性的选择是信。
破解：
就算是有上帝，你怎么知道它一定赏信罚疑？你怎么知道他不会专门惩罚那些缺乏证据却非要坚信的盲目者呢？世界上有这么多不同版本的神，你万一信错了呢？
某些神还可能不允许你信其他的神，所以什么都信也照样可能会遭到惩罚。

应该这样理解：
“×××”没有错，只要将其中的x理解为A，y理解为B……
例如，认为佛教以须弥山为中心日月星辰都绕着须弥山旋转的宇宙结构理论没错，须弥山就是银河系，太阳等星辰是绕着银河系核心旋转的。
破解：
如果只是想要让“×××”变成一个有效的断言，那么你总是可以编造出某种解释使之变得成立。
所以请先说明为什么x应理解为A，y应理解为B，有什么根据。

December 28th, 2012 | 荒唐 | Categories: 科学哲学 | Comments: No Comments

Bernoulli’s principle，可压缩和不可压缩流体

Bernoulli描述流体无摩擦的定常流动。

对于不可压缩流体，密度是常数：

    \[{p\over\rho}+{v^2 \over 2}+\Psi=\text{constant}\]

其中
v是流线上某点的流速
p是流线上某点的压力
\Psi是流线上某点的力势（例如在匀强重力场中\Psi=g h）
\rho是流体的密度
微分形式：

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

对于可压缩流体，密度随压强而改变\rho=\rho(p)：

    \[\int_{p_0}^p\frac{d\tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

如果流动过程的时间尺度跟流体达到热平衡的时间尺度相比很短暂，流体团之间来不及充分交换热量，可以近似认为在流动过程中流体团经历的是绝热过程。对于理想气体：

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}+\frac{v^2}{2}+\Psi=\text{constant}\]

注意，此时\rho不再是常数，而是压力p的函数

理想气体绝热过程：p V^{\gamma} = \text{constant}
其中\gamma = {C_{P} \over C_{V}} = \frac{f + 2}{f}，C_{P}是定压热容，C_{V}是定容热容，f是分子自由度。
由V = {M \over \rho}
得

    \[p \rho^{-\gamma} = \text{constant}\]

    \[p^{1/\gamma} \rho^{-1} = \text{constant}\]

    \[d(p^{1/\gamma} \rho^{-1}) = 0\]

于是我们可以针对理想气体求出Bernoulli定律的微分形式：

    \[d\left(\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)\frac{p}{\rho}\right)+d\left(\frac{v^2}{2}\right)+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p \rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)d\left(p^{1-1/\gamma} p^{1/\gamma}\rho^{-1} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} d\left(p^{1-1/\gamma} \right)+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[\left(\frac{\gamma}{\gamma-1}\right)p^{1/\gamma}\rho^{-1} \left(1-1/\gamma\right) p^{-1/\gamma} dp+{v dv}+d\Psi=0\]

    \[{dp\over\rho}+{v dv}+d\Psi=0\]

跟不可压缩流体的微分形式相同，但注意这里面的\rho是p的函数。
由于形式上的相似，我们可以考虑在什么条件下可以近似使用不可压缩流体的Bernoulli定律对理想气体压强和流速之间的关系做近似计算。

由于我事先已经知道最终的结果跟流体中的声速相关，这里只是试图证实相关结论，所以这里先将压力和密度做变量替换为声速简化计算，最后再还原成压力。
流体中的声速：

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho}\]

理想气体绝热过程（声波的传播过程中流体各部分一般来不及充分交换热量）：p \rho^{-\gamma} = \text{constant}

    \[d\left( p \rho^{-\gamma} \right) = 0\]

    \[\rho^{-\gamma} dp - \gamma \rho^{-\gamma-1} p d \rho = 0\]

    \[dp = \gamma \rho^{-1} p d \rho = {\partial p \over \partial \rho} d \rho\]

因此：

    \[c^2 = {\partial p \over \partial \rho} = \gamma {p \over \rho}\]

    \[d c^2 = \left( \gamma - 1 \right) {dp \over \rho}\]

带入理想气体Bernoulli方程的微分形式：

    \[{d c^2 \over \left(\gamma-1\right)}+{v dv}+d\Psi=0\]

积分得：

    \[{c^2 \over \left(\gamma-1\right)} + {v^2 \over 2} + \Psi = \text{constant}\]

设c_0, p_0, v_0, \rho_0, \Psi_0是某参考点上的状态参量，那么

    \[{\left( c^2-{c_0}^2 \right) \over \left(\gamma-1\right)} + {\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0 = 0\]

令\Delta = {c_0}^{-2} (\gamma - 1)\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)

    \[{c^2 \over {c_0}^2} = 1 - \Delta = {\left(p \over p_0\right)}^{1-{1 \over \gamma}}\]

    \[p = p_0{\left(1 - \Delta\right)}^{\gamma \over {\gamma-1} }\]

Talor展开：

    \[p = p_0 - p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta + p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 + O(\Delta^3)\]

其中第一项

    \[p_0{\gamma \over {\gamma-1} }\Delta = \rho_0 \left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over 2} + \Psi-\Psi_0\right)\]

刚好是不可压缩流体Bernoulli定律给出的结果。
第二项以及后面的是相对于不可压缩流体的修正项，这里可以估计修正的大小：

    \[p_0{1 \over 2}{\gamma \over {\gamma-1} }{1 \over {\gamma-1} }\Delta^2 = p_0{\gamma \over 2}{\left({\left( v^2-{v_0}^2 \right) \over {2 {c_0}^2}} + {{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2 \]

如果只考虑速度变化引起的压强变化修正量：

    \[p_0{\gamma \over 2}{{{\left( v^2/2-{v_0}^2/2 \right)}^2 \over {c_0}^4}}\]

很容易算出，如果流体的最大速度不超过参考点声速的0.3倍（0.3Mach），那么由于速度变化引起的压强修正量大概只有千分之1-2（\gamma的典型范围在1-2之间）。

如果只考虑势差变化的变化引起的修正项：

    \[p_0{\gamma \over 2}{\left({{\Psi-\Psi_0} \over {c_0}^2}\right)}^2\]

很容易算出，如果自由落体经该势差的速度变化量小于参考点声速的0.3倍（0.3Mach），那么由于势差引起的压强修正量也只有千分之1-2。

对于普通空气，只要空气的流速低于100m/s，且高度差小于500m，那么就可以放心地使用不可压缩流体的Bernoulli定律，误差只有千分之1-2。
不过千万注意，无论是不可压缩流体还是可压缩流体，Bernoulli定律描述的都是粘性效应可忽略的流体，粘性效应不可忽略的情况是不能用的。

Wikipedia上的资料：
Bernoulli’s principle
提到了两类广为流传的关于Bernoulli定律的误解：
Misunderstandings about the generation of lift
Misapplications of Bernoulli’s principle in common classroom demonstrations

December 28th, 2012 | 荒唐 | Categories: 物理 | Comments: No Comments