关于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明。

对于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明,许多人只知道他试图利用模态逻辑和一些简单的公设严格证明上帝存在,却并不真正理解该证明的含义。

即使完全不质疑该证明依赖的公设本身,该证明说的不过是对任何一种逻辑自洽具体善恶标准,必然存在一个相应的上帝(按照哥德尔的定义,上帝就是具备一切善的属性而没有任何恶的属性的对象),而两种善恶标准的差异无论多么微小,都对应两个不同的上帝。换言之,对于每一个人的每一种善恶观,都有一个对应的上帝,而无论你的善恶观怎样演变,对应你善恶观的上帝都会随之发生改变。

另外,该证明中所谓的“存在”和“某形式系统存在模型”、“某方程存在解”里面的“存在”完全是一个意思,完全是抽象意义上的可满足性。这种“存在”,跟“存在”经验上帝或超经验上帝,是没有半毛钱关系的。

说实话,这个证明对我而言纯属nonsense,虽然哥德尔构造形式系统并严格证明的能力让我无比赞叹。

证明过程参见:
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_ontological_proof

为了帮助不熟悉模态逻辑证明的同学理解这个证明,我在百度贴吧搜到了一个注释版,将内容复制在这里供大家参考(我稍作修改,把中文表达里面容易和逻辑连词混淆的“肯定”替换成了“正面”):
http://tieba.baidu.com/f?kz=758125585
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哥德尔用逻辑关于上帝存在的本体论证明

证明涉及模态逻辑, 引入了 ‘□’ (必然)和’◇’ (可能) 两个算子. 有
□ ↔ ¬◇¬ (必然↔不可能不)
◇ ↔ ¬□¬ (可能↔不必然不)
□¬ ↔ ¬◇ (必然不↔不可能)
◇¬ ↔ ¬□ (可能不↔不必然)
证明如下:

公理1: 一个性质是正面的,如果它必然被一个正面性质所蕴涵。
Axiom 1: Any property entailed by — i.e., strictly implied by — a positive property is positive.
{Pos(φ) ∧ □ ∀x [φ(x) → ψ(x)]} → Pos(ψ)

公理2: 一个性质是正面的当且仅当它的否定是非正面的(一致性要求)。
Axiom 2: A property is positive iff its negation is not positive.
Pos(ψ) ↔ ¬Pos(¬ψ)

定理1: 一个正面性质是逻辑上一致的(可能有某个实例)。(直接从公理2证明)
Theorem 1: If a property is positive, then it is consistent, i.e., possibly exemplified.
Pos(φ) → ◇ ∃x [φ(x)]

定义1: 某物是类上帝的当且仅当它具备所有的正面性质。
Definition 1: x is God-like iff x has as essential properties those and only those properties which are positive.
G(x) ⟺ ∀φ [Pos(φ) → φ(x)]

公理3: “是类上帝的”是一个正面性质。
Axiom 3: The property of being God-like is positive.
Pos(G)

定理2: “是类上帝的”是一致的(可能有某个实例, 即上帝可能存在)。(从定理1和公理3证明)
Theorem 2: The property of being God-like is consistent.
◇ ∃x [G(x)]

公理4: 一个正面性质是必然肯定的。
Axiom 4: If a property is positive, then it is necessarily positive.
Pos(φ) → □ Pos(φ)

定义2: 性质 φ 是 x 的本质当且仅当 x 只具有 φ 所必然蕴含的一切性质。
Definition 2: φ is an essence of x iff for every property ψ, x has ψ necessarily iff φ entails ψ.
φ ess x ⟺ φ(x) ∧ ∀ψ {ψ(x) → □ ∀y [φ(y) → ψ(y)]}

定理3: 如果 x 是类上帝的,那么类上帝的是 x 是的本质。(定义1公理3公理4定义2)
Theorem 3: If something is God-like, then the property of being God-like is an essence of that thing.
G(x) → G ess x

定义3: x 必然存在,当且仅当 x 的每个本质都必然有某个实例。(注意,这是定义,规定“必然存在(NE)”这个词儿的含义)
Definition 3: x necessarily exists iff every essence of x is necessarily exemplified.
exemplified.
NE(x) ⟺ ∀φ [φ ess x → □ ∃y φ(y)]

公理5: “是必然存在”是正面的性质。
Axiom 5: Necessary existence is a positive property.
Pos(NE)

定理4: 必然有某个x,x是类上帝的。
Theorem 4: Necessarily, the property of being God-like is exemplified.
□ ∃x G(x)

对一道关于三扇门赌局的概率问题的解答

善科问答上提到了一道多年前曾经引起了广泛关注的概率问题,这个问题已经被很好解决了,但可能很多人并不清楚完整的解答,甚至多年来仍然坚信当年他所认定的某个答案。

以下是善科问答上的原文引用
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玛丽莲(Marilyn vos Savant,维基链接)是迄今为止最高智商的吉尼斯世界纪录保持者,她出过一道“羊和汽车”问题,曾引起美国公众的广泛关注:

假如有三扇门,其中一扇门后是一部汽车,另外两扇门后各有一头山羊。你的任务是选中那扇有汽车的门(选中就能开回家啦)。当你随机选择了一扇门,这时主持人在剩下两扇门中打开一扇后面有羊的门,并问你:“为了有较大的机会赢得汽车,你是坚持原来的选择、还是改选另一扇门呢?”

你会怎么决定呢?改选与否对你最后赢得汽车的概率有何影响呢?
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这道题是一个引人思考的好问题,但由于题目条件不足所以是个错题。

主持人行为的策略对题目结果有至关重要的影响,但该题目中你完全无法确定主持人的策略,所以也无法确定换选得车的概率。

主持人的可能策略:
1.无论你是否选中车,他都会打开另一扇没车的门。(此时换选就是2/3得车)
2.只要你没选中车,他就会打开另一扇没车的门。(此时换选就是100%得车)
3.只要你选中了车,他就会打开另一扇门。(此时换选就必然没车)
4.以上策略的概率混合策略……(根据不同的混合,换选会有不同的概率得车)

如果你完全不能判断主持人的策略,那么事实上你也不能完全确定换选之后得车的概率。

许多稍微接触过一点概率论的同学往往会有如下错觉:即便不能明确预言结果,计算可能结果的概率总是可能的。
这个直觉完全是错的,如果你不能事先确定问题的概率模型,那么你根本就无法对可能结果的概率做准确计算。
而上述这个问题中主持人的策略是概率模型中不可或缺的部分。

当然,你可以根据先前主持人的行为或其他信息对主持人会采取哪种策略的可能性进行估计,当你对此作出了估计之后,就可以对这个问题建立概率模型了。

事实上,对概率论的肤浅理解在许多时候会导致荒谬的结果。例如某些贝叶斯主义者会利用贝叶斯公式估计上帝存在和不存在的概率。事实上,如果你想要用贝叶斯公式和样本数据来估计某件事情发生的概率,首先要求这个时间的发生确实有一个明确的概率p,只是你事先并不知道这个p等于什么,只能通过样本数据对这个p做统计估计。但你能说上帝存在这件事情具有某个明确的概率p么?这是什么意思?难道你的意思是说:在每一个采样时刻,上帝存在的概率是p,不存在的概率是1-p,于是某些时刻做采样时上帝刚好存在,另一些时刻做采样时上帝刚好不存在,于是只要积累足够多的样本,我们就能越来越可靠地估计出在每一次采样时上帝存在的概率了?