一本好书中流露出的傲慢与偏见

尼古拉斯·塔勒布的《黑天鹅》总体上应该是一本好书,但不巧我第一次看到的是书中的一段设计对白,把我给恶心到了。

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我知道,肥佬托尼与约翰博士几乎没机会出现在同一地方,更不要说在一起泡吧,所以不妨把这当做一个思想实验。我将问他们一个问题,然后比较他们的答案。

尼古拉斯:假设有一个公平的硬币,抛掷后出现正反面的概率各有50%。我连续掷了99次都是正面。那么,我第100次抛掷硬币出现反面的概率有多大?
约翰博士:太简单了!当然是50%,既然你已经假设硬币正反面各有50%的概率且每次抛掷相互独立。
尼古拉斯:你的答案呢,托尼?
肥佬托尼:我会说不超过l%.这是显然的。
尼古拉斯:为什么?我假定是硬币是公平的,每面都有50%的概率。
肥佬托尼:如果你相信所谓“50%”的说法,你要么是个草包,要么是个傻子。这枚硬币里面一定做了手脚,不可能是公平游戏。(也就是说,在硬币抛出99次,每次都得到正面的情况下,你对公平性的假定很可能是错误的。)
尼古拉斯:但约翰博士说是50%。
肥佬托尼(在尼古拉斯耳边小声说):我在银行的时候就知道这些傻瓜。他们的思维太迟钝了,你可以利用他们。
现在,这两个人你更希望谁当纽约市市长?约翰博士完全在条条框框里面思考——别人给他的条条框框,肥佬托尼则几乎完全在条条框框以外思考。
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(接下来是我续的一段)
逻辑引擎:你傻逼啊,有扔一百次硬币的时间都泡到好几个马子了。
尼古拉斯:我们只是在做概率题啊。
逻辑引擎:如果你以为你们在做概率题,你要么是个草包,要么是个傻子。做题能随便扔掉题目的前提条件么?
尼古拉斯:但肥托尼确实是在解答问题啊。
逻辑引擎(在尼古拉斯耳边小声说):我在公司里见过这些傻瓜。他们自以为很聪明,看到有人正按规则做事就以为别人是只会循规蹈矩的傻瓜并加以嘲笑,这种人特别好忽悠,你随便拍拍马屁夸他们聪明绝顶就可以无偿利用他们。
现在,这两个人你更希望谁当纽约市市长?肥佬托尼完全在条条框框里面思考——别人给他的条条框框,还沾沾自喜地自已为跳出了框框,逻辑引擎则几乎完全在条条框框以外思考。
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我当然知道作者要表达什么意思,我也见过那些只会循规蹈矩做事的笨蛋,其中有些人当年还是学校里的尖子生。但作者的例子构造得实在是很犯贱,为什么不能直接拿实际的问题举例子而是拿做数学题来举例子呢?如果真要玩跳出框框的游戏,知道什么时候守规则的人比只会跳出框框还沾沾自喜的人跳得更远。其实这反映了许多人根深蒂固的傲慢与偏见,而作者在书中显然也不经意流露出了这种情绪。

【休闲娱乐】八一八电影《少年π的奇幻漂流》

不怕犯众怒,八一八电影《少年π的奇幻漂流》,阅读本八卦造成的任何程度的伤害与本人无关。

我的观后感是:视听效果不错,人物演绎感人,故事情节凑合,核心理念浅薄。但对我这个看电影向来很放松的人而言,完全值回票价。

影片中海难逃生过程的故事有两个版本,第一个版本的奇幻漂流占了主要篇幅,第二个版本仅在片尾由主人公做了简要口述。影片中奇幻版本和现实版本的映射很有意思,而印度宗教环境让我这个曾经在印度生活三年的人产生了深深的共鸣。到现在为止,印度人的英语口音还是我最容易听懂的口音,呵呵。

在我看来,很明显,作者想传达的意思是(以下内容是我所理解的作者意图,并非因自己受到触动有感而发):

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第一个故事是主人公π内心的故事,第二个故事是现实发生的故事。但现实的故事在π看来太过残酷,他不愿背负第二个故事中沉重的心理包袱,于是就将现实的故事映射为一个奇幻的童话故事。在这个童话故事中,π自己分裂成善良懦弱和邪恶残暴两部分人格,善良懦弱的部分仍是π自己的形象,而邪恶残暴的部分被映射为猛虎理查德·帕克。

如何将两个版本中的角色进行映射,在片尾已经告诉你了,我就不重复了。

他在海上经历了种种磨难,在这个过程中残暴的那部分人格让他能够得以生存。他曾经是一个多么单纯善良的孩子,不忍心杀害一个小动物,却被迫为了生存而杀戮。当水手杀死他妈妈的时候,他心中长期压抑的残暴自我就像猛虎一样冲了出来,让他杀死了水手。他被自己的残暴吓坏了。他试图跟残暴的自我保持距离,却又为了求生而不敢与残暴彻底决裂。这在奇幻漂流的版本中映射为他坐在小木排上,跟救生艇上的猛虎保持距离,却又要将小木排拴在救生艇上。愈发严残酷的海上生存环境最终迫使他学会跟残暴的自我和平相处,他不得不依靠残暴的自我杀戮求生。但他始终不喜欢那个残暴的自我。

漂流过程中那场猛烈的风暴,是众神对其杀戮行为的愤怒,而他对众神的无情也充满了抱怨。在他最艰难的时候,众神并没有帮助他,为了生存他不得不杀戮。他愤怒地质问众神:为什么要让帕克害怕!

风暴过去了,众神不再发怒了,但他却慢慢开始绝望,众神似乎永远地抛弃了他。为了生存,他只能依靠自己,与那个喜欢杀戮的残暴自我相依为命。他开始说服自己是否要接受这个现实,靠杀戮而永远地生存下去。这在奇幻漂流的版本中映射为他和猛虎登上了一个遍地狐獴的小岛,他可以在岛上靠杀戮狐獴永远地生存下去,而那个善良而单纯的他将会被众神永远地抛弃,残暴的自我永久地成为他的一部分。在岛上,狐獴对善良单纯的他好奇又友善,但他残暴的自我(猛虎)却必须不断地猎杀狐獴求生。这种感觉几乎让他发疯,在内心深处,他非常害怕这个被神抛弃的小岛。每到夜晚这个小岛就开始变得恐怖,似乎正在将他慢慢吞噬。

他终于下定决心离开这个小岛,但他清楚地知道,在回到众神的怀抱之前,他必须跟残暴的自我在一起才有机会生存下去,所以他带着猛虎理查德·帕克,重新振作了起来,坚定地离开了小岛。

终于,他被洋流带回了陆地,那是众神眷顾的世界。他担心残暴已经成为他难以割舍的部分,但当他被人们救起的时候,他意识到自己再也不需要为了生存而杀戮,而那个残暴的自我对善良的他似乎没有一丝一毫地留恋,头也不回永远地离开了他。那一刻,他嚎啕大哭。
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现在谈谈影片前面的伏笔(我记性非常不好,不能保证细节上的精确性):

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猛虎理查德·帕克是主人公π人格中残暴自我在奇幻漂流故事中的映射,但是猛虎的出现却在奇幻漂流故事之前。因此这个心理投射应该能追溯到影片中更早的内容。

奇幻漂流之前,猛虎帕克在影片中出现了一次,就是他试图拿一块生肉喂猛虎帕克,但被他父亲及时发现并阻止了,并且让他亲眼目睹了老虎杀戮的残暴。如果我们假设此时的猛虎帕克仍然是π人格中残暴自我的映射,那么这件事情自然意味着他自己年轻时第一次尝试吃肉的事件。

2005-2008这三年,我曾在印度工作。印度的素食者的比例一直在下降,但即便是我工作的时候,我身边同时朋友中的素食者也明显超过人口半数,甚至少数不相信任何宗教只相信科学的人,也是素食者。他们认为吃肉是一种很残忍的行为,但他们中许多人年轻的时候都曾经因好奇或受怂恿而有过尝试吃肉的经历,甚至连圣雄甘地在自传中也提到他年轻时有过这样的经历。所以π年轻时有过一次这样的经历是完全可能的,而他爸爸则是一个不信教的素食者。

这样一来,喂老虎吃肉的事件前前后后就可以得以顺畅地解释:他父亲始终告诫他们绝不能吃肉,这是非常危险的。但是这阻碍不了他强烈的好奇心,他不顾哥哥的反复劝阻,坚持要尝试吃肉。他哥哥去找来了父亲,及时地阻止了他吃肉的行为。他父亲对此非常震怒,不顾旁人的反对,为了让他得到足够深刻的教训,不惜让年幼的他亲眼目睹了一次老虎猎杀的过程。他所目睹的这次猎杀过程,是真实的动物园老虎猎杀的过程,给他留下了深深的烙印。
上面这段分析是错的,他父亲并不是一个素食主义者,这一点在影片中明确写交代了。这样一来这个喂老虎的可能是真实的,但他父亲让他目睹老虎猎杀的过程给他留下了难以磨灭的印象,于是他心中把老虎当作了残暴的象征。

而他心中邪恶的种子,是哥哥跟他打赌让他偷喝教堂圣水的事件中种下的。他对作家说过猛虎帕克是在喝水的时候被抓住,所以最初起名为Thirsty(口渴),后来因登记填表时跟猎人的名字弄混淆了才变成了猎人的名字理查德·帕克。这恰恰是在影射他自己那次偷喝教堂圣水被神父撞见的经历,当时神父对他说:You must be Thirsty。如此细微的双关细节我是肯定记不住的,但有心细的豆瓣网友发现了这个伏笔:http://movie.douban.com/subject/1929463/discussion/50462380/。在这个事件中,他偷喝教堂的圣水,撞见神父,而神父给他讲了耶稣替世人受难的故事,深深打动了他,于是他心中邪恶的种子就被他自己囚禁到了牢笼里。
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这个故事是一个懦弱的教徒面对不堪回首的往事的逃避。我完全能理解他的心路历程,甚至也会被他所感动,但丝毫不会被故事作者要传达的观念所煽动。

故事的主人公π关于宗教的观点在我看来很可能源自于印度的宗教领袖圣雄甘地。当年甘地为了调和印度各宗教的矛盾,也表达了类似观点,他宣称无论是哪种宗教,神即真理。作者试图调和各种宗教,也试图调和科学和宗教。作者通过π的母亲传达这样的观点:科学解决的是外部世界的问题,而宗教则是对是心灵的拯救。当然,这纯属胡扯。

科学方法可以被用于研究任何经验对象,不仅包括微观世界,生态环境,生理结构,宇宙空间,人类社会,还可以用于研究历史、政治、文化、艺术、伪科学、宗教以及自己的内心。不过请注意,研究艺术的科学并不是艺术,研究政治的科学也并不是政治,等等。只解决外部世界问题的科学,只是科学方法在外部世界问题上的具体应用。而宗教的野心自古以来就不仅限于心灵世界,只不过宗教对外部世界的解释要么完全没有现实效果,要么被科学发现所粉碎。宗教在外部世界节节败退之后,才开始在人的内心中寻找最后的避难所。但宗教能够寄居于你内心的条件就是你必须盲目坚信自己的判断。

面对困境,你可以蒙上自己的双眼假装困难不存在,也可以睁大双眼寻找答案。只要你敢睁开双眼,就永远不需要依靠任何宗教。

PS:
看了一个网友的评论:http://movie.douban.com/review/5670629/之后,我才知道这个故事跟1884年一场现实的海难故事有关,猛虎理查德·帕克的名字来自于那场海难中被杀死吃掉的男仆的名字。这可能代表作者对真实海难中杀人者的愤怒情绪,作者让这个被吃掉的孩子化身为善良的少年π被激发出来的愤怒,向当年杀死他的水手复仇。在电影中,没有出现老虎吃掉斑马、鬣狗和红毛猩猩尸体的镜头,但它们的尸体后来都莫名其妙地消失了,可能被作者或编导故意回避了,不知道作者是否暗指少年π吃掉了其他人的尸体,不过无论怎样解释都说得通。

【流言终结】一个广为流传的关于爱因斯坦与佛教的谎言

“爱因斯坦所写自传的谈论中,他谈到 “他不是一名宗教徒,但如果他是的话,他愿成为一名佛教徒。””
“爱因斯坦:如果有任何能够应付现代科学需求的宗教,那必定是佛教。”

“未来的宗教将是一种宇宙宗教。它将是一种超越人格化神,远离一切教条和神学的宗教。这种宗教,包容自然和精神两个方面,作为一个有意义的统一体,必定是建立在由对事物的——无论是精神,还是自然的——实践与体验而产生的宗教观念之上的。佛教符合这种特征。”
——爱因斯坦

上述内容在索达吉刊布的《佛教科学论》中第一章第四节和第二章第五节两次被引用,第六章第四节甚至更加露骨地说:“爱因斯坦曾说:“佛教是一切科学的源动力。””

有些网络来源还给出了所谓的英文原文:
“The religion of the future will be a cosmic religion. “Buddhism has the characteristics of what would be expected in a cosmic religion for the future: it transcends a personal God, avoids dogmas and theology; it covers both the natural & spiritual, and it is based on a religious sense aspiring from the experience of all things, natural and spiritual, as a meaningful unity. Buddhism answers this description. If there is any religion that would cope with modern scientific needs,it would be Buddhism.”
— Albert Einstein

有些地方甚至还给出了这段话的所谓原始出处:[1954, from Albert Einstein:The Human Side, edited by Helen Dukas and Banesh Hoffman, Princeton University Press](中译本《爱因斯坦谈人生》)

此类言论,要么从未给出出处,只是转自其他佛教徒的言论,要么在所给的出处中根本找不到。参考:
http://en.wikiquote.org/wiki/Talk:Albert_Einstein#Einstein_and_Buddhism:_a_widely-cited_but_spurious_quotation
http://tricycleblog.wordpress.com/2007/10/26/einsteins-quotes-on-buddhism/

感兴趣的同学可以去爱问共享资料(http://ishare.iask.sina.com.cn/)搜索“爱因斯坦谈人生”的非扫描版,自己搜搜看。书中对佛教提都没提过一次。而上述那段所谓的英文原文,是曾访问过爱因斯坦的传记作家Helen Dukas自己说的话,跟爱因斯坦毫无关系。

《爱因斯坦谈人生》这本书中,爱因斯坦不但没有提到任何关于佛教的观点,而且在1954年3月27日的一封信中还说过这样的话:
“你所读到的那篇有关我的宗教信仰的文章当然是个谎言,有人故意地不断重复散布这个谎言。我不相信什么人格化的上帝,我从不否认这一点,而一向说得清清楚楚。如果我身上有什么称得上宗教性的东西,那就是一种对迄今为止我们的科学所能揭示的世界的结构的无限敬畏。”

我在网上还见到这样一个佛教徒,从大恩上师那里听到上述说法,说给别人听的时候被人质疑,于是他到处试图寻找出处,却完全查不出爱因斯坦这段话。即便如此他却仍然坚信上师的话不会错,甚至认为即便爱因斯坦本人从来没有说过这样的话,上师也没有错:“上师没有过失,因为即便佛陀住世时也是对不同根基的众生说过许多方便语的。”。什么是佛教的“方便语”?说白了,就是先编个瞎话忽悠你上道儿,等你着了道儿后面就好办了。

被不断重复的关于爱因斯坦信仰的谎言包括:爱因斯坦信奉基督教、爱因斯坦推崇佛教、爱因斯坦信奉犹太教……
当然,不仅仅是爱因斯坦,那些最有名望的科学家都逃不过被各路教徒拿去招摇撞骗的命运。包括多次公开明确表示过自己没有宗教信仰的科学家,例如罗素、霍金……
最近,又有人盗用杨振宁的名号宣传佛教。

不要说爱因斯坦等科学家根本就没有上述观点,就算爱因斯坦真的持有这些观点又怎样?充其量证明他在某些事情上也会糊涂而已。是骡子是马,拉出来遛遛。如果你的观点有效,你拿出来给大家分析检验就好了,打着著名科学家的旗号增加不了你理论的有效性。爱因斯坦显然没有因为牛顿的名气大就对他的理论深信不疑。

【数学科普】数系为什么要一次又一次地扩充?

自然数、整数、有理数、代数数、实数、复数,数学家们为什么要一次又一次地扩充数系呢?

这里你将遇到一个关键词:『封闭』。我们说数系对某个运算是『封闭』的,意思是任何属于该数系的数经该运算后得到的结果仍属于该数系,例如实数系对于加减法运算都是封闭的。如果一个数系对某运算不封闭,那每当你使用该运算时,就要分条件讨论运算结果是否仍属于该数系。这对于单一的运算还不是特别严重的问题,但如果一个表达式包含了许多该运算的步骤,条件分支的组合数量就可能会指数爆炸。所以,如果我们能设法使数系对一个运算封闭,就可以放心大胆地在表达式中使用该运算而无需分条件讨论。

从最简单的例子开始,假设我们有一个有限的数系,只包含三个数{1,2,3},这个可怜的数系对『后继』这个简单运算都不封闭,3的后继显然不属于{1,2,3}这个数系。我们可以扩充这个有限的数系使之对后继运算封闭,这样我们就可以引入自然数(其实还有别的方案,例如把这些数字排列成一个圈,这种结构也是数学家和工程技术中常用的,但这种结构缺少自然数所具备的另一些有用性质,并不能取代自然数,本文对此也不再深入讨论,有兴趣的同学可以学习高等代数)。任何自然数的后继仍是个自然数,所以自然数对后继运算是封闭的。有了对后继运算封闭的自然数,我们还可以基于后继运算进一步定义加法和乘法。自然数不但对后继运算封闭,对加法和乘法也都封闭,任意两个自然数相加或相乘仍是自然数。但自然数对后继的逆运算(前驱)并不封闭,1没有前驱,这使自然数对加法的逆运算(减法)也不封闭,此外自然数对乘法的逆运算(除法)也不封闭。为了对前驱和减法封闭,就需要将自然数扩充为整数;为了对除法封闭,就需要将自然数扩充为·正·有理数。这两项扩充放在一起,我们就有了有理数这个数系。很不幸,我们无法无矛盾地将自然数扩充为对减法和除法两个运算同时封闭的数系,有理数(包括正有理数负有理数和0)对减法封闭,但必须去掉0才能对除法封闭,虽然有这个不便导致有时候我们不得不分条件讨论除以0的情况,但在许多情况下这并不困难,因此除了遇到可能除以0的情况,我们仍然可以放心大胆地在有理数中使用四则运算(加减乘除)表达式而无需太多讨论太多条件分支。

有了乘法运算就可以定义乘方运算,在我们解涉及未知数乘方的方程时就遇到了开方运算。古希腊毕达哥拉斯学派的数学家希帕索斯证明任何有理数的平方都不等于2(证明很简单有兴趣的同学可以搜搜看),虽然能找到平方任意靠近2的有理数。不但如此,也不存在平方等于-1的有理数。古代数学家曾经长期认为对负数开偶次方没有意义,因此最初并没有尝试建立一个对开方运算完全封闭的数系,只想建立一个除了对负数开偶次方之外的情况封闭的数系,例如由有理数通过有限次四则运算和乘方开方运算(负数开偶次方除外)任意复合运算得到的数,不妨称为根式数(无正式名称),以及所有整系数代数方程的实根构成的·实·代数数(比根式数的数系更大),但正由于这些数系都不能对开方运算完全封闭,以至于连三、四次方程求根公式都需分若干情况讨论,极为不便,以至于在数学中用得并不多。后来的突破是建立了对负数开方也保持封闭的数系,也就是(复)代数数,该数系对于开任意次方运算都完全封闭,任意整系数代数方程在该数系中都具有数量与方程次数相同的根,而且对四则运算的支持和有理数一样好,完全可以取代根式数和·实·代数数。

到了这里,我们首先提到了(复)代数数,却还没有提到实数,这跟中小学数学教育过程不同,中小学是先学了实数(但并未澄清实数是什么),然后才学复数。不过实数系的建立确实超出了小学初中的数学水平,是现代数学分析的基础。前面提到了乘方运算的逆运算,开方运算,也就是已知幂和指数求底数的运算,但乘方运算还有另一个逆运算,已知幂和底数求指数,我们前面谈到的任何一个数系对这个运算都不封闭,但数学家们没有专门为了封闭这个运算而扩充前面提到的数系,柯西和他同时代的数学家们走了另一条路,也能顺带解决对数运算和一大堆其他运算的封闭性。当时的数学家已经需要大量处理极限和微积分的问题了,他们需要数系在极限运算下仍然保持封闭。柯西定义了一种今天被称为柯西序列的东西,不太严格地说,只要在这个序列的前面去掉有限但足够多的元素之后,剩下的任意两个数的距离都不超过事先给定的任意小的正数。一个无限逼近根号2的有理数序列就是这样一个柯西序列,但这个序列最终逼近的根号2并不属于有理数,所以有理数对柯西序列求极限的运算并不封闭。事实上很容易证明代数数也不能对柯西序列求极限的运算收敛,虽然代数数包括根号2之类的数。而一个数系对柯西序列求极限的运算收敛是保证能够在这个数系上正确地做微积分的前提条件,『实数』就是满足这种要求的数系,但其严格基础直到19世纪末才由康托和戴德金建立。『实数』这个名字其实非常误导,最初这个名字仅仅是为了跟『虚数』加以区别,二者合称复数,那个时候实数和复数的真正含义特指前面提到的实代数数和(复)代数数,跟柯西序列求极限的运算没有直接关系。但由于很长一段时间微积分等数学分析工作没有涉及复数,所以『实数』这个名字后来就演变为由(实)有理数扩充而满足对柯西序列求极限的运算封闭的数系,也就是今天的实数。把这个扩充推广到复代数数中,就得到了今天意义上的复数。于是人们在复数上也建立了数学分析——复分析。许多实分析中不太优雅的定理和公式在复分析中都有简洁漂亮的推广。

再前面的每一次数系扩充过程中,扩充后的数系对原数系中本来就封闭的运算继续保持封闭,并且增加了新的封闭运算。因此无论是实数还是复数,对四则运算的支持都跟有理数一样好,我们可以轻松地在实数和复数中书写四则运算式,而除了“除以0”之外什么都不用担心。

至此,我们囫囵吞枣地介绍了数系扩充的过程,从有限数{1,2,3}一直扩充到实数和复数。这个扩充过程中,人们并不仅仅满足于使数系对某些运算封闭,还详细研究了数系扩充之后带来的新性质,其中许多性质都非常有用。比方说,复数可以表示为实部和虚部两部分,还可以表示为幅值和极角,而这种表示对指数和三角函数运算会带来许多意想不到的便利。另一方面,实部和虚部这种表示方式还可以对应到平面上的点,所以用复数来处理平面上的问题也往往会带来便利。但不要以为复数仅仅是平面上的矢量,虽然复数的加法对应矢量加法,但复数的乘积并不对应矢量的乘积运算。建立复数是为了处理代数方程求根的问题,而处理平面向量问题只是复数带来的意外收获。处理一般的向量问题更方便的工具是向量分析。

有人可能会问,复数是否还能进一步扩充,处理更高维的问题?这个问题无法简单地回答。事实上,已经有人把复数扩充为四元数八元数十六元数等,都是一种叫Clifford代数的子代数,但这些扩充跟我们之前提到的扩充很不相同。数系的每一次扩充都会破坏原有数系的部分性质,例如任何两个自然数之间的自然数是有限的,但有理数不具备这个性质,有理数是可数的,但实数不是……,但我们特别关心的四则运算的一些基本性质,乘法和加法的交换性和结合性,以及乘法和加法的分配律,在我们前面的扩充过程中从未受到破坏。但四元数乘法不满足交换性,八元数乘法不满足交换性和结合性(但满足一种叫“交错性”的比结合性更弱的性质),而十六元数的乘法连交错性都不满足。也就是说,确实可以进一步扩充复数,但四则运算的一些我们很关心的性质会受到破坏。已经有人证明,对复数的进一步扩充无法保证四则运算的所有这些性质。

数系

图中给出了从自然数开始,不断封闭更多运算所得到的数系,直到复数。

【物理科普】热力学第二定律的起源和热力学时间箭头

本文的读者是有一些统计物理学基础但仍然对热力学第二定律的来源感到疑惑的同学。

目前我们所知道的微观世界的物理规律都是可逆【注1】的,但与此同时,热力学第二定告诉我们物理系统在宏观上不可逆,任何处于非平衡态的宏观孤立系统似乎都会不断义无反顾地向熵极大的平衡态演化,没人见过相反的过程。这看上去是一个严重的矛盾:微观上我们已知的所有物理规律都是可逆的,那么宏观上的不可逆性到底是从什么地方冒出来的呢?难道是因为我们所掌握的微观物理规律有错需要修正?如果宏观上如此明显的不可逆性起源于微观物理规律的不可逆性,为什么我们在微观上却从来观查不到?难道说微观物理规律本来只有极其微小的不可逆性以至于我们从未观察到,却由于某种原因在宏观尺度上被剧烈地放大了么?

本文要向同学们说明这样一件事:宏观物理规律的不可逆性完全不必起源于微观物理规律的不可逆性,在微观物理规律完全可逆的前提下,我们照样能看到宏观物理规律的不可逆性,而且这件事情非常自然。

先解释一下两个概念:“宏观状态”、“微观状态”。

经典力学中,微观状态对应相空间中的点,包括系统中每个微粒的位置和动量,相空间是包含所有可能微观状态的集合。量子力学中,微观状态(量子态)对应希尔伯特空间中的矢量,希尔伯特空间是包含所有可能微观状态的集合。如果微观物理规律是可逆的,那么给定物理系统某个时刻的微观状态,物理规律就可以唯一地确定系统未来或过去的状态。

而物理系统的宏观状态则是一组给定的宏观测量仪器(例如温度计、压力表、测距仪、照相机、眼耳鼻舌口皮肤等等)的可分辨状态。如果若干不同的微观状态对于这组仪器完全无法分辨的,就说这这些微观状态都对应同一宏观状态。

因此,宏观热力学状态对具有指定能量的微观状态集(等能量面)构成了一个粗粒划分,等能量面上对应同一宏观状态的所有微观状态构成了一个“状态粗粒”,我们称这种划分为“粗粒化”。粗粒化一般是不均匀的,不同状态粗粒包含的微观状态数量(或体积)多少不一相差极大。最大的宏观状态粗粒就是那个所谓的热平衡状态对应的状态粗粒。

当我们说某个物理系统处于某个宏观状态,其实是说系统所处的微观状态属于对应该宏观状态的那个状态粗粒,但我们并不能确定具体是哪个微观状态。熵就是衡量这种不确定性的大小的量。有统计物理学基础的同学看到这里立即能想到波尔兹曼的熵的微观定义S = k \ln \Omega,其中S是熵,k是波尔兹曼常数,\Omega是该宏观状态对应的微观状态数【注2】。

不均匀粗粒化的一个直接后果就是:即便微观物理规律完全是可逆的,但由于大的粗粒包含更多的微观状态,因此从小状态粗粒出发进入大状态粗粒的概率就大于相反过程的概率。由于宏观上大状态粗粒对应高熵宏观状态,小状态粗粒对应低熵宏观状态,因此系统从低熵状态出发进入高熵状态的概率就大于相反过程的概率。所以,如果系统最初位于某个熵极低的宏观状态,那么系统就会以极大的概率向高熵宏观状态演化。

也就是说,热力学第二定律来源于粗粒化的非均匀性,而不可逆性则源于宇宙当前所处的低熵状态。

事实上,庞加莱的无限回归定理【注3】表明,只要一个孤立物理系统曾经熵增,经过足够长的时间就一定会熵减。但在绝大部分时间,孤立系统都在熵极大的热平衡态附近来回晃悠(涨落),经过很久很久才会极其罕见但迅速地“不小心”涨落到低熵状态,但接下来就会迅速地回到高熵状态。跟漫长的热平衡阶段相比,低熵状态的阶段只是一些极为短暂的瞬间。对于宇宙来说,这个低熵瞬间的长度都比大爆炸以来的宇宙年龄长得多,而热平衡阶段则不可思议地漫长。

在孤立系统从高熵状态涨落到低熵状态的过程中,熵随着微观物理时间参数(不妨称为“物理时间”)的增加而减少,也就是说此时热力学第二定律所确定的热力学时间箭头跟微观状态演化的物理时间的规定方向相反。既然如此,我们可能看到整个宇宙发生大范围熵减的过程么?很不幸,完全不能。我们的心理时间箭头是由热力学时间箭头决定的,对我们而言宇宙的“过去”总是对应低熵状态,宇宙的“未来”总是对应高熵状态,我们能记住低熵的过去,却记不住高熵的未来。即便宇宙的熵随着物理时间的增加而减少,我们也会把物理时间增加的方向当成过去,把物理时间减少的方向当成未来,以至于只能看到熵增。事实上,微观物理时间的方向规定本来就是随意的,我们完全可以认为今天宇宙的熵正在随着物理时间的增加而减少,但由于我们的心理时间方向跟热力学时间方向相同,以至于我们仍然以为宇宙的熵在增加。

这里有一个很好的类比:无论你在南极还是在北极,你都会发现重力方向是“向下”的,但南极上看来向下的方向在北极上看显然是向上的,既然如此我们站在北极的时候为什么不会认为重力是向上的呢?那是因为我们规定物体下落的方向就是下方,而物体下落的方向恰恰重力方向决定的,所以无论你站在地球上什么地方,你都会认为重力是向下的。同样,无论宇宙的熵随着微观物理时间的流逝增加还是减少,你都会发现时间方向是“向未来”的,因为心理上所谓的“未来”方向恰恰是宇宙的熵增方向决定的。

有人可能会问,既然低熵状态这么罕见,为什么我们今天的宇宙还处于低熵状态?无论低熵状态多么罕见,只要经过足够长(真的非常非常长)的时间,宇宙总是会很“不小心”地涨落回低熵状态,而只有在这些阶段才能存在生命。

微观物理规律的时间可逆性和宏观热力学时间方向性之间,没有任何难以调和的矛盾。

【注1】有些同学可能不清楚『可逆』和『时间反演对称』之间的区别。『时间反演对称』是说系统的物理规律在时间参数取负(t变成-t)时保持形式完全不变,通俗地说如果你给这样的系统拍一段录像,那么倒放这段录像时你看不到任何物理规律被破坏。而『可逆』是说从系统的当前状态不但可以唯一确定后续状态,还可以唯一倒推出先前状态,通俗地说,两个不同微观状态经过一段时间不会变成同一微观状态(信息丢失),一个微观状态经过一段时间也不会不确定地进入两个不同微观状态之一(信息增加)。可逆的系统未必时间反演对称,时间反演对称的系统也未必可逆。在量子力学中,可逆性对应的是“幺正性”。

【注2】在信息论中,概率为p的事件的信息量是-\ln p,而系统的熵定义为所有事件的信息对其发生的概率加权求和:S = \sum\limits_i {- p_i \ln p_i},如果系统等概率地处于\Omega个状态之一(此时p_i = 1 / \Omega),那么系统的熵就是 S = k \ln \Omega。所以信息论中的熵和统计物理中的熵,除了差一个玻尔兹曼常数k之外,意思是完全相同的。

【注3】庞加莱无限回归定理:如果等能量面容积有限,那么只要经过足够长的时间,一个孤立物理系统的微观状态将任意次回到任意靠近初始状态的地方。于是物理系统的微观状态实际上可以无数次任意靠近任何一个曾经路过的微观状态。注意,千万不要把无限回归定理和各态历经假设混为一谈,各态历经要求只要经过足够长的时间,一个孤立的物理系统的微观状态将任意次任意靠近等能量面上的任意微观状态。二者的区别是,无线回归可能仅仅对等能量面上的一个连通的子集能够做到各态历经,并不一定对整个等能量面各态历经。

——————————————————————————————————
附:
我用程序模拟运行了一个由若干硬币构成的孤立的玩具动力系统。

其中每个硬币有正面反面两个状态,n个硬币构成的系统有2^n个不同的微观状态,可以由一个n位的二进制串来标记,例如001011101...1001。而系统的宏观物理量则是正面硬币的数量(假设我们的宏观仪器只能观测到正面的总数,无法看清每一个硬币的正反面),于是系统对于这套宏观仪器来说有n+1个不同的宏观状态,可以用S_i(i=0,1,2...n)来标记。显然,有0个正面的宏观状态S_0和有n个正面的宏观状态S_n对应的微观状态最少,分别只有一个,而正面数量在\lfloor n/2 \rfloor\lceil n/2 \rceil宏观状态对应的微观状态数最多,是\left( \begin{array}{c} n \\ \lfloor n/2 \rfloor \end{array} \right)

系统的动力学规律这样设定:对应每一个具体的微观状态,有一个唯一的前驱状态和一个唯一的后续状态,要求前驱和后继状态只有一个硬币的正反与当前状态不同,在这个限制下完全随机设定。对所有的微观状态做了这样的设定之后,状态空间中的2^n个状态通过前驱后续的关系就构成了若干个闭合回路,任意选取其中一个状态迁移的回路,就可以观察系统熵的变化。

下图是一个由9个硬币构成的玩具动力系统的熵变过程,横坐标是物理时间,纵坐标是系统当时的熵。该系统的微观状态数是2^9=512,而我们随机构造的状态迁移回路长度为98。可以看到,在这个状态回路中,系统大部分时间都游荡在最大熵状态附近,少数情况下系统会游荡到低熵状态,对应图中那个尖尖的深谷。
9coins-entropy
如果把硬币数量增加到100,那么典型的状态回路长度就会变得不可思议地巨大(数量级上与2^{100}相差不远),随机生成的动力学状态回路长度会过于巨大以至于我们几乎没可能在有生之年看到一个随机状态回路的完整周期。但我们可以看看这个状态回路中极为短暂的一个低熵瞬间。下图显示了100个硬币构成的动力系统游荡到低熵状态前后约300个时间单位的瞬间。
100coins-entropy(300iterations)
下图显示了该系统从0熵宏观状态开始的400,000个步骤的熵变,可以看到除了从0熵出发的瞬间,系统始终在最大熵状态附近游荡,我们基本上没可能在有生之年看到该系统再次回到0熵状态。
100coins-entropy(400000iterations)

又一个巨大的数学反例

反例:
Let f(n) = GCD(n^17+9, (n+1)^17+9), then f(n) = 1 for all n < = 8424432925592889329288197322308900672459420460792432 but f(8424432925592889329288197322308900672459420460792433) = 8936582237915716659950962253358945635793453256935559 > 1

【转载】教徒传教失败经验总结贴。那是相当地奇葩,请骗子们务必引以为戒:P

http://lt.cjdby.net/thread-1436964-1-1.html

失败类总结:

夜间打电话:“天使加百列”的果效不好,还很危险;
有人用这种方式夜间被巡警发现,上前盘问,差点儿被抓。

愚昧死缠:很容易引起对方反感造成出事。

癞蛤蟆写字:我们这个地方用这种方式多失败。
天没亮时,将身上写出“灭亡”二字的癞蛤蟆送到福音对象家,
他家人起床后发现,将癞蛤蟆送到村部,村部又送到派出所。
派出所就怀疑本村的神家姊妹,结果有二人先后被抓关了半个月。

白磷写字:用白磷写字不小心着火的多,将对方手或脚烧伤,被子烧着,导致对方生气而失败。

异性之交:用情感方式我们的人陷进去了,导致失败。

过早地把方式告诉给对方:因对方还有完全定真,导致对方产生观念。
例如;有一个姊妹要到一个传福音对象家,就先把自己的裤角撕坏,
假装找针线与其接近,可刚把人做过来就把自己是如何撕裤角,
然后又以找针线为名与其接近的过程讲给对方听,
结果对方认为受到愚弄而放弃真道。

过早地否认宗派带领或过早地把神家咒诅宗派恶带领的事告诉对方,
对方还没有完全定真就把对方所崇拜的带领给否了,还说贬低的话,
导致对方有观念而不接受;还有的没等对方定真就把神家祷告咒诅恶带领的事告诉对方,
使对方产生观念拒绝接受。

一弟兄与一宗教界姊妹用新方式,因对方丈夫不在家,晚上弟兄就在对方家留宿,
让对方家人看见引起怀疑,被打又送入派出所。

看对方已接受,一时激动把教会的所有事都告诉了对方,导致失败。

扣人:用情感方式把人带去见证,对方发现摸底姊妹的目的后就不想听要走,
但大门被锁走不了,便忍着听,回家后不接受还宣扬说是被扣留不给走的,影响不好。
还有将各宗派反锁在家不让走,想多谈谈给他听,但对方反感导致失败。

学死去之人的声音:用VCD上的恐怖声音加上我们学的鬼叫声录在磁带里,
买来鱼竿和喇叭,半夜对着他家的窗户放音,放完后再去他家并无任何反应,也有的特别反感。
我们用了12次,失败12次。

蛇身上写字:将写有“凡不信全能神的都是我儿”的蛇放在福音对象家的草垛里,
被家主发现后报案,导致官府追查,声称发现信全能神的不举报者罚款2000元。
虽无人被抓,但福音工作却受到了拦阻。

对于那些抵挡、搅扰严重的,晚上扮演“僵尸”去吓唬他,
把对方吓得“嗷、嗷”直叫,自行车扔了多远。

将各宗各派的鸡药死,将对方的稻子用灭草剂打死。

晚上装鬼吓对方,几个弟兄跑到对方房间里用硫酸撒在对方身上,差点被抓。

用不正当的方式传福音让小宗反感失败多。如:
往小宗家放蛇蛤蟆,在蛇身上写字,晚上装鬼说鬼话,往小宗家烟囱里放录音机,放鬼带。

演疯戏:扣人时间长,小宗的家人找不着人,告到公安局而出事。
A、在演疯戏时,因小宗不听话,借赖子打小宗,有时还不给饭吃,不给水喝,强迫小宗考察接受真道。
B、把小宗家的牲畜药死,或把牛牵走,叫对方着急,然后我们再去帮他。
C、扣压小宗,不接受就拍照片,留内衣。
D、演鬼戏:拉好关系后,想尽一切办法把对方调出来。

对方不接受时,咱们就找人演被鬼附了,说对方把鬼带来了。
A、因着咱们人多,对方害怕,多数是吓的或当时假装接受,是为了赶快离开这个地方,以后咱去找对方时说什么都不信了。
B、对咱们的环境不利,人太多,说着说着声音就大了,引起邻居注意,有的10天,有的半月,时间一长,弟兄姊妹也配合不上去了,这个方式是人力、物力太大,收获太小,还能引起环境。
例如:青岛、德州的环境多数是因此而引起的。

用一些没有结婚的小姊妹拉感情不好,有的在拉情感的过程中怀孕了,有的就陷进去出不来了,好一点的还跟着信,有的就直接不信了。

在鸡蛋上刻字:这个方式一旦跟不及时,宗派就带着好奇心到处说,有的上了电视,有的上了报纸,其中有一次,有个弟兄还让派出所的人抓去了,派出所的人说弟兄是扰乱民心。

宗派的人调出来让他给咱讲道,咱用查宗教的方式,硬把宗派的人扣住,长达七天,最后宗派家属联合派出所抓了咱七个人,因此有好几个接待家庭不能用了。

用抓奸的方式:当时咱们抓住宗派的人紧接着就是一顿打,打得有点重了,宗派就有了报复的心(当时咱们并没有看出来),又过了两天,姊妹去宗派家,宗派的人打110,现在姊妹还在看守所里绣花。

用杆子挑着蛇往宗教的人身上放;有的直接打110,有的说是真道也不接受。

有个二线用演鬼的方式,宗派的人老想走,咱们演鬼的人就开始大闹,也打宗派,也骂宗派,不小心让宗派的人跑了,有个弟兄紧接着追上,把宗派的人硬拖回来,把宗派的鞋子都拖掉了,腰带也弄坏了,最后宗派的人大喊“救命”,跑到外邦人家打了110,因此出了环境。

告诉大家一个读Marx《资本论》的好方法

你下载个非扫描的文字版《资本论》,把里面所有的『使用价值』全局替换成为『个体偏好』,然后再把里面所有的『价值』替换为『劳动时间』,你就知道资本论是一本脑残到什么程度的书了。

Marx在《资本论》中的一个核心观点就是资本家剥削工人。自愿交易双方均无欺骗的情况下说资本家剥削纯属忽悠。如果资本家欺骗工人,可以说他剥削,但工人也经常会欺骗资本家,因此欺骗绝非资本家的专有属性。

有人认为由于资本家是强势的,他们永远比工人聪明,所以资本家很容易欺骗工人,工人很难欺骗资本家,这纯属一派胡言。我多年打工很清楚地知道打工者经常会以各种各样的违背当初跟公司签订的合同内容的方式偷偷占公司的便宜,而公司虽然会出台一些管理手段阻止某些人这样做,但为了避免太大的效率损失,从来不能管得太严。当然公司也经常会耍弄一些欺骗性的伎俩忽悠打工者付出,欺骗的程度取决于具体的公司。我们顶多可以说资本家的欺骗行为可以把从很多工人身上骗来的好处集中在资本家自己手里,而很多工人欺骗资本家也只能把从资本家身上骗来的好处分散到大家手里,不能说资本家很容易欺骗工人,工人很难欺骗资本家。你当然可以说资本家是强势的,但这丝毫不意味着他们比工人更坏。

之所以马克思认为资本家剥削工人,是因为他创造了一个劳动价值论。他这个价值论最大的欺骗性在于他将『价值(value)』直接定义为『劳动时间』,然后在整本《资本论》里把这个明明根本不同于我们日常概念中“价值”含义的『劳动时间』故意跟日常概念中的“价值”概念混淆反复偷换,让读者误以为日常概念的“价值”可以通过『劳动时间』来衡量。

日常概念中同一个东西对于不同人的不同目的而言价值都是不同的,一个人在特定状态下可以比较不同选项的价值高低,并选择当时自认为最为偏好的选项加以执行。所以日常概念中价值是具体个体对其当前面临的某选项的偏好次序。Marx把日常概念中这个“价值”改了个新名字叫『使用价值(use-value)』,这样一来,你就很容易在阅读《资本论》的时候把Marx的『价值』与日常概念的“价值”混淆,当有人质疑Marx的『价值』并不是通常所说的“价值”时,你还可以拿出Marx说的『使用价值』告诉他人家已经考虑了这个问题了。

正因为同一物品对不同个体而言偏好次序不同,因此才会出现自愿的商品交换。也就是说,交换的双方都更加偏好对方手中物品,因此交换导致双方意愿的共同满足。当然,这中间可能出现误判(比方说自己无知或对方欺诈等原因),于是交换后可能会发生后悔。

而工人之所以愿意付出劳动换取工资,资本家之所以愿意用工资换取劳动,同样说明双方更加偏好对方的物品:劳动、工资,因此雇佣关系实际上就是一种双赢的物品交换。

Marx硬说商品交换原则『应该』是等价交换。但事实是商品交换的双方都以牟利为目的,只要交换双方都能达成这个目的,谁会关心自己拿来参与交换的物品跟对方的物品是否有相等的『劳动时间』?因此他所给出的这个『等价交换』的应然原则毫无意义。

Marx创造了『价值』、『使用价值』两个术语之后,就开始运用辩证法硬说这两个概念是『统一』的。由于前面我们说过了,Marx把『价值』定义为『劳动时间』,把日常语言中表示『个体偏好』的“价值”改名叫『使用价值』,因此他说『价值』和『使用价值』是统一的,实际上是硬说『劳动时间』和『个体偏好』是统一的。

事实上,劳动者是否愿意花一定的劳动时间去生产一个商品,取决于他自己的偏好,也就是他认为能否用该商品换回比所付出的劳动更重要的东西,而这又取决于别人对这个商品的偏好。如果我们引入大量不同偏好的个体参与的市场,并且使用了货币,就可以导出供求曲线,二者的焦点决定了商品的市场价格。现代经济学理论的基础均可由此建立。

井底之蛙爬出了水井……

井底之蛙历尽千辛万苦爬出了水井,来到了院子里,它惊讶于院子的雄伟气派,它赞美院子,它不允许任何人说院子的坏话,它认为任何说院子坏话的都是井底之蛙。是啊,如果不是井底之蛙,谁会批评伟大的院子呢?

普世价值就是那个院子,但院子外面的世界更精彩。跟马克思主义相比,普世价值忽悠的成分更少。但我们非要被忽悠才能生存么?马克思当年追求的那些东西放在今天跟普世价值所追求的东西并没有多大差别。

The road to hell is paved with good intentions.

形式对称的Fourier transform

从Wikipedia: Fourier transform上看到的:

    \[ \hat{f}(\xi) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{-2\pi i x\xi}\, f(x)\, dx \]

    \[ f(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{+2\pi i\xi x}\, \hat{f}(\xi)\, d\xi \]

由此:

    \[ \delta(x)= \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, e^{2\pi i\xi x}\, d\xi \]

    \[ f(x) = \int\limits_{-\infty}^{+\infty}\, \delta(x-y)\, f(y)\, dy \]

    \[ (f \star g)(t) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\, \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau)\, g(t - \tau)\, d\tau = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t-\tau)\, g(\tau)\, d\tau \]

卷积定理:

    \[ \mathcal{F}(f \star g) =  \mathcal{F} (f) \cdot \mathcal{F} (g) \]

其中\mathcal{F}是Fourier变换。
微分定理:

    \[ \mathcal{D}(f \star g) = \mathcal{D}f \star g = f \star \mathcal{D}g \]

其中\mathcal{D}是微分算子。

【专栏文章】什么是病?——《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载

《大科技 百科新说》『无信仰者』专栏文章,请勿转载
2014.09B
作者:逻辑引擎
编辑:波音

对于每一种特定的疾病,如何诊断、治疗、预防都是医学问题。我不是医学专家,无法给出任何有效的建议。要看病,请出门右转找医院。

但一般意义上“什么是病?”,并不是一个医学问题,而取决于日常语言中“病”这个词汇约定俗成的含义。

很多人对病的理解完全来自于医学标准,医学上规定什么是病,那些状况就是病了。但医学上又如何确定什么样的身体或心理状态是病呢?对于这个问题,人们往往就不是很清楚了。虽然每个人都可以举出疾病的某些特征,例如疼痛、异常、感染等等,但这些的特征都不能准确地“病”这个概念。

例如,疼痛不一定被当做病,挨一巴掌也会疼痛,但这种疼痛通常不被当做是一种病态,因为我们几乎不用支付任何医疗费,时间就可以缓解疼痛。反而没有任何痛觉,才会被当做是一种病态,因为没有痛觉的人很容易受伤而不自知,这是人们所不希望出现的状态。

异常也不一定都是病态,比方说“心肺功能异常强大”、“抵抗力异常强大”等等,甚至还有极少数人完全不受艾滋病毒的侵害,这些异常情况都不会被当做病态,因为几乎没有人会试图预防或改变这种状态。

感染寄生生物也有例外,寄生在人体肠道的许多细菌被认为是有益的,甚至是不可或缺的,拥有这些细菌,不会被当做是病态。而现代生物学甚至推测,广泛存在于真核细胞(包括人体细胞)中的线粒体,可能最初是真核生物的单细胞共同祖先体内寄生的细菌。经过长期演化,细菌跟宿主真核细胞的关系早已从寄生变成了共生。而宿主细胞对线粒体的依赖是如此之强,以至于根本无法离开线粒体而独立存活。这就是线粒体起源的内共生学说。

所以上述这些特征很难用于澄清什么是病。事实上,一种身体或心理状态能够被称为病,一个必要条件是,这种身心状态是人们所不希望获得的,要么是当事人自己不希望,要么是他身边的人不希望。如果某种身心状态是人们普遍不希望获得的,那么对这种状态的预防或改变,就会成为一种市场需求,提供满足这种需求的服务就是有利可图的。
于是,医学界会为了满足这种市场需求,而将这种身心状态定义为——疾病,并寻找相应的诊断、治疗和预防的技术手段。

对于身体上的疾病,一般都是当事人自己所不想要的某种生理状态,而不是他身边的人所不想要的某种生理状态。但也有例外的情况。比方说某些人天生不受某种病毒的侵害,却有可能携带病毒传染给其他人,这种情况下,医学上会说他是该病的携带者,就算他自己并不介意携带这种病毒,携带病毒的状态也会被当做是一种病态。如果这种病毒对于多数其他人极度危险,医生甚至还会为了保护其他人而限制这个携带者的自由行动。

而对于心理上的疾病,有些心理状态是当事人本人所不想要的,也有许多是当事人觉得无所谓而身边的人不能接受的,比方说那些因心理问题而生活不能自理必须靠别人照顾赡养的人,或者因心理问题而倾向于攻击别人的人。即便这些人自己完全不觉得自己的状态有什么不好,甚至自己还感觉相当良好,他们也会因为给别人带来麻烦而被当做是心理上的病人。

总之,病是人们所普遍不希望获得的那些生理或心理状态,人们愿意为了预防或改变这种状态支付一定的医疗费用。对于这样的生理或心理状态,医学上才会称其为病,并为其确定诊断标准,寻找预防或治疗的手段。

这是之前我在微博上的讨论:
http://weibo.com/1847715921/yaDuIlMGh

抬杠专业户是怎样炼成的~~

不知多少次,有人跟我说,不要浪费那么多时间跟别人辩论,尤其是跟那些脑残,这纯属浪费时间。甚至还有人认为我老是跟别人辩论表明我脑子有病。

有些人不知道别人的目标是什么,却喜欢按照自己的偏好臆测别人的目标,然后断言在该目标之下,别人的做法是愚蠢的,他不知道别人的目标根本不是他所臆想的。这种人正如那些凭臆测断定路边压根不想过马路的老太太一定想过马路于是拼命扶老太太过马路的蠢货一样2。

也有人在担心我的前途,认为我这是不务正业。没错,按照某些人的标准我就是不务正业,只要我能确保自己衣食无忧,我就是要不务别人的『正业』,只做自己喜欢做的事情。

我丝毫不介意公开我没完没了跟人辩论的动机:

  1. 我特别想了解满脑子浆糊的人想问题的方式,尤其是当他们被逼到死胡同的时候会有什么样的行为。我对这个问题的兴趣有时候甚至超过了物理数学和计算机的问题。我之所以对此非常感兴趣,是因为即便你有一个无懈可击的想法,如果你不清楚各种各样的脑残逻辑,就很可能把这个想法表达成一段很容易引起广泛误解的文字。虽然无论你怎样表达,都会引起某些人的误解,几乎不可能让所有人都没有误解,但对脑残们思考问题的方式了解越是透彻,就越能减少潜在的误解。
  2. 许多人曾遇到过这种情况:明知对方讲歪理,逻辑上却无法驳斥,只好牢骚说对方是不可救药的偏执狂。实际上,只要对方仍然在讲逻辑,那么你认为对方讲歪理却无法驳斥仅说明你先前接受那个你自认为是『正理』的原因跟对方一样歪,于是一旦对方跟你出发点相同却得出相反结论,你就无法驳斥,只好抱怨对方讲歪理。我一旦遇此情况就能迅速发现自己之前歪在哪里,而且我有极其强烈的愿望纠正自己之前『歪』的地方。这样做的一个后果是,我跟别人讨论问题经常毫无预设假定,经常直接利用对方的假定导出对方所反对的结论,以至于经常被那些不知所措的人抱怨我在讲歪理,或者给我扣上『抬杠』的帽子,甚至称呼我为『抬杠专业户』,简称『杠专』。对于这个绰号,我不以为耻反以为荣。

对于我这些偏好目标而言,花大量的时间跟人辩论,甚至是跟脑残辩论,完全不是浪费时间。论坛对我而言就是一个最为物美价廉的训练场。我这样做已经不下十年,而我从中的收获绝不仅仅是『胜利的快感』。不能说我完全没有好胜心,但这绝不是我的主要追求。在这十几年之中,我逐渐建立了不需要基于任何信仰和价值观偏见的思维方式(多年前我曾经认为这是不可能的),识别各种忽悠的速度越来越快,通过文字表达自己想法的技能也越来越流畅(虽然可能完全谈不上具有文学意义上的美感,但我并不需要这种美感)……最初我经常在跟人辩论的过程中发现发现自己的致命问题,但后来就越来越少。跟那些以追求胜利为目标的圣斗士不同,哪怕我只是犯了一个很小的错误,只要对方指出我都会在第一时间承认,通过耍赖获得的胜利对我而言没有任何快感。而这样做的一个后果是,别人几乎注意不到你曾经认错,却由于你在辩论中几乎总是具有压倒性的优势,认定你是一个极度的好斗分子,甚至以为你从不认错,只要跟你辩论你就非要争胜不可,并不了解你之所以能几乎总是具有压倒性优势的原因。

我对热力学第二定律的统计解释

(有待补充修改)

我们的观测手段往往没有办法了解被观察的系统所处的具体的微观状态,许许多多微观状态对于一种特定的观测手段而言是无差别的。例如,我们用一个温度计来观察某个系统的温度,如果温度的变化太小以至于完全无法影响温度计的读数,那么对于这种特定的观测手段而言,这两个只有微小差异的温度之间就是完全无法区分的。即便我们用一大堆各种各样的仪器去观察系统,只要系统的微观状态改变不足以让任何一个仪器读数发生改变,那么这些微观状态的变化对于这一组仪器而言就是不可区分的。

因此,我们可以定义一个叫做『宏观态』的概念:给定一组具体的物理仪器,当被测体系的两个微观态s0,s1完全无法被这组仪器的读数所区分的时候,我们称这两个微观状态属于(由这组仪器所确定的)同一宏观态M,对应同一宏观态M的所有不同微观态的集合记为S_M。由被测系统的仪器读数所确定的宏观态对系统的全体微观状态集S构成了一个等价类划分:S=\bigcup S_M。除极特殊的情况,仪器所确定的宏观态对微观状态的划分很难是均匀的,不同的宏观状态对应的微观状态数可能有很大差别。而对于每一个宏观状态,由于我们丢失了具体微观状态信息,那么其熵按照波尔兹曼熵的定义就是其微观状态数的对数。

说到由仪器读数所确定的宏观态,有人可能会有异议,因为仪器本身也是一个热力学系统,也具有不确定性。即便是同一个微观态,如果处于两个宏观态的交界附近,那么仪器的读数未必能完全确定。这并不是个严重的问题,我们可以谈论一个微观态对某个由仪器读数所确定的宏观态的『隶属度』。这个隶属度定义为该微观态使仪器刚好产生某个特定宏观态读数的概率。这样一来,仪器读数所确定的宏观态对微观态空间的划分的边界就模糊了,但即便如此,宏观态对微观态的划分一般也不会均匀,而这对于后面的讨论已经足够。这种情况下,属于某个宏观态的微观态的状态数就需要把所有微观态按照对这个宏观态的隶属度进行求和。

如果系统的初始状态是某个微观状态数很小的宏观态M0,那么在等几率假设之下,系统从该宏观态演化到某个微观状态数很大的宏观状态M1的概率总是远大于从M0到M0或从M1到M0的概率。假设一个宏观状态M所对应的微观状态数是N(M),熵S(M)=ln(N(M)),那么从M0出发,经过足够长的时间(时间必须足够长,使宏观状态演化过程的序列相关性无法被明显观察到),到达M1的概率与到达M2的概率的比值就应该是N(M1)/N(M2)=exp{S(M1)-S(M2)}。也就是说,如果两个宏观态的熵差异很大,那么从低熵状态演化到高熵状态的概率远大于相反的过程。

当然,等几率假设有可能是过强的一个假设。只要等能量面面积有限,那么Poincaré回归定理告(Poincaré recurrence theorem)诉我们只要经历足够长的时间,系统状态能任意接近初始状态。在这个意义上,可以将这些能够能够被任意接近的状态称为『可到达』的状态(注意,可到达未必代表真的可以在有限时间内到达,只是能够在有限时间内任意靠近的意思)。但系统的微观态未必总是能走遍整个等能量面,从某个特定的初始状态出发,可能只能遍历等能量面上的一个区域,其他区域永远走不到。因此这些互不连通但内部却联通的区域又构成了对等能量面的一个划分。而宏观态本身也是对状态空间的划分,顺便也就会划分等能量面上每一个连通区域。同样,除了特殊情况,仪器所决定的这种划分对等能量面某个连通区域的划分一般而言是不均匀的,根据前面的推理,系统从低熵宏观态演化到高熵宏观态的概率远大于相反的过程。不过这里的熵跟前面所说的熵有所不同,前面所说的熵是整个能量面上对应某宏观态的微观状态总数的对数,而这里的熵则是能量面上一个特定的连通区域对某该宏观态的微观状态数的对数。我们希望仪器读数所确定的宏观态对二者划分的微观态状态数基本成正比,这样系综理论就不会给出有问题的结论。如果连通区域形状极其复杂,向树根一样散布在能量面上,就可能可以满足上述要求。

我现在只能说,我们知道如何算并且算过的系统中,尚未遇到违反上述条件约束的情况。

这就是我对热力学第二定律的统计解释。

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待补充内容:

Poincaré recurrence theorem细节:Note also that nothing prevents the system from returning to its starting point before all the phase volume is exhausted. A trivial example of this is the harmonic oscillator. Systems that do cover all available phase volume are called ergodic.

由于相空间的动力学相当于不可压缩流体,所以从任何一个大的宏观状态粗粒出发,大状态粗粒中能够到达某个小状态粗粒的微观状态数量至多跟小状态粗粒中的微观状态数相等,因此大状态粗粒中必然存在一些不能到达该小状态粗粒的微观状态,这些微观状态要么会回到大状态粗粒自身,要么进入其他状态粗粒。

Benford’s Law

Benford’s Law

我们平常所遇到的各种非零的数字之中(例如各种物理、数学常数),首位非零数字是1、2、3……9的概率都相同么?感觉上似乎如此,但实际上并不是这样,采用r进制时,首位数字为k(0<k<r)概率差不多是log_r(k+1) - log_r(k) = log_r \frac{k+1}{k}。这就是所谓Benford’s Law。

Wikipedia上有这个法则的若干种解释:

<Benford’s Law>

一个比较直观的解释是:当我们改换单位制时,首位数字的分布应该不变,这就是所谓scale invariance。如何分布才能保证这一点呢?由于我们考虑的是非零的数字,那么总可以将数字写成[1,10)的有效数字部分x乘以10的某个指数(科学计数法)。扔掉10的指数,对有效数字x取以10为底的对数,就得到[0,1)区间分布的一个数y=log_{10}x,假设y的分布密度函数为f(Y)。如果我们改变单位制,就相当于将x乘上一个常数c,如果乘积cx大于等于10,就得再次约化到[1,10)区间,这相当于把y循环右移了log_{10}c,分布函数f(Y)在这种循环右移的情况下应该保持不变,由于循环右移的偏移量是任意的,所以概率密度f(Y)必须是[0,1)上均匀分布的。有了这个分布,我们就可以估计首位数字是k的概率了。x的首位数字是k就要求x落在区间[k,k+1),也就是y落在[ log_{10}(k),log_{10}(k+1) ),不失一般性,用r进制代替10进制,首位数字是k的概率就是log_r(k+1) - log_r(k) = log_r \frac{k+1}{k}

转载,数学反例

千万不要迷信规律:大反例合集

wwwckq 发表于 2011-7-27 10:59:00

 

        数学猜想并不总是对的,错误的数学猜想不占少数。关键在于,有时反例太大,找出反例实在是太困难了。这篇日志收集了很多大反例的例子,里面提到的规律看上去非常诱人,要试到相当大的数时才会出现第一个反例。

千万不要迷信规律

      圆上有 n 个点,两两之间连线后,最多可以把整个圆分成多少块?

      

       上图显示的就是 n 分别为 2 3 4 的情况。可以看到,圆分别被划分成了 2 块、 4 块、 8 块。规律似乎非常明显:圆周上每多一个点,划分出来的区域数就会翻一倍。


事实上真的是这样吗?让我们看看当 n = 5 时的情况:

      

       果然不出所料,整个圆被分成了 16 块,区域数依旧满足 2n-1
的规律。此时,大家都会觉得证据已经充分,不必继续往下验证了吧。偏偏就在 n = 6 时,意外出现了:

      

      此时区域数只有 31 个。

最有名的素数生成公式

       1772 年,Euler 曾经发现,当 n 是正整数时, n2 + n + 41 似乎总是素数。事实上,n 1 一直取到 39,算出来的结果分别是:

43, 47, 53, 61, 71, 83, 97, 113, 131, 151, 173, 197, 223, 251, 281,
313, 347, 383, 421, 461, 503, 547, 593, 641, 691, 743, 797, 853,
911, 971, 1033, 1097, 1163, 1231, 1301, 1373, 1447, 1523, 1601

        这些数全都是素数。第一次例外发生在 n = 40 的时候,此时 402 + 40 + 41 = 402 + 40 + 40 + 1 = (40 + 1)(40 + 1) = 41 × 41

xn – 1 的因式分解

    x2 – 1 分解因式后等于 (x + 1)(x – 1) x20 – 1 分解因式后等于

(x – 1) (x + 1) (x2 + 1) (x4 – x3 + x2 – x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x8 – x6 + x4 – x2 + 1)

        对于所有的正整数 n xn – 1 因式分解后各项系数都只有可能是 1 或者 -1 吗?据说有人曾经算到了 x100 – 1 ,均没有发现反例,终于放心大胆地做出了这个猜想。悲剧的是,这个猜想是错误的,第一个反例出现在 n = 105 的情况, x105 – 1 分解出来等于

(x – 1) (x2 + x + 1) (x4 + x3 + x2 + x + 1) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)
(x8 – x7 + x5 – x4 + x3 – x + 1) (x12 – x11 + x9 – x8 + x6 – x4 + x3 – x + 1)
(x24 – x23 + x19 – x18 + x17 – x16 + x14 – x13 + x12 – x11 + x10 – x8 + x7 – x6 + x5 – x + 1)
(x48 + x47 + x46 – x43 – x422 x41 – x40 – x39 + x36 + x35 + x34 + x33 + x32 + x31 – x28
– x26 – x24 – x22 – x20 + x17 + x16 + x15 + x14 + x13 + x12 – x9 – x82 x7 – x6 – x5 + x2 + x + 1)

2 为底的伪素数

      下面是当 n 较小的时候, n 2n – 2 的值。

      

       似乎有这样的规律: n 能整除 2n – 2 ,当且仅当 n 是一个素数。如果真是这样的话,我们无疑有了一种超级高效的素数判定算法( 2n
可以用二分法速算,期间可以不断模 n )。国外数学界一直传有中国人 2000 多年前就发现了这一规律的说法,后来发现其实是对《九章算术》一书的错误翻译造成的。再后来人们发现,这个规律竟然是错误的。第一个反例是 n = 341,此时 341 能够整除 2341 – 2 ,但 341 = 11 × 31

       事实上,根据 Fermat 小定理,如果 p 是素数,那么 p 一定能整除 2n – 2。不过,它的逆定理却是不成立的,上面提到的 341 便是一例。我们把这种数叫做以 2 为底的伪素数。由于这种素数判定法的反例出人意料的少,我们完全可以用它来做一个概率型的素数判定算法。事实上,著名的
Miller-Rabin
素性测试算法就是用的这个原理。

Perrin 伪素数

       定义 f(n) = f(n – 2) + f(n – 3) ,其中 f(1) = 0 f(2) = 2 f(3) = 3 。这个数列叫做 Perrin 数列。

      

       似乎有这么一个规律: n 能整除 Perrin 数列的第 n f(n) ,当且仅当 n 是一个素数。如果这个规律成立的话,我们也将获得一个效率非常高的素数检验方法。根据
MathWorld
的描述,1899 Perrin 本人曾经做过试验,随后 Malo 1900 年, Escot 1901 年,以及 Jarden 1966 年都做过搜索,均未发现任何反例。直到 1982 年, Adams Shanks 才发现第一个反例 n = 271 441 ,它等于 521 × 521 ,却也能整除 f(271 441) 。下一个反例则发生在 n = 904 631 的时候,再下一个反例则是 n = 16 532 714 。这种反例被称为 Perrin 伪素数。

最经典的大反例

      说到大反例,这是我最喜欢举的例子。下面是大于 1 的正整数分解质因数后的结果:

2 = 2
3 = 3
4 = 2 × 2
5 = 5
6 = 2 × 3
7 = 7
8 = 2 × 2 × 2
9 = 3 × 3
10 = 2 × 5

       其中,46910 包含偶数个质因子,其余的数都包含奇数个质因子。你会发现,在上面的列表中一行一行地看下来,不管看到什么位置,包含奇数个质因子的数都要多一些。 1919 年,George Pólya 猜想,质因子个数为奇数的情况不会少于 50% 。也就是说,对于任意一个大于 1 的自然数 n ,从 2 n 的数中有奇数个质因子的数不少于有偶数个质因子的数。这便是著名的 Pólya 猜想。

        Pólya 猜想看上去非常合理——每个有偶数个质因子的数,必然都已经提前经历过了有奇数个质因子这一步。不过,这个猜想却一直未能得到一个严格的数学证明。到
1958 年,英国数学家 C. B. Haselgrove 发现, Pólya 猜想竟然是错误的。他证明了 Pólya 猜想存在反例,从而推翻了这个猜想。不过,Haselgrove 仅仅是证明了反例的存在性,并没有算出这个反例的具体值。Haselgrove 估计,这个反例至少也是一个 361 位数。

        1960 年,R. Sherman Lehman 给出了一个确凿的反例:n = 906 180 359。而 Pólya 猜想的最小反例则是到了 1980 年才发现的:n = 906 150 257

Fermat 大定理还能推广吗?

       Fermat 大定理说,当 n > 2 时,方程 xn + yn = zn
没有正整数解。 Euler 曾经猜想,当 n > k 时,方程 x1n + x2n + … + xkn = yn
都没有正整数解。 1986 年,Noam Elkies 给出了方程 x4 + y4 + z4 = w4
的一个正整数解,从而推翻了这个猜想。这个反例是:2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734

XX 型平方数

      11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 1010, 1111, 1212, … 都不是完全平方数。有没有什么数,把它连写两次后,正好是一个完全平方数呢?有。第一个这样的数是 13 223 140 496 ,把它连写两次将得到 1 322 314 049 613 223 140 496 ,是 36 363 636 364 的平方。第二个这样的数则是 20 661 157 025 ,它对应了 45 454 545 455 的平方。更多信息可见
http://oeis.org/A102567

总是相等吗?

      下面是 n 为正整数时, 2 / (21/n – 1) 取上整的结果与 2n / ln(2) 取下整的结果:

      

       这两者的结果总是相等吗?不是的。第一个反例是 n = 777 451 915 729 368,前者算出来的结果是 2 243 252 046 704 767 ,但后者是 2 243 252 046 704 766 。下一个反例则出现在 n = 140 894 092 055 857 794 的时候。更多信息可见
http://oeis.org/A129935

至今仍未找到的反例

       有没有什么猜想,明明已经被推翻了,所有人都知道存在反例,但因为反例实在是太大了,直到现在仍然没有找到呢?有。下面这张表展示了 n 取不同值时 pi(n) li(n) 的值,其中 pi(n) 表示不超过 n 的素数的个数,li(n) 则是对数积分0n dx/ln(x)

      

       pi(n) 是否永远小于 li(n) 呢?1914 年,Littlewood 证明了存在一个大数 n 使得 pi(n) ≥ li(n) ,不过却并没有给出一个具体的 n 值来。1955 年,Skewes 给出了这样的 n 值的一个上界:在 10^(10^(10^963)) 以内,必有一个满足 pi(n) ≥ li(n) n

      虽然数学家们正在不断地改进上界(目前的上界大约是 e727.9513
),但仍然无法找出一个具体的 n 来。原因很简单——这个反例实在是太大了。

主要来源:
http://redd.it/iikk4
http://www.guokr.com/article/9688/
http://mathoverflow.net/questions/15444

如果你对此感兴趣,不要错过数学史上的一篇经典论文:The Strong Law of Small Numbers

这篇日志今后将不断更新……

方舟子的信仰和价值偏见

(本文主要是从我的一些论坛帖子拼凑而成,一时懒得梳理所以结构会显得有些混乱。)
事先声明:跟方舟子的几乎所有论敌相比,方舟子兜售的价值观私货非常少。不要以为我这里指出了方舟子的一点点价值观私货,就表示我反对方舟子并且支持他的任何一个敌人,方舟子几乎所有的敌人兜售的价值观私货都比方舟子多太多了。反过来,前面这段声明也并不表示我支持方舟子。

方舟子:我的“偏执”你不懂

凤凰网资讯:你做事和做人,信奉的准则是什么?

方舟子:我喜欢跟人说,“脑中有科学,心中有道义”,做事情要有理性、科学的态度,同时要顾及到社会的正义,两方面都要顾及到。

凤凰网资讯:科学算是你的信仰吗?

方舟子:我不认为自己有信仰,你可以说我相信科学、道义,但科学与信仰又是矛盾的。所谓信仰是盲目的相信,即使有相反的证据也要去相信,而科学最讲证据、逻辑,所以我一直不讲什么信仰。

方舟子曾经说自己是强无神论者,而罗素是弱无神论者。事实上罗素是无信仰者,而方舟子是有信仰者。无信仰者不会是一个无神论者,他们会漠视抽象造物主是否存在这样的超经验问题,比无神论者对神的态度更加冷漠。强无神论者经常采纳的一条规则是:『如果没有证据支持某种对象的存在,那么该对象就不存在』,这实际上只是强行规定『不存在』等价于『没有证据支持其存在』。但『没有证据支持其存在』就是『没有证据支持其存在』,跟『不存在』并不是一个意思,非要改个名字叫做『不存在』,就得把原来的『不存在』换成另一个名字,除了搅乱概念制造歧义之外没有其他效果。

现在回到方舟子强调的科学与道义。科学方法并不是一个可相信的东西。讲证据和逻辑的情况下根本无需『相信』科学。如果所谓『相信科学』包含了超出『讲证据和逻辑』的含义,那么这部分超出的含义跟任何其他的信仰一样是信仰。另一方面,所谓的『道义』,就是价值观偏见。人人都有个人偏好,但如果把自己的偏好当作标准,认为『人人应该遵守』就是价值观忽悠。道义就是伪装成标准的个人偏好(参考:< 关于价值观>)。方舟子在学术打假的时候,曾经对学术造假者做过一些道德批判,正如我关于道德的分析所说的,道德批判是完全不讲理的忽悠。如果他能说清楚是什么原因导致某些人学术造假,而不是对这些人进行道德批判,就不是忽悠。请注意,我并不是说『不应该忽悠』,我只是在指出『某些行为实际上是忽悠』。不过这种忽悠在我看来相当情有可原,做道德批判的人几乎没有一个能意识到自己的这种行为是忽悠,更何况跟绝大多数人相比,方舟子并不是单纯的做道德批判,他的许多打假工作都是很讲证据的,道德批判只占极少的一部分。

只有『假设』才能被『相信』,而『讲逻辑讲证据』并不是个『假设』,没法被相信,否则就成了病句。我不会告诉你科学理论比宗教信仰『更优』,因为比较『更优』需要评价标准,而指定一个评价标准,你又面临着为什么这个标准比其他标准『优越』的问题(参考:< 关于价值观>)。

科学为什么要讲逻辑讲证据,并不是因为我们相信逻辑和证据。

1.逻辑这东西你没法相信。逻辑就是语言约定的精确化,之所以要精确化语言约定,就是为了消除歧义和自相矛盾。如果不消除歧义和自相矛盾,那么用语言表达出来的任何主张都等价于该主张的反面。如果你不喜欢逻辑,那么可以约定一套自己的语言。当然,为了避免你自己约定的语言从同样的条件出发会得出相互冲突的结论,你照样必须消除歧义和自相矛盾。只要你发明一种这样的语言约定,我们就可以用你发明的语言约定来讨论问题。当然,如果你发明的语言约定等价于现有的某种逻辑,你的发明也就多余了。

我根本不需要相信逻辑。如果我相信逻辑,而对方不相信逻辑,那么只要我使用逻辑论证,对方就可以质疑你凭什么认为使用逻辑的论证是有效的。而此时我除了告诉对方我相信逻辑(但对方显然不买账),我还有任何其他办法么?我对逻辑压根就谈不上相信,我跟别人辩论也从来不怕对方不讲逻辑,只要对方不讲逻辑,我就可以以其人之道还治其人之身,直接利用对方的前提否定对方的主张。你不相信逻辑当然可以,因为我都谈不上相信逻辑,但如果你还真的敢不讲逻辑,那么就别怕自扇耳光。

2.理论的有效性是科学理论的目标,并不是我们相信科学理论更有效,而是我们正在寻找更加有效的理论。这里要注意,并不是说我们『应该』去寻找更加有效的理论,这又是一个价值判断,这里说的是如果你想要追求更加有效的理论,那么你需要做什么。为了比较理论的有效性,就要通过证据,如果不讲证据,那么有效性就可以随便设定,任何一个理论都可以比另一个理论更有效或者更无效。所有诸如无神论、存在不依赖于意识的外部世界、自我的存在之类的假定,科学理论都完全不需要。

证据和有效性的关系,可以看我以前发的一些论坛帖子:http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=3041&page=4#pid48135

什么情况下实验构成对理论的『支持性证据』。

首先,一个实验结果构成对理论的支持,跟完全证实理论显然是两回事。只要实验不能完全覆盖理论,或者存在统计误差,那么实验就不能完全证实理论。经验科学的理论从来都无法被完全证实,但可以有支持性证据。

其次,实验结果要支持理论,必须满足两个条件:
1.实验跟理论相关。
2.实验结果跟理论断言一致(包括统计上一致)。

什么叫实验跟理论相关?就是要求实验必须是按照理论的约束条件进行设计的。如果没有这一条,那么世界上任何一个实验都可以作为世界上任何一个理论的证据或反例,因为理论的概念和关系可以任意映射到实验中的概念和关系中,总能找到某些映射方法让实验结果跟理论断言一致,也总能找到某些映射方法让实验结果跟理论断言相反。

但什么样的理论才能够允许实验设计符合其约束?当然要求理论必须给出其中概念和关系的可操作描述或定义,实验者才有可能根据这些描述或定义设计具体的实验操作(技术困难是另一个问题)。反之如果理论对其中的概念和关系压根不给出可操作的描述或定义,那么实验者就没办法根据理论的约束设计实验。就算有人做了实验,实验里面也涉及了某些跟理论中同名的概念,跟理论也未必有什么关系。

第二条无需解释。

只有上述两条都满足了,你才可以说实验构成了对理论的支持。

夏至宏的经典多体问题非碰撞奇点解简介

经典多体问题是指在牛顿力学和牛顿引力理论框架下研究多个具有固定质量的质点所构成系统的演化规律的问题。对于这样一个经典力学系统,是否只要给定初始条件(所有质点的位置和速度),就可以精确预测体系今后任意时刻的状态呢?并非如此,如果初始条件能够导致质点间的碰撞,碰撞之后系统的演化就无法用经典力学来回答,包含碰撞的解叫做碰撞奇点解。Poincare曾经考虑过这样一个问题:经典多体系统是否存在非碰撞的奇点解?但很久都没有人能回答。直到夏至宏给出了第一个例子。

这里要注意,所谓非碰撞奇点并非给定初始状态而不能确定轨迹(至少不是直观想象的那样),而是轨迹会在有限时间内发散,其中部分或全部质点的速度或动能也发散,这并不破坏能量守恒,因为经典引力质点系中,引力场中引力势能可以无限制地降低,刚好跟无限制地增加的动能相平衡。而且这些解必须要求引力是超距作用,没有相对论效应和量子效应,质点可以无限制地靠近,只要不是直接重叠就不会碰撞。

例如夏至宏的给出的解中,有一个测度为0的初始条件集合,只要初始条件在这个集合中,就可以确保系统的轨迹在有限时间内震荡发散,速度和动能也在有限时间内发散,当然,引力势能也会在有限时间内向负无穷大发散。

夏至宏的解中有五个质点,四个质点具有相同质量M1M2M3M4,另一个质点m质量很小(但并不能忽略)。假设有两个水平的平面,一上一下(这两个平面的位置并不是一成不变的)。M1M2在上面平面里面相互绕转,而且是椭圆轨道,距离时而远时而近,而M3M4在下面平面里面以类似的方式相互绕转。质点m在上下两个平面之间震荡。当m从下运动到上平面时,M1M2距离不是特别近,当m穿过上平面受到M1M2的吸引而再次回到上平面,M1M2刚好变得非常近,m刚好从中间穿过,这样就会把m向下加速射出,此时上M1M2被迫上升,上平面也就跟着上升了,而且M1M2绕转的距离更近周期更短了。接下来的过程就是m向下穿过下平面,此时M3M4并不太近,但是当m继续向下并且受到M3M4吸引转头回到下平面,M3M4也变得非常靠近,m从当中穿过,被加速向上射出,此时M3M4同时被迫向下,下平面也就下降了,而且M3M4绕转的距离也更近周期更短了。……

只要初始条件适当而精确地设定,可以让这个过程变得越来越快,上下平面越来越迅速地远离,m的速度也越来越快,而且m速度的增加比两个平面距离增加的速度还快,虽然两个平面距离越来越远,但m往返上下平面的时间间隔却也越来越短,与此同时,上平面的M1M2之间的距离变得越来越近,周期越来越短,下平面的M3M4也类似。最终的结果是,两平面在有限时间内跑到无穷远,5个质点的速度在有限时间内达到无穷大。

在某种意义上说,这种非碰撞奇点也算是在给定初始条件,在有限时间之后,就无法预测其轨迹了,但这种无法预测是因为发散的速度和位置。但这种解实际上仍然只是数学上有趣的解,要求引力超距作用,质点是完美的几何点,没有任何相对论和量子效应,在如此苛刻的条件下,初始状态还必须从一个0测度的集合中精心选择才行。甚至这个所谓的『非碰撞』,指的也就是在到达那个特定时刻之前才没有碰撞。在无限趋于那个时刻的时候,为了提供无穷大的动能,实际上M1M2之间和M3M4之间的距离纷纷趋于0。在我看来认为在该时刻发生了碰撞也未尝不可。稍微想一想就可以知道,经典引力场质点系中,想要让任何一个质点的动能达到无穷大,都必须至少有一对质点无限靠近,靠消耗无穷多的引力势能才能提供无穷大的动能。

参考文献:
http://www.ams.org/notices/199505/saari-2.pdf

连转带评:纽科姆悖论

有人在新繁星客栈上提到了这个悖论,并且点名叫我帮忙解答。我完全没觉得这个悖论有任何难度,但还是将这个悖论贴在我这里供大家娱乐消遣。
后面是我在新繁星客栈的答复,有所改动。

原文链接

一直没搞懂:纽科姆悖论
或者叫:“外星人悖论”

M:一天,一个由外层空间来的超级生物欧米加在地球着陆。

M:欧米加搞出一个设备来研究人的大脑。他可以十分准确地预言每一个人在二者择一时会选择哪一个。

M:欧米加用两个大箱子检验了很多人。箱子A是透明的,总是装着1千美元。箱子B不透明,它要么装着1百万美元,要么空着。

M:欧米加告诉每一个受试者。

欧米加:你有两种选择,一种是你拿走两个箱子,可以获得其中的东西。可是,当我预计你这样做时,我就让箱子B空着。你就只能得到1千美元。

欧米加:另一种选择是只拿一个箱子B。如果我预计你这样做时,我就放进箱子B中1百万美元。你能得到全部款子。

M:这个男人决定只拿箱子B。他的理由是——

男:我已看见欧米加尝试了几百次,每次他都预计对了。凡是拿两个箱子的人,只能得到l千美元。所以我只拿箱子B,就可变成一个百万富翁。

M:这个女孩决定要拿两个箱子,她的理由是——

女:欧米加已经做完了他的预言,并已离开。箱子不会再变了。如果是空的,它还是空的。如果它是有钱的,它还是有钱。所以我要拿两个箱子,就可以得到里面所有的钱。

M:你认为谁的决定最好?两种看法不可能都对。哪一种错了?它为何错了?这是一个新的悖论,而专家们还不知道如何解决它。

这个悖论是哲学家经常争论的很多预言悖论中最新的,也是最棘手的。它是物理学家威廉·纽科姆发明的,称为纽科姆悖论。哈佛大学的哲学家罗伯特·诺吉克首先发表并分析了这个悖论。他分析的依据主要是数学家称之为“博弈论”或“对策论”的法则。

男孩决定只拿B箱是很容易理解的。为了使女孩的论据明显起来,要记住欧米加已经走了。箱子里也许有钱,也许空着,这是不会再改变的。如果有钱,它仍然有钱;如果空着,它仍然空着。让我们思考一下这两种情况。

如果B中有钱,女孩只拿箱子B,她得到1百万美元。如果她两个箱子都要,就会得到1百万加1千元。

如果B箱空着,她只拿B箱,就什么也得不到。但如果她拿两个箱子,她就至少得到1千美元。

因此,每一种情况下,女孩拿两个箱子都多得1千元。

这条悖论,是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出,愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒,愿意拿B箱者是决定论(宿命论)信徒。而另一些人则争辩道:不管未来是完全决定的,还是不是完全决定的,这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

对这些争论观点的讨论可参见马丁·加德勒在1973年《科学美国人》7月号的数学游戏专栏,以及诺吉克教授发表在同一刊物1974年3月号同一专栏的文章。由于这一悖论还未解决,故它是学生讨论的极好课题。你将发现课堂里对这个悖论的反应是活跃的,十分有益的。

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我的解答:

这条悖论,是试验一个人是否相信自由意志论的“石蕊试纸”类型的悖论。对这个悖论的反应公平地区分出,愿意拿两个箱子的是自由意志论信徒,愿意拿B箱者是决定论(宿命论)信徒。而另一些人则争辩道:不管未来是完全决定的,还是不是完全决定的,这个悖论所要求的条件却是矛盾的。

这段评论,看了我后面的分析就可以知道全是一派胡言。我不懂什么叫自由意志论什么叫宿命论,我一个人就可以得出几种不同的答案。而且这个悖论的条件并不是自相矛盾的,而是问题的条件根本就不完备,以至于加入不同的约束条件就可以产生不同的答案。

先引入几种不同的先知(暂且不管其物理上是否能够存在):

第一类先知:精确地知道未来的一切,包括完全精确地知道自己未来的行为。这是个『只读』的先知,他有能力精确预知整个世界的未来,但却完全无法对世界施加任何一丝一毫的影响,甚至完全无法对自己的行为做一丝一毫的改变。这样的先知无法『选择』告诉别人未来会发生什么(当然,他可能预测到自己把未来告诉别人,于是他就只能按照自己的预测吧未来告诉别人。但问题是他还可能预测到自己将要告诉别人的信息是错的,但自己却对此无能为力)。这种先知甚至都不能对未来将要发生在自己身上的事情做任何提前准备,比方说预测到有人要在自己背后捅一刀于是很紧张,但他甚至无法让自己的呼吸或心跳加快,无法让每一个神经信号的传递有任何不同。这种先知很悲剧,他只是一个单纯的观察者,不能对世界施加任何影响,甚至无法『选择』让别人知道自己是个先知。

第二类先知:有能力预测未来,但预测完全准确的前提条件是自己也完全精确地按照自己先前的预测行事,但问题是他也可以在任何时刻选择在不精确按照自己先前的预测行事(比方说先前的预测中自己并没有把未来会发生什么告诉别人,但现在却选择告诉别人),那么就会导致未来不再与自己先前的预测精确相同,而且时间越久与先前的预测偏离可能就越大。事实上,他并不一定要把未来告诉别人,就可以对未来造成影响,比方说由于知道了未来,他关于未来的知识发生了变化,于是脑袋里面某些神经电信号改变了,经过一系列连锁反应就会造成对未来的影响。当然,既然不考虑物理上的限制,你也可以进一步假定这个先知可以将对未来的预测信息存储在宇宙之外,这些知识的存储对我们的宇宙绝对不会造成一丝一毫的影响。或者,你可以反过来假定只要这个先知存储关于未来的知识就必然改变其大脑的物理状态以至于必然对世界造成影响。这样一开这第2类先知又可以分成两类,我们不妨称前者为2A后者为2B。

对于先知2A,在他决定完全按照自己的预测行为的时候,他之前对世界的预测就完全准确无需更新。一旦他选择不按照自己事先对自己行为的预测行事,那么从这个时刻起,世界的未来就不再符合其先前的预测,于是他此时就要立即更新自己关于未来的预测知识。于是每当他选择不按照自己先前对自己行为的预测行事,他对未来的预测就会立即更新。比方说先前预测自己并没有将世界的未来告诉别人,而某个时刻他突然决定告诉别人了,那么他对未来的预测就会立即更新。假设这个先知很要面子,不希望别人发现自己说出的话是错的,那么一旦他发现只要自己把预测告诉别人,自己所预测的事情在这个告知行为影响下就不会发生,那么他就会立即改为选择什么都不说,即便在不说的情况下自己对未来的预测本来是对的。什么时候他恰好发现只要自己将预测结果告诉别人,自己预测的事情就会成真,这种情况下它就会精确地按照自己对自己行为的预测行事,包括说出对未来的预测,于是预测成真。

对于先知2B,这个先知也很悲剧,他每一个时刻对未来的预测都会改变其头脑中的知识以至于改变头脑的物理状态,经过连锁反应影响一段时间以后的世界,使世界的未来跟其脑袋里面当前的知识不同,既然如此他此时此刻关于未来的知识立即就得更新,这是造成了一个自反馈回路,如果运气不好,这个先知就会成为一个真正的2B,脑子里看到的未来始终处于疯狂的甚至无限迅速的变化之中。但是,也有可能没有这么糟糕,自反馈回路有可能真的有自洽的不动点,也就是说,他脑袋的状态疯狂地变来变去之后,突然进入这样一个状态,这个状态中他脑袋里关于未来的知识刚好与实际上会发生的未来(包括他自身的未来)完全精确相同,一旦进入这种状态,他的脑袋里面就总是能够准确地看到未来,而且他脑袋状态随时间的演化也确保总是能跟其预测相同。但是一旦进入这种情况,2B先知就蜕化成了A类先知,他无法做出与自己预测不同的事情。

第三类先知:没能力精确预测整个世界的未来,却有能力任意按照自己的随意操纵整个世界,比方说他可以让任何人做任何事而且以为自己真的想做这件事,或者创造各种各样的神迹等等。当然,逻辑矛盾的事情是没法做的,这不是能力问题,而是错误陈述,例如制造一块自己也搬不动的石头。

当然,你也可以编造出其他类型的先知,只要你有本事确保逻辑自洽就可以。

现在,我给感兴趣的同学留一道思考题:试把上述几种先知带入这个所谓纽科姆悖论之中,而且可以几种不同的方式来假设这个先知的动机,然后在每一种情况下分析这个悖论看看会得到什么样的结果。

道德

道德是这样一种东西:如果你违背其准则而被人发现,就很可能遭到来自他人的惩罚。

最初,你违背某条道德准则,往往会受到别人(例如父母师长)的惩罚。经过多次训练,你就得到了一条经验知识:违反该道德准则很容易受到惩罚。有了这条经验知识,你每一次试图违反该道德准则,就会担心是否会受罚,从而约束自己的行为。在这个过程中你也会发现在没人发现的情况下自己不会受到惩罚,从而形成侥幸心理,因此在无人监督的情况下人们更倾向于打破道德准则。

最初的自我约束来自于对行为可能后果的利害分析,但这种比较分析需要以花费精力为代价,如果你的生存环境总是使利害分析的代价超过无条件遵守该道德准则,你就会获得新的经验知识:花精力做这种利害分析往往得不偿失。于是你在试图通过利害分析决定是否遵守该道德准则之前,会面临一个新的决定:是否有必要做这个利害分析?而你的新经验告诉你:这样做往往得不偿失。此时你就会养成无条件遵守该道德准则的习惯,连判断是否有必要做利害分析的精力都省了。这种情况下可以说对于该道德准则你已经具备了强烈的道德习惯。

如果你已经习惯于无条件接受某道德的约束,那么你还可能给自己的这种选择寻找许多冠冕堂皇的理由,甚至可以利用这些理由要求别人遵守该道德,并从这种约束别人的活动中获益。这种情况下,可以说对于该道德你已经具备了强烈的道德感或责任感或使命感等等。因此,上述情况下道德感的形成是因为先前能从中获利,但形成之后未必将继续从中获利。

当然,逻辑上也允许这样的可能:人对某些道德的遵守直接来自于本能,根本不是从上述学习过程中获得的。如果你刚好很『运气』地天生就具有某种道德感,这种情况下你之所以遵守该道德仅仅是因为你的『运气』。如果你有该道德感是因为运气,按照日常语言的习惯,是很难说你比不具备这种运气的别人更『高尚』的,于是你就没有充分的借口对别人不遵守道德的行为进行批判。既然你是因为天生喜欢而遵守该道德,又如何才能批评别人因为天生不喜欢而违背该道德呢?

如果我们进一步追溯先天道德的来源,那么就进入了生物演化领域。要么你是因为发生了某种基因突变而喜欢某道德,要么是从先辈哪里遗传了该道德。如果该道德的遗传是物竞天择的结果,那是因为你先辈中那些因基因突变或混合而喜欢上遵守该道德的份子们幸运地在物竞天择过程中获得了更多生存繁衍的机会。于是这就又回到了前面说过的情况:道德感的形成是因为先前能从中获利,但形成之后未必将继续从中获利。无论哪种情况,道德批判都是找不到任何站得住脚的借口的。

道德批判实际上就是在说:我不喜欢你,因为我不喜欢你所以我不喜欢你,我要求别人跟我一起惩罚你,谁跟我一起惩罚你,我就喜欢谁,谁不跟我一起惩罚你,那么我连他一起不喜欢,并且要求别人一起惩罚他。换言之,道德批判从根儿上是不讲道理的,只是装作很有道理。

这里我要提醒大家注意:上述关于道德的讨论,丝毫没有『道德批判是不好的或错误的行为』的意思,我只是指出『道德批判根本不讲道理』这个事实。对于能够通过道德批判达成自己意愿的人而言,他当然可以认为『道德批判是好的』。另一方面,由于这个世界上存在我这种『见到别人不讲道理却假装很有道理就可能很喜欢指出』的怪癖分子,在许多情况下『道德批判』这种行为的期望收益就会有所降低,而风险却有所增加。

最后,来点趣味性强的:

电影『蝙蝠侠前传2:黑暗骑士』中有个桥段:片中大反派“小丑”在两艘满载的客船中做了个社会实验。他声称:两艘船上都有炸弹,任何人下船就同时引爆两艘船,每艘船上都有能引爆另一艘船上炸弹的遥控器。如果他在午夜12点之前看到有一艘船被引爆,就让另一艘船的人生还,否则就同时引爆两艘船。“死理性派”的文章『除了蝙蝠侠,我们还能用什么战胜小丑?』对此做了一个有趣的博弈论分析。文中考虑了道德约束,还考虑到因小丑并非万能而阴谋可能失败等可能。

如果这两船不都是人,一群是地球人,一群是异形,炸死对方而活着回到自己的社会丝毫都不会受到惩罚,双方还会因为道德感而拒绝按钮么?如果换成一群是人,一群是猩猩呢(假设我们成功地让猩猩理解了这个按钮的含义)?一群是白人,一群是黑人呢?一群911受害者,一群是基地组织呢?一群是中国人,一群是日本人呢?一群是你和你的亲人和孩子们,一群是陌生人呢?

关于价值观

一个人决定是否做一件事情取决于他对做这件事的效果的预期是否更符合他的愿望。而这个过程中有两个环节:预期做这件事的效果,判断该效果是否更符合自己的愿望。预期做一件事的效果,需要经验知识,而判断一个效果是否符合自己愿望,需要一个评价方法,也就是所谓的『个体偏好』。需要注意的是,人在这两个环节上都可能会犯错误,个人无效的经验知识会对结果做无效预期,而个人经历导致的种种偏见可能会蒙蔽对自己真实愿望的认识。

一个人的价值观就是他比较好坏或善恶程度的评价方法。价值观本来也是个体偏好,但往往特指个体偏好中关于希望别人怎么做的那部分。许多人认为好坏(或者善恶)是有客观标准的,因此他们认为基于这种客观标准的评价方法才能作为社会的道德标准。然而并非所有人都采纳了相同好坏标准,而到底采纳哪一种好坏标准,仍然取决于其个体偏好。这种情况下如果大家要决定是否实施某种政策,就要评价实施和不实施哪个更好。由于大家的评价方法不同,不同的人对哪个更好的判断就可能发生冲突。此时如果你试图证明某种评价方法比其他的评价方法更好,那么你就引入了一个新的评价方法:评价方法的评价方法。而对于这个评价方法的评价方法,仍然并非所有人都相同,于是就要引入更高级别的评价方法。无论你引入多少级别的评价方法,你最终的评价方法都照样是你个人的主观偏好,因此谈论一个至高无上的客观普适的价值评判标准压根就是自相矛盾的。

有些人知道这一点之后就会非常害怕,他们害怕没有一个天然的至高无上的所有人都只能接受无法拒绝的价值观作为终极的道德标准,害怕自己无法有效论证自己心目中那个更理想的社会真的更好,害怕如果大家都这样认为这个社会就会乱套陷入水深火热的状态。换言之,是对混乱的恐惧导致他们不敢接受上述事实,无论他们为了拒绝接受上述事实所寻找的理由是什么,上述事实都不会改变。事实上他们并不能证明没有这个至高无上的标准价值观,社会就会必然进入他们所担心的状态。事实上,正如前面所论证的,这种至高无上的终极标准价值观压根就无法存在,而这个社会和整个生物界在这种状况下照样自发出现了各种秩序并演化到今天的状态。就算今天的世界并不处于你理想中的最佳状态,也不是因为缺少那个终极标准,更不会因为那个终极标准消失了,这个世界就变得更差,因为这个终极标准压根就无法存在。

你可能会问,既然没有这样的标准,我们的政策应该怎么制定?这里首先澄清一个词汇:谈论『应该』还是『不应该』必须指明所追求的目标。只有已经给定了一个目标,我们才能讨论研究在这个目标之下,是否应该实施某个政策。也就是说,如果实施某政策的效果比不执行更能达成这个目标,那么在这个目标之下某政策就应该实施,否则再该目标之下就不应该实施。而预测实施某政策的效果比不执行是否更能达成某个目标,就是一个经验科学问题,需要通过科学方法来做出预测,如果现有的科学方法无法可靠预测,就没有必要先入为主地做出判定。暂不做出判定并不等于连尝试都不能做。尝试就是赌博,即便不确定后果有时也不妨试试运气。当然,到底玩多大要量力而行。尝试过了,无论失败与成功,都可以积累有关的经验知识以帮助今后的决策。但这里有一点要特别注意,某一次赌运气赌赢了,不一定是因为你的方法有效,赢了一次就断定自己的方法有效是欺骗自己。

接下来,就要讨论目标本身了。由于目标可以用来衡量一个政策的效果好坏,所以这个这个目标其实还是一个评价方法,用来评价比较不同的社会状态。但问题是谁来确定这个目标?前面不是说过不存在至高无上的终极目标么?的确如此,政策的目标也并不是终极目标,它可能符合某些人的意愿,却也可能同时违背另外一些人的意愿。只要一个人知道该目标符合其意愿,他就会赞同,反之就会反对。这样一来就出现了有冲突的派别,派别间就要进行博弈。博弈的结果可能是一方获胜而镇压了另一方的诉求,严重时会爆发战争(经验告诉我们这种事更容易在极权制度中发生),也可能是双方达成妥协,如愿以偿的一方自愿提供一些好处补贴意愿被违背的一方减弱甚至消除其反对的意愿,于是皆大欢喜(经验告诉我们这种事更容易在议会制度中发生)。

(不过即便是今天许多发达国家的议会民主制度,虽然相对于极权制度可以避免很多内部的暴力冲突,但政府往往还是会经常以谎言做出承诺,尤其是那些关于平等正义之类的承诺,并且政府为了维护这种谎言经常要使整个国家付出越来越巨大的代价。另一方面民众也往往因为信仰等各种偏见而支持违背其自身真实意愿或反对符合其自身真是意愿的政策。发达国家的诸多社会和经济问题中有很多都与那些普遍的价值观偏见有关。)

此外,正如前面说过的,个人决策的两个环节都可能出错:对效果做预期和评价预期效果,社会制度决策也同样如此。一个无效社会科学理论就可能对政策的后果做出严重偏离的预期,而理论却声称该预期是高度可靠的,于是在制度实施了之后才发现结果严重偏离预期。另一方面许多人自己没有能力判断一个政策目标是否符合自身的偏好,而且特别容易地被某些人忽悠,所以许多人都会选择追求与自己的偏好相悖的政策目标。如果你想要避免这种情况发生,那么就设法学会判断一个政策目标是否符合你自身的偏好,如果这对你太难,那就设法学会判断别人是否在忽悠你,如果这仍然太难,那就设法寻找跟你的偏好不冲突且比你更善于判断政策的人,然后听他的建议。如果前面这些你都做不到,就只好到我这里来看看我说了什么,但千万要小心别上了我的当,尽管我也会在这里写一些有助于避免上当的文字。当然,你还可以选择自己狗屁不通还刚愎自用,被别人骗去当冤大头还要谢谢人家。

判断一个政策是否符合自己的偏好,除了对政策的结果能够做有效的预期,还需要了解自己的偏好。许多人其实并不总是清楚地知道自己内心真的想要什么。比方说那些具有强烈的『责任感』、『使命感』的『伟大』的人们有许多『伟大』的追求,比方说全人类的幸福,最大多数人的幸福,最大程度的公平正义、拯救这个正在腐烂的世界等等,并且相信自己的此类个体偏好高于那些只想要自己过上舒服日子的人(请回顾本文开头关于价值观的讨论)。但所有这些『伟大』的个体偏好,都是可以追根溯源的,没有人天生就会追求这么抽象的目标,这些目标是通过学习或者思考得来的。换言之,这些目标都是为了实现其他的一些更基本的目标而思考出来的,而这些更基本的目标才是你真正试图追求的东西,这些『伟大而抽象』的目标只是为了实现那些更基本的目标的手段,我们不妨将这些抽象的目标叫做衍生目标。一个人本想追求目标A,但经过学习或思考发现实现目标B有助于实现A,于是他就可能暂时将A放下而将B作为一个衍生目标来追求。过了一段时间他可能自己都忘了自己是为了追求目标A才去追求目标B的,甚至有可能出现这样的情况:自己当时以为追求B有助于实现A但实际上自己的这个判断基于一个无效的理论,或者在当年的特定条件下追求B确实有助于实现A但时过境迁今天继续追求B反而会妨碍目标A。不妨将出现这种情况且当事人不自知的情况称为『迷失』。一个迷失了自己心中真实目标的人,就往往会为了那些衍生目标做出导致违背自己基本目标的事情,也就是违背了自己的真实意愿,俗称『事与愿违』。

关于如何确定自己的真实意愿并且避免迷失,这个话题可以展开,在这里先用比较简短的讨论做一个引导。想要避免迷失引起的严重事与愿违的后果,需要时而反省自己所追求的那些东西是为了达成什么目的,并且设法弄清楚这样做是否真的有助于达成这些目的,当自己所追求的衍生目标和自己更基本的目标发生悖离的时候,就要利用新的更有效的理论知识来调整衍生目标。到了这里有人可能会质疑,一个人完全可能会用新的更好目标替代老目标,从而不再追求老目标,因为新目标更『高尚』『伟大』。如果你是这样想的,那么请你进一步想想为什么你会认为新的目标比老的目标更好,这意味着你有一个位于新老目标之上的评价方法,而这个评价方法本身显然也提供了目标,而且显然具有更高的优先级,否则你无法用这个评价方法来决定新老目标哪个更好。如果你不断地追根溯源,就会到达本能需求的层次,例如食欲。如果你问自己追求食欲的满足是为了达成什么目标,你的回答只能是:我就是喜欢,吃饱了爽,饿着不爽。此时无法进一步回答求爽又是是为了达成自己的什么目标,求爽给你提供了最基本的目标。虽然对于你而言,没有比求爽更基本的目标,因此不能问求爽是为了达成什么目标,但可以问是什么样的原因导致你试图求爽,这是一个经验科学问题,而演化生物学、神经生理学、心理学等学科可以对这个问题做不同角度的研究。不过这里我们必须澄清一点:如果你只是想要了解自己的真实需求,那么你根本无需关心是什么样的原因导致你试图求爽,因为这个问题的答案只是给出了你试图求爽的原因,并不会给你求爽提供更深层次的目标。在佛教中有一句话大概是『心外求法求而不得』,大概表达了类似的意思。想要了解自己的内心,无需了解以外部世界为对象的那些经验科学知识。(注,此处我引用了佛教的话,完全不代表我对佛学理论的赞同。)

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