自然数的Peano公理系统

下面是不引入集合概念的Peano公理系统。由于不引入集合概念,所以归纳公理必须使用二阶逻辑,对任意属性谓词进行量化。

先引入相等关系(同一关系)的定义:
eq0.\forall a. a=a 自反性(reflexive)
eq1.\forall a,b. a=b \Rightarrow b=a 对称性(symmetric)
eq2.\forall a,b,c. a=b \wedge b=c \Rightarrow a=c 传递性(transitive)
eq3.\forall P,a,b. a=b \Rightarrow (P(a)\Rightarrow P(b)) 相等则具有相同属性。

利用上述相等关系定义,这里给出不依赖于集合论只基于二阶逻辑的自然数Peano公理:
n0.N(0) 0是自然数
n1.\forall a. N(a) \Rightarrow N(S(a)) 自然数的后继也是自然数
n2.\forall a,b. N(a) \wedge N(b) \Rightarrow (S(a)=S(b) \Rightarrow a=b) 仅当两自然数相等后继才可能相等
n3.\forall a. N(a) \Rightarrow \sim 0=S(a) 0不是任何自然数的后继
n4.\forall P,a. P(0) \wedge (N(a) \Rightarrow (P(a) \Rightarrow P(S(a))) \Rightarrow (\forall b. N(b) \Rightarrow P(b)) 归纳公理的二阶逻辑版本。对于任意属性P和任意自然数a,如果【a)0具有属性P,b)只要a具有属性P则a的后继也具有属性P】,那么任意自然数都具有属性P。如果引入集合概念就可以只用一阶逻辑。

量子逻辑?仅仅是名字叫做逻辑而已。

有人认为量子力学是无法用『经典逻辑』刻画的,必须引入一种特别的『量子逻辑』才能准确地刻画量子现象,我将论证这是一种偷换概念式的误解。

Griffiths的“Consistent Quantum Theory”第四章对“量子逻辑”做了介绍。但在我看来,这一章在搅混水。这个“量子逻辑”中的“属性”(关于量子态的断言)以及“运算”(与、或、非)跟『经典逻辑』中的同名『属性』和『运算』根本就不是一个意思,而作者在使用“量子逻辑”的时候,将『经典逻辑』中得到的关于量子态的结论强行用同名的“量子逻辑”概念进行解释,得出『经典逻辑』不适用于量子力学的含混结论。为了强调“量子逻辑”跟『经典逻辑』并非是两种分庭抗礼的逻辑,我后面将这种“量子逻辑”全部称为“量子演算”。

在介绍“量子演算”之前,先简要介绍一下数理逻辑中的『属性』(property)和逻辑运算(包括非、与、或等)。在数理逻辑中,『属性』(property)是一个一元关系,它可以作用在论域中的任何一个变元上,返回一个真值。比方说对于实数集合而言,『大于0』『等于5』『平方小于10』等都是实数的属性。无论给出哪一个实数,该实数是否具有属性P都是有定义的。于是,对于任何一个具体的属性P,都对应实数集的一个子集:{具有该属性的实数}。反过来,随便从实数集中取出一个子集S,『属于S』刚好又是一个属性,二者是一一对应的。显然,如果子集S对应属性P,那么『S的补集』就对应属性『非P』,如果子集S、T对应属性P、Q,那么『S交T』就对应属性『P且Q』而『S并T』就对应属性『P或Q』。

接下来介绍一下这个“量子演算”,并且跟以Hilbert空间为论域的『经典逻辑』进行比较。

对于一个量子体系,其状态空间是Hilbert空间。“量子演算”规定:量子体系的一个“属性”对应Hilbert空间的一个子空间,不是子空间的子集不对应任何“属性”。这里千万要注意“量子演算”中这个所谓的“属性”,跟『经典逻辑』中的那个『属性』含义截然不同。因为子空间的补集不是子空间,子空间的正交补空间才是子空间。所以,“量子演算”中这个“属性”只是跟『经典逻辑』中的那个『属性』同名,却完全不符合『经典逻辑』中对『属性』的基本要求,除了恒真属性(对应全Hilbert空间)和恒假属性(对应0子空间)之外其他的“量子演算的属性”都对某些量子态无定义(『无定义』和『假』不一样),子空间的补集也根本不对应任何“量子演算的属性”,而子集的补集总是对应一个『经典逻辑』的『属性』。在我看来这非常误导。

在接下来的讨论中,为了防止混淆,我将把“量子演算”中所有跟『经典逻辑』中重名的概念前面都加上一个字头“*”以示区别,例如“*属性”、“*非”、“*或”等等,这样一切就会变得非常清楚:

在量子演算中,我们定义一个叫“*属性”的东西,任何一个“*属性P”,都对应体系Hilbert空间的一个子空间S,如果量子态\psi属于S,我们就说\psi具有“*属性P”,如果量子态\psi与S正交,我们就说\psi具有“*属性*非P”,对于其他即不属于S又不和S正交的量子态,我们直接规定P无定义。注意,『无定义』和『假』不一样。接下来,我们就可以对“*属性P”定义一个投影算符(projector)\hat{p},凡是属于S的量子态\psi\hat{p} \psi = 1\psi,凡是跟S中所有量子态正交的量子态\phi\hat{p} \phi = 0

但一方面,没有任何理由阻止我们直接用经典逻辑来讨论Hilbert空间中的量子态:量子态的任何『属性P』(注意,这里是不带*前缀的『属性』,特指经典逻辑中的概念)对应Hilbert空间的一个子集S,如果一个量子态\psi属于子集S,我们就说\psi具有『属性P』。显然,对于任何量子态\psi,『属性P』都有定义,要么是真,要么是假,不存在无定义的情况。

接下来,我们在『量子演算』中定义一些『演算』。

一元演算“*非”:对于任何“*属性P”,对应子空间为S,我们定义“*非P”是一个“*属性”,该属性对应的子空间刚好是S的正交补空间。显然,“*非”这个演算跟经典逻辑中的『非』完全不同,『非』对应『补集』,而“*非”对应『正交补空间』。在经典逻辑中,量子态\psi要么具有『属性P』,要么具有『属性非P』,因为『属性P』和『属性非P』对应的两个不交子集的并集就是整个Hilbert空间,任何量子态\psi都在其中。但在“量子演算”中,一个量子态\psi完全可能对“*属性P”和“*属性*非P”都无定义。

二元演算“*与”:对于任何两个“*属性P、Q”对应子空间为S、T,而且P、Q对应的投影算符\hat{p}\hat{q}对易,\hat{p}\hat{q} = \hat{q}\hat{p},那么我们定义“P *与 Q”是一个“*属性R”,R对应的子空间刚好是S和T的交集,因为子空间的交集仍然是子空间,因此当\hat{p}\hat{q}对易时“*与”恰好幸运地等价于『与』。但这里要注意一点,如果\hat{p}\hat{q}不对易,那么我们规定“P *与 Q”无意义,因此还是跟『与』有所不同。这个要求,说白了就是要求两个子空间要满足这样的要求:一个子空间的任何向量向另一个子空间投影,只能投影到两个子空间的公共子空间上,否则就规定“P *与 Q”无意义。这里提供一个直观的几何形像:三维欧氏空间中两个相互垂直且交于一条公共直线的平面满足这个要求,但两个相互斜交的平面不满足这个要求。因为两个相互垂直的平面的投影算符对易,一个平面上的向量向另一个平面投影直接会投到二者的公共直线上,而两个斜交平面的投影算符不对易,一个平面上的向量向另一个平面投影会投影到二者的公共直线之外。

二元演算“*或”:对于任何两个“*属性P、Q”对应子空间为S、T,而且P、Q对应的投影算符\hat{p}\hat{q}对易,\hat{p}\hat{q} = \hat{q}\hat{p},那么我们定义“P *或 Q”是一个“*属性R”,R对应的子空间刚好是S和T的『线性和空间』,由于『子空间的线性和空间』是两个子空间中所有向量的任意线性组合构成的子空间,所以『两个子空间的线性和』跟『两个子空间的并集』完全不同,因此“*或”演算跟『或』截然不同。此外必须注意一点,跟“*与”类似,如果\hat{p}\hat{q}不对易,那么规定“P *或 Q”无意义。

现在,我们可以执行组合运算:“P *与 *非P”这是有意义的,我们得到了『0空间』,任何量子态在该子空间的投影都是0,也就是说没有量子态具有相应的“*属性”。“P *或 *非P”也是有意义的,我们得到了『全空间』,任何量子态在全空间的投影都是其自身,也就是说所有量子态都具有相应的“*属性”。这件事情很好笑,一个量子态\psi可能对“*属性P”和“*属性*非P”都无定义,但是却总是总是具有属性“P *或 *非P”,如果你觉得这很奇怪,那我直接翻译成内积空间的说法你就全明白了:量子态\psi(Hilbert空间的非零向量)可能既不属于子空间S也不属于S的正交补空间,但\psi一定属于『S与S正交补的线性和空间』,因为这个『线性和空间』就是全空间。换言之,这个貌似跟经典逻辑『截然不同』性质,不过是内积空间中显而易见的东西。即便用经典逻辑,我们也一样能得到相同的结论:由于『S』和『S的正交补』的并集未必是全空间,所以完全可以存在量子态\psi\psi既不具有属性『属于S』,也不具有属性『属于S的正交补』,但由于『S和S正交补的和空间』是『全空间』,所以\psi必然具有属性『属于S和S正交补的和空间』。

到现在为止,我们已经可以看出来,这套“量子演算”不过就是把作为『内积空间』的Hilbert空间原本就具有的几种子空间运算『正交补、交、线性和』分别改名为“*非、*与、*或”,并且限制“交、线性和”只能用于投影算符对易的情况,凡是用“量子演算”写出来的东西都可以直接机械地翻译成Hilbert空间的子空间演算,并没有引进任何新内容。

接下来,我们看看作者用这个“量子演算”给出了什么结论:根据前面的“量子演算”规定,如果两个“*属性P、Q”的投影算符\hat{p}\hat{q}非对易,那么“P *与 Q”和“P *或 Q”就没有任何意义。举例说明:说电子的自旋“处于Sx+ *与 处于Sz+”、“处于Sx+ *或 处于Sz+”两种说法都毫无意义(注意,无意义跟『假』完全不是一回事),因为投影算符[Sx+]和[Sz+]不对易,但是“处于Sx+ *与 处于Sx-”和“处于Sx+ *或 处于Sx-”就都有意义,前者取值永远为假,后者取值永远为真。如果这件事情到此为止也就罢了,但问题是Griffiths接下来直接给出结论:说电子自旋『或者处于Sx+或者处于Sz+』是毫无意义的,问题是从书中“量子演算”出发,这些结论仅对对于“量子演算”的“自定义概念”有效,如果把“*属性、*非、*与、*或”直接当成日常语言中的逻辑连词来陈述结论,就偷换了概念。这就相当于:我规定『或』就是『整数加法』,然后告诉大家『1或1的结果是2,这是个逻辑结论』,因为里面这个“或”是我刚刚随便规定的,跟经典逻辑中的『或』没有一毛钱关系。

现在我们可以看看经典逻辑能直接告诉我们什么。由于Hilbert空间中不存在任何一个量子态,这个量子态既是Sx+又是Sz+,因此说电子的自旋『处于Sx+ 与 处于Sz+』就是一个清清楚楚的假命题。这就好像说一个实数『等于3且等于5』必然是个假命题一样,不存在任何实数满足这个条件。另一方面,说电子的自旋『处于Sx+ 或 处于Sz+』逻辑上没有任何问题,例如我让你扔硬币决定是否给电子加一段时间y方向的磁场,初始状态下电子自旋是Sx+,加一段时间y方向磁场就可以让电子的自旋变为Sz+,但你没有告诉我你扔硬币的结果,那么对我而言,电子的自旋确确实实或者『处于Sx+』或者『处于Sz+』,这么说完全有非常明确清晰的意义,没有任何问题。你可能会说,只能在一个方向上测量电子自旋,无法在两个方向上同时测量电子的自旋,如果我在Z方向上测量,就会破坏Sx+,而在X方向上测量,就会破坏Sz+。那又怎样?测量时候当然会造成破坏,但我至少可以保证电子的自旋只可能处于这两个状态之一而不处于其他任何状态,因此如果我在X方向上测量得到了Sx-,那么我就可以断定测量之前电子自旋一定处于Sz+而不是Sx+,这恰恰是我从电子的自旋『处于Sx+ 或 处于Sz+』这件事中能够直接推理出来的。

接下来,我们用一种非常直观的方式重建这种“量子演算”,跟书中所介绍的“量子逻辑”完全等价,但方式是直接建立内积空间的子空间运算到集合的子集运算的对应关系。

Hilbert空间H中,任选一组完备正交基B,B作为包含一组正交基矢的集合,其子集可以执行『交、并、补』运算。而B的任何一个子集中所有的基向量又张成H的一个子空间(很容易看出,同一完备正交基B的任意两个子集所张成的子空间的投影算符都是相互对易的),所以B的子集上的『交、并、补』运算刚好构成有B的子集张成的子空间的『交、线性和、正交补』运算。这样一来B的子集张成的子空间运算和B的子集运算之间就建立了一一对应。

通过这种对应关系,可以立即将量子演算对应到以B为论域的经典逻辑上去。此时B的每一个子集对应论域B上的一个经典逻辑属性,不引起混淆时可以用同一个符号P表示属性P和P对应的B的子集。而B的子集P中所有矢量张成的H的子空间(记为[P])则对应一个量子演算属性(不引起混淆时也记为[P])。定义:如果量子态矢量\psi属于子空间[P],称\psi具有量子演算属性[P],如果\psi与子空间[P]正交,称\psi不具有量子演算属性[P],或称\psi具有[~][P],其他情况无定义不能对\psi谈论[P]。\psi具有量子演算属性[P]意味着\psi能够被P中基矢线性组合出来,\psi具有量子演算属性[~][P]意味着\psi跟P中所有基矢正交。对于每一个量子演算属性[P],都可以定义一个对应的投影算符,该算符将矢量投影到[P]对应的子空间[S]中,在不引起混淆的情况下,我们将这个投影算符也记为[P]。在量子演算下不能对态矢Sz+谈论它是否具有量子演算属性[Sx+],因为Sz+既不属于也不正交于[Sx+],所以是无定义的。投影算符[Sx+]按定义就是|Sx+><Sx+|

如果H中两个子空间的投影算符不对易,那么无论如何不能找到一组完备正交基B,从B中选取两组基向量刚好分别张成这两个子空间。换言之,如果两个子空间的投影算符不对易,这两个子空间的运算就无法通过一组正交完备基对应到B的子集运算上去。这种情况下就不能谈论相应的量子演算『属性』在量子演算意义下的『与』『或』操作。例如在量子演算下『[Sx+]∪[Sz+]』是无意义的,而『[Sz+]∪[Sz-]』是有意义的。

这样我们对于任何一组正交完备基B都能建立量子演算到经典逻辑的等价对应,跟Griffiths书中的量子演算也是等价的。但『以基B为论域的经典逻辑』跟『以H为论域的经典逻辑』仍然有明显区别,因为B只是H的一个子集,所以许多对后者有意义的逻辑命题如果放在前者的语境中将变得毫无意义。这种情况下我们要特别避免混淆这两种不同论域的逻辑,在Griffiths书的第四章就有这种混淆。

另,繁星客栈的季候风老师指出:“量子力学的测量理论指出对可观察量的测量结果是相应算符的谱点,所以以测量结果为变量的开语句的逻辑运算就自然对应到可观察量谱集的集合运算。量子力学的谱分解理论指出,可观察量的谱集的 “交并补” 对应到投影算子的相关运算,从而对应到子空间的 “交,线性和,正交补”。” 量子逻辑可以在\hbar趋于0的极限下自动过渡到经典逻辑,因为此时相空间几乎每个点都对应到一个独立的量子态,这样相空间子集的“交并补” 集合运算就几乎可以用 Hilbert 空间的 “交,线性和,正交补” 运算来模拟。

关于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明。

对于哥德尔“上帝必然存在”的本体论证明,许多人只知道他试图利用模态逻辑和一些简单的公设严格证明上帝存在,却并不真正理解该证明的含义。

即使完全不质疑该证明依赖的公设本身,该证明说的不过是对任何一种逻辑自洽具体善恶标准,必然存在一个相应的上帝(按照哥德尔的定义,上帝就是具备一切善的属性而没有任何恶的属性的对象),而两种善恶标准的差异无论多么微小,都对应两个不同的上帝。换言之,对于每一个人的每一种善恶观,都有一个对应的上帝,而无论你的善恶观怎样演变,对应你善恶观的上帝都会随之发生改变。

另外,该证明中所谓的“存在”和“某形式系统存在模型”、“某方程存在解”里面的“存在”完全是一个意思,完全是抽象意义上的可满足性。这种“存在”,跟“存在”经验上帝或超经验上帝,是没有半毛钱关系的。

说实话,这个证明对我而言纯属nonsense,虽然哥德尔构造形式系统并严格证明的能力让我无比赞叹。

证明过程参见:
http://en.wikipedia.org/wiki/G%C3%B6del%27s_ontological_proof

为了帮助不熟悉模态逻辑证明的同学理解这个证明,我在百度贴吧搜到了一个注释版,将内容复制在这里供大家参考(我稍作修改,把中文表达里面容易和逻辑连词混淆的“肯定”替换成了“正面”):
http://tieba.baidu.com/f?kz=758125585
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哥德尔用逻辑关于上帝存在的本体论证明

证明涉及模态逻辑, 引入了 ‘□’ (必然)和’◇’ (可能) 两个算子. 有
□ ↔ ¬◇¬ (必然↔不可能不)
◇ ↔ ¬□¬ (可能↔不必然不)
□¬ ↔ ¬◇ (必然不↔不可能)
◇¬ ↔ ¬□ (可能不↔不必然)
证明如下:

公理1: 一个性质是正面的,如果它必然被一个正面性质所蕴涵。
Axiom 1: Any property entailed by — i.e., strictly implied by — a positive property is positive.
{Pos(φ) ∧ □ ∀x [φ(x) → ψ(x)]} → Pos(ψ)

公理2: 一个性质是正面的当且仅当它的否定是非正面的(一致性要求)。
Axiom 2: A property is positive iff its negation is not positive.
Pos(ψ) ↔ ¬Pos(¬ψ)

定理1: 一个正面性质是逻辑上一致的(可能有某个实例)。(直接从公理2证明)
Theorem 1: If a property is positive, then it is consistent, i.e., possibly exemplified.
Pos(φ) → ◇ ∃x [φ(x)]

定义1: 某物是类上帝的当且仅当它具备所有的正面性质。
Definition 1: x is God-like iff x has as essential properties those and only those properties which are positive.
G(x) ⟺ ∀φ [Pos(φ) → φ(x)]

公理3: “是类上帝的”是一个正面性质。
Axiom 3: The property of being God-like is positive.
Pos(G)

定理2: “是类上帝的”是一致的(可能有某个实例, 即上帝可能存在)。(从定理1和公理3证明)
Theorem 2: The property of being God-like is consistent.
◇ ∃x [G(x)]

公理4: 一个正面性质是必然肯定的。
Axiom 4: If a property is positive, then it is necessarily positive.
Pos(φ) → □ Pos(φ)

定义2: 性质 φ 是 x 的本质当且仅当 x 只具有 φ 所必然蕴含的一切性质。
Definition 2: φ is an essence of x iff for every property ψ, x has ψ necessarily iff φ entails ψ.
φ ess x ⟺ φ(x) ∧ ∀ψ {ψ(x) → □ ∀y [φ(y) → ψ(y)]}

定理3: 如果 x 是类上帝的,那么类上帝的是 x 是的本质。(定义1公理3公理4定义2)
Theorem 3: If something is God-like, then the property of being God-like is an essence of that thing.
G(x) → G ess x

定义3: x 必然存在,当且仅当 x 的每个本质都必然有某个实例。(注意,这是定义,规定“必然存在(NE)”这个词儿的含义)
Definition 3: x necessarily exists iff every essence of x is necessarily exemplified.
exemplified.
NE(x) ⟺ ∀φ [φ ess x → □ ∃y φ(y)]

公理5: “是必然存在”是正面的性质。
Axiom 5: Necessary existence is a positive property.
Pos(NE)

定理4: 必然有某个x,x是类上帝的。
Theorem 4: Necessarily, the property of being God-like is exemplified.
□ ∃x G(x)