相对论König定理的简单证明
König定理：质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。
以前看到过一种相对论情况下的证明，反复使用速度变换公式，很繁琐。其实利用总能量、动能、静质量的关系，在相对论中该定理的证明比经典力学容易得多。
以下约定所有质心系中的物理量都使用上标
。注意，质点系的质心系就是那个刚好使质点系总动量等于零的惯性系。该惯性系就是相对于质心静止的惯性系。
- 质心总动能
等于质心总能量
减去质心静质量
（这对于任何物体都有效）：
![\[K_0 = E-M^c\]](http://zhblog.engic.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-8bba3a5d2fa9f184e280208fa06bcb04_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 质心静质量等于质心系中所有质点各自的能量
之和，也就等于所有质点静质量
之和加上所有质点在质心系中的动能
之和：
![\[M^c = \Sigma e^c_i = \Sigma (m^0_i + k^c_i)\]](http://zhblog.engic.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-c2f0a7243acf37b2529b79894d84bdd5_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 质心总能量等于所有质点的各自的能量
之和，也就等于所有质点的静质量之和加上所有质点的动能
之和：
![\[E = \Sigma e_i = \Sigma (m^0_i + k_i)\]](http://zhblog.engic.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-6a1e86c723231f31d1a1ed7e90a2446d_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
- 总动能
等于其中每个质点的动能之和：
![\[K = \Sigma k_i\]](http://zhblog.engic.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-67cac940cce525269f20f5681d7cd7a6_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
所以：
![\[K_0 = E-M_0 = \Sigma (k_i - k^c_i) = K - \Sigma k^c_i\]](http://zhblog.engic.org/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-ad62d0e6ba0a88a6262a25e0fa978187_l3.png "Rendered by QuickLaTeX.com")
也就是
，质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。
如果你对步骤1中把计算动能的公式直接用于质点系不放心，只需要证明两个质点构成的质点系在任何速度变换下的动能都满足这个关系，那么立即就可以通过数学归纳法证明任意数量的质点系都满足这个关系。一旦有了这个关系，剩下的就是加加减减。
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