相对论König定理的简单证明

König定理:质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。
以前看到过一种相对论情况下的证明,反复使用速度变换公式,很繁琐。其实利用总能量、动能、静质量的关系,在相对论中该定理的证明比经典力学容易得多。
以下约定所有质心系中的物理量都使用上标c。注意,质点系的质心系就是那个刚好使质点系总动量等于零的惯性系。该惯性系就是相对于质心静止的惯性系。

  1. 某惯性系S中质心总动能K_0等于质心总能量E减去质心在质心系中的静质量M^c(这对于任何物体都有效):

        \[K_0 = E-M^c\]

  2. 质心静质量M^c等于质心系中所有质点各自的能量e^c_i之和,也就等于所有质点静质量m^0_i之和加上所有质点在质心系中的动能k^c_i之和:

        \[M^c = \Sigma e^c_i = \Sigma (m^0_i + k^c_i)\]

  3. 质心总能量E等于所有质点的各自的能量e_i之和,也就等于所有质点的静质量m^0_i之和加上所有质点的动能k_i之和:

        \[E = \Sigma e_i = \Sigma (m^0_i + k_i)\]

  4. 总动能K等于其中每个质点的动能k_i之和:

        \[K = \Sigma k_i\]

所以:

    \[K_0 = E-M^c = \Sigma (k_i - k^c_i) = K - \Sigma k^c_i\]

也就是K = K_0 + \Sigma k^c_i,质点系的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。

如果你对步骤1中把计算动能的公式直接用于质点系不放心,只需证明如果n个质点的质点系满足该关系那么新增一个质点仍然满足这个关系,立即就可以通过数学归纳法证明任意个质点的质点系都满足这个关系(单个质点时该关系被自然满足)。一旦有了这个关系,剩下的就是加加减减。

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