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相对论König定理的简单证明

König定理：质点组的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。
（这里我们不用『质点系』而用『质点组』，以免跟『质心系』『参考系』的『系』字混淆）
以前看到过一种相对论情况下的证明，反复使用速度变换公式，很繁琐。其实利用总能量、动能、质量的关系，在相对论中该定理的证明比经典力学容易得多。
以下约定在该质点组的质心系中的所有物理量都使用上标。注意，质点组的质心系就是那个刚好使质点组总动量等于零的惯性系。该惯性系就是相对于质心静止的惯性系，在这个惯性系中质点系的总能量就是质点组的（静）质量（c=1 单位制）。

1. 某惯性系S中质点组的质心总动能等于质点组总能量减去质点组的质量（也就是质点组在质心系中的总能量，这对于任何物体都有效）：

      

2. 质点组质量等于质心系中所有质点各自的能量之和，也就等于所有质点的质量之和加上所有质点在质心系中的动能之和：

      

3. 质点组总能量等于所有质点的各自的能量之和，也就等于所有质点的质量之和加上所有质点的动能之和：

      

4. 质点组总动能等于其中每个质点的动能之和：

      

所以：

也就是，质点组的总动能等于质心动能加上所有质点相对于质心的动能。

如果你对步骤1中把计算动能的公式直接用于质点组不放心，只需证明如果n个质点的质点组满足该关系那么新增一个质点仍然满足这个关系，立即就可以通过数学归纳法证明任意个质点的质点组都满足这个关系（单个质点时该关系被自然满足）。一旦有了这个关系，剩下的就是加加减减。