从计算观点开始……（草稿）

  • 孤立物理体系

所谓孤立物理体系，是指这个体系完全不受其他体系影响，体系的可能状态由体系自身的物理规律所决定。假定为体系选择的一组状态参数的所有取值构成的集和为S，那么物理规律就限定了这个集和中那些状态是物理规律所允许的，相当于是对集和S的一个约束。可以记为：
K[s], s\in S
其中，K是一个判断，K[s]为真当且仅当状态s\in S是物理规律所允许的。
将所有这样的状态构成的集合记为K[S]，显然有K[S]\subseteq S。
如果我们的状态参数选取得非常好，参数空间中每一个参数都对应一个符合物理规律的状态，我们就全知了。可惜我们做不到，我们所选择的状态参数所构成的参数空间总是远大于物理规律所允许的状态集。退而求其次，我们希望找到一种等价关系，这种等价关系将状态空间划分为若干个等价类，所有物理规律允许可以共存的现象事件都仅仅属于其中一个等价类，而这个等价类也仅仅包含物理规律允许的现象事件。这样，我们只要找到了这个等价类中的一个代表状态，就可以确定整个等价类。这就是通过初值条件或者边界条件来求解物理体系的方法。

一个简单的例子：一个沿直线匀速运动的粒子，其状态由(x,t)标记，运动方程为x=v t+x_0，那么仅当(x,t)满足这个运动方程时，我们才认为由(x,t)所标记的状态才是物理规律所允许的状态。这个例子中所有物理规律所允许的状态的集和刚好构成了粒子的世界线。再举个一维经典标量场的例子：场A的状态由函数A(x,t)决定。仅当(A,x,t)满足场方程\frac{\partial^2 A}{{\partial t}^2}-\frac{\partial^2 A}{{\partial x}^2}=0和某个边界条件（例如初始条件A(x,0)=A_0(x)）时，我们才认为A(x,t)是物理规律所允许的状态。

但上述模型对于物理学家来说只是运动学（Kinematic）模型，只有当你了解了宇宙状态的所有细节才能给出这个运动学方程，而这些细节恰恰是我们希望能够通过方程预言的。换言之这种抽象的运动学模型没什么用。物理学家希望的是：当我了解了宇宙局部的某些信息之后，我可以通过这些信息推算出另一些局部甚至全局的信息。这就要求我们建立所谓的动力学（Dynamical）模型。如果我们知道了宇宙的全部运动学信息，那么动力学模型总是可以导出的，但我们了解到的只是一些局部的信息。

以一维匀速直线运动为例，当我们知道了某个(x_0,t_0)是合法物理状态，那么从动力学方程\frac{dx}{dt}=v就可以推算出其他的合法物理状态，这个方程告诉我们，如果(x_0,t_0)是合法物理状态，那么(x+dx,t+dt)要满足什么条件才是合法的物理状态。也就是说，该动力学方程给出了(x_0,t_0)和(x+dx,t+dt)必须满足的关系，积分后就可以得出(x_0,t_0)和任意(x_1,t_1)的关系。物理学的动力学视角写成数学方程就是：
D[S_0,S]=K[S],~where~S_0\subset K[S]
限定了S_0和K[S]必须满足的关系。显然，最平凡的情况是S_0=K[S]，但物理学家希望从一组尽可能小的S_0出发，通过D能够得出整个K[S]。比方说匀速直线运动的例子中，从任何一个单独的(x_0,t_0)就可以得到所有合法的物理状态。而在上述的一维经典场论中，单独的一个(A,x,t)是得不出所有合法物理状态的，必须了解一组状态，比方说了解t为某个定值的时候所有x对应的A（初值问题），或者了解曲线f(x,t)=0上所有的A（边值问题），或者了解曲线f(x,t)=0上所有的\partial A/\partial t, \partial A/\partial x（边值问题）。

在经典绝对时空观之中，时间是一个非常特殊的状态参数，所有其他的状态参数都可以写成时间的函数，对于实数、复数、向量、张量等形式的物理量，都可以表达为时间的函数，对于许多物理问题而言，我们都可以根据初值来决定今后的演化：
D[K[S]|_{t=t_0}, S]=K[S]
这样一来，这就是所谓经典的机械决定论的视角。进一步，我们可以把这种方程写成关于时间的演化方程：
K[S]|_{t^+}=F[K[S]|_t]
如果模型中的时间是连续的，那么可以直接表达为微分方程，令s(t)=K[S]|_t：
\partial s/\partial t=f(s,t)
在相对论之中，时间不再具有特殊地位，不同参考系也没有一个标准时间，但大家仍然希望能够在时间上做出预言，一个办法是给出物理量在某个完整的类空超曲面上的值，以至于所有的类时世界线都会与这个类空超曲面相交，就可以决定整个时空流形的物理量了。

另一方面，最初用来标记系统状态的状态参量可能具有若干对称性……（待续）

虽然真正的孤立体系要求完全不受外界影响，以至于这样的体系不能从外部通过相互作用来观测，但最初人们认为我们总是可以设法在技术上降低观测对体系的影响，使被观测的体系几乎跟孤立体系没有区别。但近代物理学让人们改变了这种想法，当我们对被观测体系的了解越来越精细，就不得不越来越多地与之相互作用。这种情况下我们需要的是一个相互作用的理论模型，而不是一个孤立体系的理论模型。……（待续）

量子力学实验中往往把宇宙划分为3个部分：被测系统S，观察者和仪器O，环境E。通常要求S只跟O相互作用，但不允许受到E干扰。量子力学的原理体系中扣掉测量原理，描述的就是一个孤立体系的演化。本来应该能够通过孤立体系的演化方程得出一个相互作用的方程，然后计算出观察者观察被测体系将会得到什么结果，但最初大家不知道怎样算，没人会求解整个宇宙的Schr?dinger方程。于是物理学家从实验中得到了一条经验规律：测量原理。遗憾的是测量原理被上升到了量子力学基本原理的地位，引发了Einstein和Bohr旷日持久的争论。到了近代人们逐渐发现测量原理在许多条件下是可以导出的，而且导出的结果比测量原理所给出的细节更多。

————（可逆性、对称性、熵增、可观察量、规范……）

————（引入动机的数学模型，然后是偏好的评价函数，心理，行为，经济，博弈，生态系统，社会……）

  • 开放的物理体系，相互作用

一个孤立体系可以被人为地通过边界划分为两个子系统，这两个子系统通过边界发生相互作用。每一个子系统的所有合法状态自然仍然由整个系统的运动学方程所谓一决定，但我们需要的是得到其中一个子系统的方程，这个方程只跟这个子系统的状态以及另一个子系统在边界上的状态有关……（待续）

  • 孤立机器

所谓孤立机器，就是指这样一种东西：其任意时刻的状态演化方式完全取决于该时刻的状态。
将孤立机器的状态记为S，时间记为t，后继（Successor）时间记为t^+（比方说在t连续的情况下，t^+:=t+dt，离散情况下t^+:=t+1），演化规律记为U，那么上述定义相应的数学模型为：
S(t^+) =U[S(t)]
经典力学中的Hamilton方程就是描述这种孤立机器的方程。在Hamilton力学中，体系的状态用所有粒子的位置和动量来标记，而Hamilton方程则决定了体系状态的演化机制。
(p,q)(t+dt) = (p,q)(t) + \left(-\frac{\partial H}{\partial q}, +\frac{\partial H}{\partial p}\right)dt
还有量子力学方程\left| \psi (t) \right\rangle = e^{-\mathrm{i}H t}\left| \psi (0) \right\rangle，此时U = e^{-\mathrm{i}H t}

  • 机器

所谓机器，就是指这样一种东西：

  1. 跟环境之间有一个分界线
  2. 环境在边界上的状态作为机器输入可以改变机器状态
  3. 机器在边界上的状态作为机器输出可以改变环境状态
  4. 任何时刻其行为和内部状态的变迁完全由该时刻的内部状态和环境输入唯一决定

如果环境也是一台机器，那么可以将环境的状态记为E，那么相应的数学模型为：
S(t^+) = U[S(t), \partial E(t)]
E(t^+) = U[E(t), \partial S(t)]

孤立机器是机器的特例，如果将环境和机器当作一个孤立整体，那么它又会变为一台孤立机器：
(S,E)(t^+) = (S(t^+),E(t^+)) = (U[S(t),\partial E(t)],U[E(t),\partial S(t)]) = U[(S,E)(t)]
如果把系统作为一个整体考虑，那么无论在机器和环境之间如何划界，对结果都是无影响的。

  • 离散的孤立机器

所谓离散的机器，就是上述孤立机器定义中，状态变迁是按步骤跳变的，具有可数内部状态。
对于这样的机器，我们可以用步骤编号i代替时间t，用i+1代替t^+。于是其数学模型为：
S_{i+1} =U[S_i]

  • 离散的机器

所谓离散的机器，就是上述机器定义中，状态变迁是按步骤跳变的，具有可数内部状态，对环境输入的分类能力也是可数的。
这样一台机器，其时间由步骤标记，记为i，于是：
环境从边界给机器的输入记为\partial E_i，机器从边界对环境的输出记为\partial S_i：
S_{i+1} = U[S_i, \partial E_i]
E_{i+1} = U[E_i, \partial S_i]

  • 有限状态机器

如果离散的机器的状态数量是有限的，而且只能对环境输入做有限种分类，就叫做有限状态机器。但环境的状态可以是无限的，我们利用有限的时间和资源能够制造出这种机器。图灵机就是一种这样的机器。

  • 图灵机

图灵机是一台有限状态的机器，对于图灵机来说，其环境就是一条无限长的格子纸带（因此环境拥有无限种状态），这个纸带的每一个格子都存贮一个符号，符号的种类是有限的。每一个步骤中，图灵机停泊在纸带上一个特定的位置，可以从这个位置读取符号，然后根据自身状态和读取到的符号唯一地作出一个动作，动作包括向当前位置写入一个符号，然后向左或向右移动一个格子，将自身状态迁移到新的状态。

除此之外，图灵机有一个特殊状态：起始状态，作为每一次执行计算任务的过程的初始状态。还有一组状态作为结束状态，其中一部分被标志为接受，另一部分被标记为拒绝，表示计算任务执行的后果。

可以证明，凡是能够用有限状态机器完成的计算任务，用图灵机都可以完成。还有人进一步证明，通常的神经网络计算模型的计算能力完全等价于图灵机，所谓通常的神经网络计算模型是指这样的神经网络：每一个神经元仅仅有有限种（典型是两种）兴奋状态。

但物理系统经常不是有限状态机器，因此不能简单地说所有的物理系统都等价于图灵机。但是，如果一个由连续参数描述的物理系统，如果对于人类来说可以通过物理量来区分的状态是有限的（比如由于热噪声的存在导致的测量误差），那么这个物理系统对于人类来说计算能力就并不比一个有限状态机器更强。

September 27th, 2010 | 荒唐 | Categories: !Engic, 哲学, 数学, 物理, 算法 | Comments: No Comments