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有限的人生能飞多远——随手算算

给你一艘飞船，你在有限的人生中能够探索多么遥远的未知世界呢？

如果你了解一点狭义相对论，你可能会回答能够探索的距离不会超过光在人生中走过的距离，因为光速是速度的极限。且慢，别忘了你自己就是旅行者，你能够飞多远取决于你亲身经历的时间（称为固有时间：proper time），而不是取决于你在某个惯性系中经历了多长时间。

当你相对惯性系 $S$ 以速度 $\beta$ （ $\beta=v/c$ ，今后如果不加说明，我们全部采用 $c=1$ 单位制，这种单位制下 $\beta$ 和 $v$ 完全相等）前进的时候，你的固有时间 $d\tau$ 跟惯性系 $S$ 的时间 $dt$ 的关系是 $d\tau=\sqrt{1-\beta^2}\;dt$ 。

首先，我们必须给出固有加速度恒定的情况下 $\beta$ 对 $t$ 的函数关系，注意， $\beta=a t$ 是完全错误的，这是非相对论的匀加速运动的公式。相对论的速度变化比较复杂，为了避免过于冗长的计算，我们采用固有速度（proper velocity）的绝对值：快度 $\eta$ （rapidity），与 $\beta$ 的关系是：

$\beta=\tanh(\eta)$

采用快度 $\eta$ 的好处是可以它直接相加。相对论的速度相加公式很繁琐，但你可以把若干个要相加的速度都变成相应的快度，把这些快度简单的加起来，然后再变换回速度，就可以得到正确结果。对于在 $t=0$ 时刻开始的以恒定固有加速度a的加速过程，刚好有跟经典力学中匀加速运动类似的公式：

$\eta=a \tau$

于是，现在就可以计算惯性系 $S$ 中的时间 $t$ 和做恒定固有加速运动的固有时间 $\tau$ 的关系了（具体的积分运算过程略，有兴趣的同学可以用Mathematica验证一下）：

$\begin{array}{ll} \displaystyle t&\displaystyle=\int\limits_{0}^{\tau}\frac{d\tau'}{\sqrt{1-\tanh(a \tau')^2}}\\ &\displaystyle=\frac{\sinh(a\tau)}{a} \end{array}$

$\displaystyle\tau=\frac{\sinh^{-1}(a t)}{a}$

经过固有时间 $\tau$ ，做恒定固有加速运动所达到的速度是 $\beta=\tanh(a \tau)$ ，所走过的路程是：

$\begin{array}{ll} \displaystyle s(\tau)&\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\beta(x)dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\tanh(sinh^{-1}(a x))dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\frac{a x}{\sqrt{1-a^2 x^2}}dx\\ &\displaystyle=\frac{\sqrt{1+a^2 t(\tau)^2}-1}{a}\\ &\displaystyle=\frac{\cosh(a \tau)-1}{a} \end{array}$

当 $a \tau$ 很大的时候， $\displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}\rightarrow\frac{\exp(a \tau)-2}{2 a}$

也就是说，你可以到达的距离是你寿命的指数函数。

为了有一个感性认识，我们计算一下当你以地表的重力加速度 $g$ 持续加速，花一段时间能够到达多远的地方： $g=9.8m/s^2$ ，转换到 $c=1$ 单位制， $1s=3 \times 10^8m$ ： $g=9.8m/s^2=3.27\times 10^{-8}/s=1.0323/y$ （很巧，地球表面重力加速度g的数值差不多刚好是一倍光速每年），于是：

$\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}&\displaystyle=\frac{\cosh(1.0323/y \times 1y)-1}{1.0323/y}\\ &\displaystyle=0.5636y \end{array}$

你只需要经历1年，就可以到达0.5634光年远的地方，只需要10年，你就可以到达14684光年的地方，如果你能活到100年，就可以到达 $3.167\times 10^{44}$ 光年的地方，现代宇宙学所估算的宇宙半径也不过上百亿（ $10^{10}$ ）光年。

我们现在再来算算，如果你的飞船总质量为 $m$ ，采用反物质发动机，将所消耗掉的质量全部转化为光子发射出去，利用光子的反推实现加速（这是理论上最高效的推进方式），这种情况下想要让你的飞船产生大小为 $a$ 的固有加速度，你需要以多块的速度消耗飞船上的物质。

由于采用了 $c=1$ 单位制，光子的动量和能量是相等的，消耗掉的质量所得到的能量跟所消耗的质量也是相等的。为了让质量为 $m$ 的飞船达到加速度 $a$ ，那么需要的力 $f=m a$ ，而推力 $f$ 完全由单位时间内喷射的光子动量提供： $f=dp/d\tau=dE/d\tau=-dm/d\tau$ 。于是 $-\frac{dm}{m}=a\;d\tau$ ，因此，当飞船质量为 $m$ 时，单位时间内所喷射的质量占总质量的比值恰好由 $a$ 决定。当飞船质量 $m$ 逐渐变小的时候，所需的推力 $f$ 也随之变小，可以算出飞船任意时刻的剩余质量随着 $\tau$ 的变化： $m(\tau) = m_0 \exp(-a \tau)$ 。所以，用效率最高的反物质发动机，1年以后飞船的剩余质量为最初的2.808分之一，10年以后飞船的剩余质量为最初的30424分之一，100年以后飞船的剩余质量只有最初的 $6.795\times10^{44}$ 分之一。如果飞船是由氢构成的，那么出发时总质量一千万亿吨（相当于地球大气总质量的1/5，跟喜马拉雅山的总质量差不多），100年之后也只能剩下一个氢原子的质量了，如果你希望100年后剩下一个人那么大的质量，那么出发时大概需要上百个银河系的总质量。