有限的人生能飞多远——随手算算

给你一艘飞船,你在有限的人生中能够探索多么遥远的未知世界呢?

如果你了解一点狭义相对论,你可能会回答能够探索的距离不会超过光在人生中走过的距离,因为光速是速度的极限。且慢,别忘了你自己就是旅行者,你能够飞多远取决于你亲身经历的时间(称为固有时间:proper time),而不是取决于你在某个惯性系中经历了多长时间。

当你相对惯性系S以速度\beta\beta=v/c,今后如果不加说明,我们全部采用c=1单位制,这种单位制下\betav完全相等)前进的时候,你的固有时间d\tau跟惯性系S的时间dt的关系是d\tau=\sqrt{1-\beta^2}\;dt

首先,我们必须给出固有加速度恒定的情况下\betat的函数关系,注意,\beta=a t是完全错误的,这是非相对论的匀加速运动的公式。相对论的速度变化比较复杂,为了避免过于冗长的计算,我们采用固有速度(proper velocity)的绝对值:快度\etarapadity),与\beta的关系是:

    \[\beta=\tanh(\eta)\]

采用快度\eta的好处是可以它直接相加。相对论的速度相加公式很繁琐,但你可以把若干个要相加的速度都变成相应的快度,把这些快度简单的加起来,然后再变换回速度,就可以得到正确结果。对于在t=0时刻开始的以恒定固有加速度a的加速过程,刚好有跟经典力学中匀加速运动类似的公式:

    \[\eta=a \tau\]

于是,现在就可以计算惯性系S中的时间t和做恒定固有加速运动的固有时间\tau的关系了(具体的积分运算过程略,有兴趣的同学可以用Mathematica验证一下):

    \[\begin{array}{ll} \displaystyle t&\displaystyle=\int\limits_{0}^{\tau}\frac{d\tau'}{\sqrt{1-\tanh(a \tau')^2}}\\ &\displaystyle=\frac{\sinh(a\tau)}{a} \end{array}\]

    \[\displaystyle\tau=\frac{\sinh^{-1}(a t)}{a}\]

经过固有时间\tau,做恒定固有加速运动所达到的速度是\beta=\tanh(a \tau),所走过的路程是:

    \[\begin{array}{ll} \displaystyle s(\tau)&\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\beta(x)dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\tanh(sinh^{-1}(a x))dx\\ &\displaystyle=\int\limits_{0}^{t(\tau)}\frac{a x}{\sqrt{1-a^2 x^2}}dx\\ &\displaystyle=\frac{\sqrt{1+a^2 t(\tau)^2}-1}{a}\\ &\displaystyle=\frac{\cosh(a \tau)-1}{a} \end{array}\]

a \tau很大的时候,\displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}\rightarrow\frac{\exp(a \tau)-2}{2 a}

也就是说,你可以到达的距离是你寿命的指数函数。

为了有一个感性认识,我们计算一下当你以地表的重力加速度g持续加速,花一段时间能够到达多远的地方:g=9.8m/s^2,转换到c=1单位制,1s=3 \times 10^8mg=9.8m/s^2=3.27\times 10^{-8}/s=1.0323/y(很巧,地球表面重力加速度g的数值差不多刚好是一倍光速每年),于是:

    \[\begin{array}{ll} \displaystyle\frac{\cosh(a \tau)-1}{a}&\displaystyle=\frac{\cosh(1.0323/y \times 1y)-1}{1.0323/y}\\ &\displaystyle=0.5636y \end{array}\]

你只需要经历1年,就可以到达0.5634光年远的地方,只需要10年,你就可以到达14684光年的地方,如果你能活到100年,就可以到达3.167\times 10^{44}光年的地方,现代宇宙学所估算的宇宙半径也不过上百亿(10^{10})光年。

我们现在再来算算,如果你的飞船总质量为m,采用反物质发动机,将所消耗掉的质量全部转化为光子发射出去,利用光子的反推实现加速(这是理论上最高效的推进方式),这种情况下想要让你的飞船产生大小为a的固有加速度,你需要以多块的速度消耗飞船上的物质。

由于采用了c=1单位制,光子的动量和能量是相等的,消耗掉的质量所得到的能量跟所消耗的质量也是相等的。为了让质量为m的飞船达到加速度a,那么需要的力f=m a,而推力f完全由单位时间内喷射的光子动量提供:f=dp/d\tau=dE/d\tau=-dm/d\tau。于是-\frac{dm}{m}=a\;d\tau,因此,当飞船质量为m时,单位时间内所喷射的质量占总质量的比值恰好由a决定。当飞船质量m逐渐变小的时候,所需的推力f也随之变小,可以算出飞船任意时刻的剩余质量随着\tau的变化:m(\tau) = m_0 \exp(-a \tau)。所以,用效率最高的反物质发动机,1年以后飞船的剩余质量为最初的2.808分之一,10年以后飞船的剩余质量为最初的30424分之一,100年以后飞船的剩余质量只有最初的6.795\times10^{44}分之一。如果飞船是由氢构成的,那么出发时总质量一千万亿吨(相当于地球大气总质量的1/5,跟喜马拉雅山的总质量差不多),100年之后也只能剩下一个氢原子的质量了,如果你希望100年后剩下一个人那么大的质量,那么出发时大概需要上百个银河系的总质量。

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